對(duì)數(shù)的概念與運(yùn)算性質(zhì)

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（第一課時(shí)）（人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修 1第二章第二節(jié)）一、教學(xué)內(nèi)容解析對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章，共分兩小節(jié)，第一小節(jié)主要內(nèi) 容是對(duì)數(shù)的概念、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，第二小節(jié)內(nèi)容是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)， 本課時(shí)為第一小 節(jié)內(nèi)容.16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成為當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中， 為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).與傳統(tǒng)教科書(shū)相比，教材從具體問(wèn)題引進(jìn)對(duì)數(shù)概念，加強(qiáng)了對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化背 景，強(qiáng)調(diào)“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”以及指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的互逆關(guān)系，將對(duì)數(shù)安排在指數(shù)運(yùn)

2、算及指 數(shù)函數(shù)之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)與原有知識(shí)體系的對(duì)接，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)與論證對(duì)數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì).基于以上分析，本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是：對(duì)數(shù)概念的理解以及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1 .感受引入對(duì)數(shù)的必要性，理解對(duì)數(shù)的概念；2 .能夠說(shuō)出對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)定義進(jìn)行互化和求值；3 .感受數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象美、簡(jiǎn)潔美.本課時(shí)落實(shí)以上三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)“推斷化石年代”和“解指數(shù)方程”兩個(gè)實(shí)例，認(rèn)識(shí)到引入對(duì)數(shù)，研究對(duì)數(shù)是基于實(shí) 際需求的。根據(jù)底數(shù)、指數(shù)與幕之間的關(guān)系，通過(guò)“知二求一”的分析，引導(dǎo)學(xué)生借助指數(shù)函 數(shù)圖象，分析問(wèn)題中幕指數(shù)的存在性，以及為了表示指數(shù)的準(zhǔn)確值，引入了對(duì)數(shù)符號(hào)，從

3、而引 出對(duì)數(shù)概念.通過(guò)圖示連線，對(duì)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中各字母進(jìn)行對(duì)比分析， 來(lái)認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)與指數(shù)的相互聯(lián)系； 利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，來(lái)幫助學(xué)生理解對(duì)數(shù)概念，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在對(duì)數(shù)計(jì)算中的作用.對(duì)數(shù)源于指數(shù)，本課時(shí)中，對(duì)數(shù)問(wèn)題往往回歸本源，轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，因而要在理解對(duì) 數(shù)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)互化和求值.恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著巨大的推動(dòng)作用， 對(duì)數(shù)符號(hào)抽象而簡(jiǎn)潔，學(xué)生需要在不 斷的學(xué)習(xí)中逐漸體驗(yàn)對(duì)數(shù)符號(hào)的重要性三、學(xué)生學(xué)情分析1 .認(rèn)知基礎(chǔ)從運(yùn)算的角度來(lái)講，力口、乘、乘方運(yùn)算中只有乘方的逆運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn)算還沒(méi)有學(xué)習(xí)從函數(shù)的角度來(lái)說(shuō)，高一的學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法和函數(shù)的 一般

4、性質(zhì)，對(duì)函數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)， 了解了研究函 數(shù)的一般方法，經(jīng)歷過(guò)從特殊到一般，具體到抽象的研究過(guò)程，之后將在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上繼 續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù).2 .問(wèn)題診斷對(duì)數(shù)的概念對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是全新的.形式地進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間的互化是容易的， 在真正理解對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題是有一定難度的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）不能將對(duì)數(shù)與普通的數(shù)平等對(duì)待，不理解對(duì)數(shù)的概念，只能夠進(jìn)行表面上的形式轉(zhuǎn) 換；（2）不能把“對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)是指數(shù)”應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中 .基于以上分析，本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：（1）對(duì)數(shù)概念的理解；（2）對(duì)數(shù)的常用性質(zhì)的概括.為了突破第一個(gè)難點(diǎn)，要在引入對(duì)數(shù)概

5、念時(shí)，通過(guò)不同的實(shí)例，讓學(xué)生感受到為什么要學(xué) 習(xí)對(duì)數(shù)，是基于研究指數(shù)的需求才引入對(duì)數(shù)，因此對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)是指數(shù)；在形成概念時(shí)，要引導(dǎo) 學(xué)生明確“對(duì)數(shù)是數(shù)”這一事實(shí)；在引入對(duì)數(shù)概念后，學(xué)生通過(guò)自主舉例，具體感知個(gè)例，從 對(duì)數(shù)概念外延的角度進(jìn)行理解.本節(jié)的第二個(gè)難點(diǎn)是：“0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)”這一性質(zhì)的深入認(rèn)識(shí).在教學(xué)中最明顯的例證 是涉及到求定義域時(shí)，看到對(duì)數(shù)符號(hào)，不能如同看到分母一樣，瞬間閃現(xiàn)出真數(shù)要大于0的限 制，因此應(yīng)該在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)伊始，就打好“ 0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)”的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ).為了突破第二個(gè)難點(diǎn)，不要急于將現(xiàn)成的結(jié)論拋出，可以讓學(xué)生在自主舉例（感受個(gè)例） 的基礎(chǔ)上，嘗試思考（分析通例）對(duì)數(shù)中的底數(shù)和

6、真數(shù)可以取什么樣的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考是不 是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)，哪些數(shù)有對(duì)數(shù)？為什么？通過(guò)互化和求值的練習(xí)，讓學(xué)生逐漸地從內(nèi)涵和外延兩方面加深對(duì)數(shù)概念的理解四、教學(xué)策略分析本節(jié)教學(xué)中，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的過(guò)程就是認(rèn)識(shí)的辨證發(fā)展過(guò)程：從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)：通過(guò)具體情境，具體問(wèn)題，具體對(duì)數(shù)的體驗(yàn)感知，遵循從具體到抽象的過(guò) 程，來(lái)建立對(duì)數(shù)概念，從概念內(nèi)涵的角度學(xué)習(xí)；再實(shí)踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進(jìn)行自主舉例，感知個(gè)例，從概念外延的角度加深概念理解；再認(rèn)識(shí)：理性分析通例（思考底數(shù)和真數(shù)的范圍），又從特殊到一般進(jìn)行概念的再認(rèn)識(shí)；循環(huán)往復(fù)：在隨后的練習(xí)鞏固中，認(rèn)識(shí)兩種特殊的對(duì)數(shù)（常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)）和兩種

7、特 殊的對(duì)數(shù)值（1的對(duì)數(shù)和底數(shù)的對(duì)數(shù)），來(lái)獲得基于對(duì)數(shù)概念的運(yùn)算性質(zhì)，從而豐富學(xué)生對(duì)于 對(duì)數(shù)概念的認(rèn)知.突破難點(diǎn)的策略為：舊知新悟，適度模仿，歸納概括，自主舉例.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1 .對(duì)數(shù)概念的形成1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考【實(shí)際情境】網(wǎng)上的一則消息：有驢友挖到幾枚恐龍蛋，送到權(quán)威機(jī)構(gòu)做了碳14同位素鑒定，結(jié)果是白堊紀(jì)的恐龍蛋化石，現(xiàn)坐等博物館上門(mén)收購(gòu).生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量，每經(jīng)過(guò)大約6000年，會(huì)衰減為原來(lái)的一半，這 個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”，研究人員常常根據(jù)機(jī)體內(nèi)碳 14的含量來(lái)推斷生物體的年代，其中半 衰次數(shù) 與碳14的含量P間的關(guān)系為：P = （1）x.2但是，當(dāng)生物組織內(nèi)

8、的碳14含量低于千分之一時(shí)（這里我們按 1 來(lái)計(jì)算），一般的放1024射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14 了.眾所周知，恐龍生活在距今大約一億年前的地球上，那么用碳 14同位素法能推斷出恐龍蛋化石的年代嗎？問(wèn)題1: （1）經(jīng)過(guò)1次半衰期，碳14的含量會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的多少？ 3次呢？ （2）經(jīng)過(guò)幾次 半衰期，一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳 14 了呢？ （3）用碳14同位素法能推斷出恐龍蛋化 石的年代嗎？【預(yù)設(shè)的答案】;不能【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)數(shù)概念不是憑空產(chǎn)生的，用考古鑒定這一實(shí)例，讓學(xué)生感受“求指數(shù)”這 樣的問(wèn)題是客觀存在的，是源于實(shí)際生活的.【數(shù)學(xué)情境】解方程：（1）；（2）; （3）.【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境

9、，通過(guò)指數(shù)方程的實(shí)例，讓學(xué)生感受在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“求指數(shù)”這樣的問(wèn)題也是存在的，有必要研究這一類(lèi)問(wèn)題問(wèn)題2:以上幾個(gè)問(wèn)題的共同特征是什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出問(wèn)題的共同特征：已知底數(shù)和幕，求指數(shù) 1.2 探究典例，形成概念活動(dòng)：解方程：(1)；(2)； (3).【活動(dòng)預(yù)設(shè)】感受在求指數(shù)的過(guò)程中，有的指數(shù)可以直接寫(xiě)出結(jié)果，有的指數(shù)卻不好表示.【設(shè)計(jì)意圖】為引入對(duì)數(shù)符號(hào)表示指數(shù)做鋪墊.問(wèn)題3:以引例中的為例，分析 的值存在嗎？如果存在，符合條件的 的值有幾個(gè)？能估計(jì)出 的大致范圍嗎？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】(1)根據(jù)函數(shù)圖象，思考等式中指數(shù) 的存在性，唯一性和大致范圍；(2)類(lèi)比：在學(xué)習(xí)求方程的根時(shí)，

10、為了表示底數(shù)，引入了數(shù)學(xué)符號(hào)： 一，表示3次方為2的數(shù)；這里，我們引入對(duì)數(shù)符號(hào)來(lái)表示指數(shù) ，將記作 【設(shè)計(jì)意圖】從引例中的具體問(wèn)題入手，思考指數(shù) 的存在性，唯一性和大致范圍，為了 表示指數(shù)，引入對(duì)數(shù)符號(hào)，在具體問(wèn)題中體驗(yàn)用對(duì)數(shù)符號(hào)表示指數(shù)的過(guò)程.問(wèn)題4:結(jié)合方程來(lái)思考，中 表示什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】(1)分析表示的含義；(2)感受：以 為例，分析指數(shù) 可以怎樣用對(duì)數(shù)符號(hào)表示，以及該符號(hào)表示什么.教師講授：若(，)，那么數(shù) 叫做以 為底N的對(duì)數(shù)，記作：x = logaN,其中 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】理解具體的對(duì)數(shù)符號(hào)所表示的含義，并且在探究特例的基礎(chǔ)上，遵循從具體 到抽象的思路，形

11、成對(duì)數(shù)概念.問(wèn)題5:指數(shù)式與對(duì)數(shù)式是等價(jià)的，但 ， 在兩個(gè)式子中的名稱(chēng)一樣嗎？【預(yù)設(shè)的答案】此處畫(huà)上連線圖，呈現(xiàn)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間的關(guān)系?！驹O(shè)計(jì)意圖】(1)體驗(yàn)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互相轉(zhuǎn)化；(2)理解兩個(gè)式子從不同角度表示 ，之間的關(guān)系；通過(guò)圖示連線，認(rèn)識(shí)，在 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式中的名稱(chēng).1.3 具體感知，理性分析活動(dòng)：自主舉例的接龍活動(dòng).【活動(dòng)要求】第一組每一排學(xué)生在四線三格中寫(xiě)出一個(gè)對(duì)數(shù)，其中底數(shù)與真數(shù)都是集合A的元素；(集合 A=-1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5)第二組相應(yīng)排學(xué)生說(shuō)出這個(gè)對(duì)數(shù)的值或所表示的含義；第三組相應(yīng)排學(xué)生說(shuō)出對(duì)數(shù)式相應(yīng)的指數(shù)式.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】如果出現(xiàn)真數(shù)為負(fù)數(shù)或0的

12、情形，引導(dǎo)學(xué)生思考其合理性.【設(shè)計(jì)意圖】在形成概念后，遵循從一般到特殊的思路，在實(shí)踐活動(dòng)中進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，熟悉概念，從外延 的角度加深概念的理解，為下一個(gè)環(huán)節(jié)作鋪墊；同時(shí)也規(guī)范對(duì)數(shù)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)問(wèn)題6:對(duì)數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍分別是什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生回歸指數(shù)，根據(jù)圖象來(lái)判斷底數(shù)、真數(shù)的范圍 .【設(shè)計(jì)意圖】從感知個(gè)例到分析通例，遵循從特殊到一般的思路，在具體實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性分析， 認(rèn)識(shí)底數(shù)與真數(shù)的取值范圍，滲透”對(duì)數(shù)的本質(zhì)是指數(shù)”這一思想，加深對(duì)數(shù)概念外延的理解 為后續(xù)對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪墊.2.初步應(yīng)用，理解概念例1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式1(1) 10g5125=3； log

13、2桁 = 4；-2(3) 10 =0.01； (4)(其中 e=2.71828 ).【預(yù)設(shè)的答案(1)； (2)；(3) ; (4).【設(shè)計(jì)意圖】(1)進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的簡(jiǎn)單互化，熟悉指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化.(2)認(rèn)識(shí)兩種特殊對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù).例2求值其中(1); (2)；(3);(4) loga1; (5) lne; (6) iogaa .【預(yù)設(shè)的答案(1) 2; (2) -4; (3) 0; (4) 0; (5) 1; (6) 1.【設(shè)計(jì)意圖】(5) 利用對(duì)數(shù)概念以及對(duì)指互化求值,加深對(duì)數(shù)概念的理解；(6) 從這個(gè)例題中歸納概括出性質(zhì)：loga1 loga a .(7) 值:(

14、1)若 10gx3=2 其中 ,求的值；(2) 10g84; 4log23 .【預(yù)設(shè)的答案】(1) 一；(2) 一；(3) 9.【設(shè)計(jì)意圖】在解題中加深對(duì)概念的理解，形成解題的基本思路：對(duì)數(shù)問(wèn)題指數(shù)化；形成解題的基本技 能：恰當(dāng)設(shè)數(shù)，變對(duì)數(shù)式為指數(shù)式，然后利用指數(shù)的相關(guān)知識(shí)解題.(8) 納小結(jié)，文化滲透思考：對(duì)于loga N ,應(yīng)該怎樣正確讀，規(guī)范寫(xiě)，它的含義是什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】(1)歸納小結(jié)；(2)欣賞詩(shī)歌：我為自己代言(對(duì)數(shù)版)你只看到我源于指數(shù)，卻沒(méi)看到我比指數(shù)早一步來(lái)到這世上。你有你的迷茫，我有我的規(guī)則。你否定我的可愛(ài)，伽利略說(shuō)，“給我時(shí)間、空間以及對(duì)數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！蹦愠靶?/p>

15、我面目可憎晦澀難懂，我懇請(qǐng)你靠近一點(diǎn)再多讀我一遍。懂我，是場(chǎng)注定孤獨(dú)的旅行，路上少不了探索與思考。但那又怎樣，哪怕再艱難，也有執(zhí)著睿智的勇士理解我的價(jià)值與內(nèi)涵。我是對(duì)數(shù)，我為自己代言！【設(shè)計(jì)意圖】(1)梳理本節(jié)課對(duì)于對(duì)數(shù)的認(rèn)知；(2)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵(lì)學(xué)生積極攀登知識(shí)高峰，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的必要性.六、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)1 .對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：(1) -；(2).2 .求值：(1) 10g39；(2) 10g93.【預(yù)設(shè)的答案】2. (1) 2；(2) 0.5 .【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)是否達(dá)成本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，是否理解對(duì)數(shù)的概念以及對(duì)數(shù)符號(hào)的含義，是 否能夠較為熟練地進(jìn)行對(duì)指互化和求值.對(duì)數(shù)與

16、對(duì)數(shù)運(yùn)算課例點(diǎn)評(píng)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算是人教A版必修一第二章第二節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)的起始課，段艷芳老師的這節(jié)課在理解教材、理解學(xué)生和理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，有如下特色：1 .引入新穎，雙管齊下一方面設(shè)置“恐龍蛋化石”的實(shí)際情境和“解指數(shù)方程”的數(shù)學(xué)情境引入學(xué)習(xí)內(nèi)容，從應(yīng)用價(jià)值的角 度突顯研究對(duì)數(shù)的必要性；另一方面進(jìn)行逆運(yùn)算的分析，從數(shù)學(xué)自身發(fā)展完善的角度體現(xiàn)研究對(duì)數(shù)的必要 性.從課堂實(shí)際效果來(lái)看，學(xué)生在進(jìn)行真假判斷時(shí)，已經(jīng)進(jìn)入良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)2 .緊扣概念，辨證認(rèn)知對(duì)數(shù)概念的理解是教學(xué)難點(diǎn)，這節(jié)課中對(duì)數(shù)概念白學(xué)習(xí)過(guò)程貼合了認(rèn)識(shí)的辨證發(fā)展過(guò)程：從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)：通過(guò)具體情境，具體問(wèn)題，具體對(duì)數(shù)的體驗(yàn)感知，遵循從具體到抽象的

17、過(guò)程，來(lái)建立 對(duì)數(shù)概念，從概念內(nèi)涵的角度學(xué)習(xí)；再實(shí)踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進(jìn)行自主舉例，感知個(gè)例，從概念外延的角度加 深概念理解；再認(rèn)識(shí)：理性分析通例（思考底數(shù)和真數(shù)的范圍），又從特殊到一般進(jìn)行概念的再認(rèn)識(shí)；循環(huán)往復(fù)：在隨后的練習(xí)鞏固中，認(rèn)識(shí)兩種特殊的對(duì)數(shù)（常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)）和兩種特殊的對(duì)數(shù)值（1的對(duì)數(shù)和底數(shù)的對(duì)數(shù)），來(lái)獲得基于對(duì)數(shù)概念的運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)豐富對(duì)于概念的認(rèn)知3 .類(lèi)比學(xué)習(xí)，理解符號(hào)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大的推動(dòng)作用，對(duì)數(shù)符號(hào)抽象而簡(jiǎn)潔，這節(jié)課通過(guò)類(lèi)比熟悉的分?jǐn)?shù)線，根號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生理解：我們將方程中的指數(shù)記作對(duì)數(shù)符號(hào)，該符號(hào)是指數(shù)的一種記法.從實(shí)際的課堂效果來(lái)看，在認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)符號(hào)含義的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠水到渠