第21講-三角函數(shù)的定義教案.

1、第 21 講三角函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)本專題涉及到任意角的三角函數(shù)定義、 同角三角函數(shù)關(guān)系、 誘導公式； 三角函數(shù)的圖像及其變換和三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，三角函數(shù)的定義是三角函數(shù)系列知識的源頭A 類例題例 角,的終邊分別是OA 和 OB ，OA 過點 M (sin,cos) ，且 0，OA2和 OB 關(guān)于直線yx 對稱，則角的集合是 ()2k, kZk, kZ(2001 年第 12 屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽)分析根據(jù)角的終邊所在的象限確定選項2k, kZk, kZ解 由 0知 M ( sin,cos ) 位于第二象限， 從而 M 點關(guān)于直線 yx 的對稱2點在第

2、四象限，即角是第四象限角故選 ( A ) 例 2 若 f ( x)sin x 是周期為的奇函數(shù)，則f ( x) 可以是 ( ) sin x cosx sin 2x cos 2x(1999 年全國高考卷)分析采用分析驗證和用定義求解的方法解法一 ( 分析驗證 )因為 sin x 是奇函數(shù)且不恒為零，所以f ( x) 必須是偶函數(shù)，由此排除 A,C 項，進而驗證知B 選項滿足題意故選 (B ) 解法二 ( 定義求解 )依題意函數(shù)f ( x) sin x 滿足f ( x)sin( x)f ( x)sin x，由 x 的任意性得f (x)sin(x)f (x)sin xf ( x)f ( x)f (x

3、) f ( x)，所以 f (x) f ( x)f ( x) f ( x)f ( x 2)，即函數(shù) f ( x) 是周期為 2 的偶函數(shù)，只能選B說明 作為選擇題解法一直接簡明，而解法二揭示了問題的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上可以構(gòu)造出無數(shù)個滿足題意的f (x) 例 示波器熒屏上有一正弦波，一個最高點在B(3,5) ，與 B 相鄰的最低點C (7,1) ，則這個正弦波對應的函數(shù)是 (2003 年第 14 屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽分析設(shè)出其解析式，利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)求解)解 設(shè) yA sin(x)B ，由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得振幅5 (1)3，周期A2512T 2(7 3)8 ，頻率坐標代入，得初相，

4、T，B2 ，將 B(3,5)424故所求表達式為y 3sin(x)2 44說明 在本題中函數(shù)的表達式不唯一情景再現(xiàn)1方程 tan(2x)3)在區(qū)間 0, 2 ) 上解的個數(shù)是 (33A.5B.4C .3D .2 當 x , ，求函數(shù) f (x)sin x 3cos x 的最大值和最小值22函數(shù) f ( x)sin x2 | sin x |, x0,2的圖象與直線y k 有且僅有兩個不同的交點，則 k 的取值范圍是 _ B 類例題例方程 1 log 2 x sin(5x) 的實根有多少個 ?5分析 僅僅判斷根的個數(shù)，基本方法是利用函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合求解解 原方程實根的個數(shù)即為兩個函數(shù)y1 log

5、 2 x 和 y sin(5x) 圖像的交點的個數(shù)15由于sin x，所以只需考慮x32 132(1)當 1x 1 時，由于函數(shù)ysin(5x ) 的最小正周期是2 ，所以在其范圍內(nèi)函數(shù)325ysin(5x) 的圖像出現(xiàn)兩次，在x 軸下方有四個交點 ;(2)當 1 x32 時，其范圍的長度是周期的155 倍，由于x 1 時 sin 5 x 0 所以有277 2 154 個交點 ;(3) x 1時兩個函數(shù)也有一個交點綜上所述原方程共有 4 154 1 159 個實根說明 利用函數(shù)的圖像來確定某些特殊的非常規(guī)方程的實根個數(shù)是一條十分重要的途徑在“數(shù)形結(jié)合” 時，特別強調(diào)“以數(shù)定形” ，如方程 si

6、n xx 的解只有一個 （當 x (0, )時， sin x x ）2例 在平面直角坐標系xOy 中，函數(shù) f (x) asin axcosax (a 0) 在一個最小正周期長 的 區(qū) 間 上 的 圖 像 與 函 數(shù) g( x)a2 1 的 圖 像 所 圍 成 的 封 閉 圖 形 的 面 積是 (2004 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽 )分析利用正弦函數(shù)圖像的對稱性補形轉(zhuǎn)化求解解f ( x)a2 1sin( ax ),arctan 1，它的最小正周期為2，振幅為aaa21 由 f (x) 的圖像與 g( x) 的圖像圍成的封閉形的對稱性，可將該圖形割補成長為2，寬為a21 的長方形，故它的面積為2a21

7、 aa例 若 x5,， 則 y t a n x(2)t axn () xc o s的( 最 大) 值123366是 (2003 年全國數(shù)學聯(lián)賽 )分析 化弦后利用單調(diào)性求解解ytan( x2 )cot( x2 )cos( x)2cos(x) ，由于函數(shù)的336sin(2 x)63每一部分在給定區(qū)間上都是增函數(shù)，所以當x時取最大值為113 36例已知函數(shù)f ( x) sin(x)(0, 0是 R 上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點)( 3,0) 對稱，且在區(qū)間 0, 是單調(diào)函數(shù)，求和的值42分析運用三角函數(shù)對稱的特征求解，也可用偶函數(shù)和關(guān)于點對稱的定義求解解法一由偶函數(shù)關(guān)于x 軸對稱，知當 x0時函數(shù) f

8、 ( x) 取最大值或最小值，所以sin1,又 0所以2; 另一方面函數(shù) f ( x) 的圖像關(guān)于點 (3,0) 對稱，此點4是 函 數(shù) 圖 像 與 x 軸 的 一 個 交 點 ， 所 以 當 x3， sin( 3) 0，即442cos 30, 32k, ，2 (2 k1) ， k0,1,2,443當 k0 時，22x)在0, 上是減函數(shù) ;, f (x)sin(3322當 k1 時，2, f ( x)sin(2 x) 在0, 上是減函數(shù) ;22當 k2 時，10 f (x)sin(x) 在0, 上不是減函數(shù)232綜上所述或2,32解法二由 f ( x) 是偶函數(shù)，得 f (x)f (x)即

9、sin(x)sin(x) ，所以cossin xcos sin x 對任意 x 都成立，只能是 cos0，又 0，所以2由 f (x) 的圖像關(guān)于點 ( 3,0) 對稱， 得 f ( 3x)f ( 3x) ，令 x0得 f ( 3)0 ，4444以下同解法一例已知 x, y 4, aR，且4x3sin x2a0，則 cos(x2 y)4 y3sin y cos ya0分析 構(gòu)造函數(shù)用單調(diào)性求解，或利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像特征求解解法一 由已知得 x3 sin x 2a ( 2 y)3sin( 2 y) ，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)f (t)t 3sin t ，由此得 f (x)f (2 y) ，而函數(shù) f(

10、t ) 在 , 上是增函數(shù)，44所以有x2y, x2 y0，即cos( x2 y)1解 法二記f ( x)x3sin x 2a，g (2 y)(2 y)3sin(2 y)2a ，于是g( x)x3sin x2a ，又 yf (x), yg (x) 分別是 R 上的增函數(shù)，所以它們的圖像與x軸只有一個交點，而g( x)x3sin x2a(x)3sin(x)2af ( x) ，即 f ( x)g (x) ，所以函數(shù) yf ( x) 與 yg( x) 的圖像關(guān)于原點對稱，那么它們的交點也關(guān)于原點對稱記 f (x)0, g( x)0 的根分別是 x, 2 y ，則 1 ( x 2y)0 ，2所以 co

11、s(x2 y)1情景再現(xiàn)函數(shù)已知ycos4 xsin2 x 的最小正周期是x R，則函數(shù)f ( x) max sin x,cos x, sin x cos x 的最大值與最小值的和是2 若 函數(shù)ysinx(0) 在 區(qū)間 0,1 上 至 少 出 現(xiàn) 50 次 最 大值， 則的 最小 值是C類例題例兩個周期函數(shù)y1, y2 的最小正周期分別為 a, b ，且 bna ，其中 n2, nN 如果函數(shù) yy1y2 的最小正周期為t ，那么下列 5 種情形： ta ， ta ， t b ， tb ， a tb可能出現(xiàn)的情形是（填寫序號）分析周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，構(gòu)造三角函數(shù)回答解由題意知 b 是

12、yy1 y2 的周期，所以 t b ，情形不可能出現(xiàn)；由y2y y1知如果 ta ，那么 a 也是 y2 的最小正周期，矛盾，所以情形不可能出現(xiàn)；其它三種情形都有可能出現(xiàn)下面的例子說明其它三種情形是可能的：取y2sin x sin 2x ，則其最小正周3期 是 b 6 令 y1s i n2x， 此 時 a 3 , t 2 , ta ； 令 y1si nx ， 此 時3a2,t3 ,a tb ；令 y1sin x ，此時 a 2, t 6,t b 所以可能出現(xiàn)的情形是例 1 函數(shù) F ( x)cos2 x 2sin xcos xsin 2xAxB ，當x 0, 3 時的最大值 M 與參數(shù) A,

13、B 有關(guān)，問 A, B 取什么值時 M 為最小 ?證明你的結(jié)論2(1983 年全國數(shù)學聯(lián)賽 )分析 在 M 是最大值的前提下通過特殊值構(gòu)造不等關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)圖像直觀分析解法一 ( 數(shù)形結(jié)合分析 )（ 1）若 AB0 ，|2 sin( 2x) |則當 x,59F (x)4,時，888F ( x) 的最大值 M為2 （2）若 A0, B0 ， F ( x) |2 sin(2x)B |，此時4max|2 B|,|2B |2M=（3）若 A0,B0 ，2 sin(2x)Ax|，若A 0F ( x) |4時，F(xiàn)()|2A8|> 2，此時M2；若 A0 時 ，8F ( 5)|2A5|2，此時也有

14、M2 88（4）若 A0, B0如圖，直線 yAxB 必有一部分在第一或第四象限，與射線 l1 ,l 2 , l3中至少一條相交，交點處兩函數(shù)yAxB 與 y2 sin( 2x) 函數(shù)值同號，其和的絕4對值必小于2 ，因此也有 M2 說明 問題的關(guān)鍵就是考察三個函數(shù)值F (59) 的值，從而得：8),F(),F(88F ()|2AB |88解法二由 F(5)|25AB | ，將這三個函數(shù)值綜合起來考慮88F ( 9)|29AB |88當 A0 時同上，當 A 0 時討論如下：（）若 5AB，則5)2；18<0F (8（2）若 5AB0，9AB(5A B)4A與AB(5A B)4A8888

15、888至少有一個大于0，即 F(9 )2或 F ()2 至少有一個成立，因此總有 M2 88從而當且僅當AB0時， M2 ，其他情況下均有M2 情景再現(xiàn)已知當 x0,1時，不等式 x 2 cosx(1 x)(1x) 2 sin0 恒成立，試求的取值范圍（ 1999 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）習題若角是第四象限的角，則是 ( )第一象限第二象限第三象限第四象限關(guān)于函數(shù) f ( x) 4sin(2 x)(xR) ，有下列命題：3 yf ( x) 是以 2 為最小正周期的函數(shù)； yf ( x) 的表達式可以改寫為y4cos(2 x) ；6 yf ( x) 的圖像關(guān)于點 (,0) 對稱；6 yf ( x)

16、 的圖像關(guān)于直線 x6對稱其中正確的命題的序號是_（注：把你認為正確的命題的序號都填上）若 A,B是銳角 ABC的 兩 個 內(nèi) 角 ， 則 點 P(cos B sin A,sin Bcos A) 在 第象限設(shè) f ( x) 是定義域為 R，最小正周期為3 的函數(shù)，若2f ( x)cos x,(2x 0) ，則 f (15) 的值是sin x,(0x)4設(shè)關(guān)于 x 的方程 x22xsin(2cos23)0 ，其中0, ，則該方程實根的最2大值是，實根的最小值是關(guān)于 角的函數(shù) ycos22a cos4a3 ，當0, 時恒大于 0 ，則實數(shù) a 的2取值范圍是已知函數(shù)f ( x)sin( x)(0,

17、 xR) 滿足f ( x)f ( x 1)f ( x 2) 若 Asin(x9), B sin( x9 )，則 A與 B的大小關(guān)系是已知函數(shù)ysin 2xa cos2x ，在下列條件中分別求實數(shù)a 的值(1) 函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱 ;(2) 函數(shù)圖像關(guān)于直線 x對稱8設(shè) , 分別是方程 cos(sin x)x 和 sin(cos x)x 在區(qū)間 (0,) 上的解，確定, 的2大小關(guān)系三個數(shù)a,b,c(0,) ，且滿足 cosaa ， sin cosbb ， cossin cc ，按從小到2大的順序排列這三個數(shù)（ 16 屆全蘇競賽題）已知集合 M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f (x) 的全體 ;存在非零

18、常數(shù) T ，對任意 x R ，有 f (xT )Tf (x ) 成立若函數(shù) f ( x)sin kxM , 求實數(shù) k 的取值范圍已知：定義在R 上的函數(shù) f (x) 為奇函數(shù)，且在 0,) 上是增函數(shù)若不等式 f (cos 23) f (2msin )0 對任意R 恒成立求實數(shù)m 的取值范圍本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1解 本題實質(zhì)是函數(shù)周期性的應用函數(shù)ytan(2 x3) 的最小正周期 T，而區(qū)間2長度是2 ，是周期的 4 倍，而正切函數(shù)在每個周期內(nèi)是單調(diào)的，故解的個數(shù)為4選 B解化成一個角的一個三角函數(shù)形式，用函數(shù)的單調(diào)性求解f ( x)2sin( x) ， x , ，由 x, 5 及正弦函數(shù)

19、的單調(diào)性知其最大322366值為 2 ，最小值為1 解 f ( x)3 sin x x,0,sin x, x( ,2，作 出 其 圖 像，可 知 有 兩 個 交 點 時的 k 的范 圍 為1 k 3解 ycos4 xsin2 xcos2 x(1sin2 x)sin2 x1 sin 2 x cos2x11 sin 2 2x71 cos 4x 488所以函數(shù) ycos4 xsin2x 的最小正周期為2解 注意到 f ( x)maxsin x,cos x,sin xcos x2maxsin x,cos x,sin( x4)，顯然f (x) 的最大值為1 ，可以通過作出y sin x 和y cos x

20、的圖像得到 max sin x,cos x的最小值是252k時取得，而2，在 x4此時 sin( x)的值為1，所以 f ( x)的最小值是2，從而最大值與最小值的和是42212解 函數(shù)在一個周期內(nèi)只能取得一個最大值，其圖像從原點開始并注意到可在端點1處取到最大值，所以在區(qū)間0,1內(nèi)至少有49 周期再加1 個周期，由2(491) 1得44197，即的最小值是19722解設(shè) f ( x)x 2 cosx(1x)(1x) 2 sin， 則由 x 0,1 時 f ( x)0 恒成立，有 f (0)sin0 ， f (1)cos0 ，f ( x)( xcos)2(1x)sin 22 x(1x)sinc

21、os2x(1 x) sincosx(1 x) x cos(1x)sin 22x(1x)( 1sincos )0 ，當 xsinsin2cos時， xcos(1x) sin0 ，令 x0sin，則 0 x01 ，cossinf ( x0 )2x0 (1x0 )(sin cos1) 0，故1 sin 21 ，即 sin 21，且2222sin0,cos0 ，所求范圍是：2k2k5, k Z1212反之，當 2k2k5Z 時，有 sin 210, cos0 ，, k，且 sin12122于是只要 x 0,1，必有 f ( x)0恒成立“習題”解答：解利用誘導公式推導的方法確定選項角和角的終邊關(guān)于x

22、軸對稱，所以角的終邊在第一象限， 又角和角的終邊關(guān)于原點對稱，所以角的終邊在第三象限故選(C)解作出函數(shù)yf (x) 的圖像，由其直觀性可知正確命題的序號是解由正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導公式求解因為ABC 是銳角三角形，所以AB900 ，即 A900B, B900A ，所以 sin Acos B ，sin Bcos A ，點 P 應在第二象限解由周期性和誘導公式求解f ( 15) f ( 159 )f (3 )sin32442442解數(shù)形結(jié)合求解設(shè)兩實根分別為,，則2sin，于是22()2210 ，又由0,知2cos2202 BA于是滿足條件2210且02的點 (, )在如C圖所示的弧 AB 或

23、CD 上D由此可知實根的最大值為xDyB3 ，實根的最小值是xAyC5解可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值，由最小值大于0 求出 a 的范圍 現(xiàn)用分離變量的方法求解由 cos22a cos4a30,0, ，2得 a2cos2，而 2cos2(2 cos )2 4 ，由基本不等式得其最大2cos2cos2 cos值是 42 2 ，故 a422 解發(fā)現(xiàn)函數(shù)f (x) 的周期性，運用周期變換求解由f ( x) f ( x 1) f ( x 2)得f (x 1) f ( x 2) f (x 3)，兩式相加得f ( x3)f (x) ，即得f ( x6)f ( x) ，從而可知 f ( x) 是以 6為周期的函

24、數(shù)，所以Af ( x9)f ( x 3)f (x 3)f ( x9)B ，即 A 與 B 的大小關(guān)系是AB 解y sin 2xa cos2 x1a2 sin(2x)，其中 tana ，(1)關(guān)于原點對稱則有sin0,k，所以 atan0 ;(2)關(guān)于直線 x對稱則有 sin()1，即3，所以 a tan1 4k84解構(gòu)造函數(shù)，運用其單調(diào)性求解記 f (x)cos(sin x)x,0x，因為 f (0)10 1， 2f ()cos10 ，所以 f (x) 0 在 (0,) 上有根，又f ( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，所2222以 f (x)0在 (0, )上的根是唯一的2同樣記 g( x)sin(cos x )x ，由 g(0)0,g ()0及 g( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，所以22g( x)0在(0,) 上的根存在且是唯一的2由 cos(sin )兩邊取 sin 得sincos(sin)sin 由于 sin(cos x)x 的解是唯一的，所以sin，故sin解運用單調(diào)性結(jié)合分類討論求解（ 1）若 ab ，則 cos a sin cos a ，但由 cosa (0, ) ，故有 cosa sin cosa 矛盾， 2即 a b（ 2）若 a而 sin cosbb，則由單調(diào)性可