1.2高數(shù)上中值定理ppt課件

1、 人的思維可以分為：邏輯思維、人的思維可以分為：邏輯思維、形象思維和靈感思維。迄今為止，形象思維和靈感思維。迄今為止，對邏輯思維的研究比較充分；對形對邏輯思維的研究比較充分；對形象思維的研究取得了一定成果；而象思維的研究取得了一定成果；而對靈感思維的研究幾乎是零。對靈感思維的研究幾乎是零。1、引理、引理 若函數(shù)若函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)的內(nèi)的 x0 處可導(dǎo)且取得處可導(dǎo)且取得最值，那么最值，那么 f ( x0 ) = 0 證明思路證明思路x0處可導(dǎo)處可導(dǎo)f ( x0 ) = f ( x0 + )f ( x0 )最大最大 f ( x0 ) = 000 )x( f00 )x

2、( f證：證：因為，區(qū)間因為，區(qū)間 I 內(nèi)內(nèi) f ( x0 ) 最大最大 00000)x(f)xx(fxx 時時時時00000 x)x(f)xx(flim)x( fx 0 x 00000 x)x(f)xx(flim)x( fx 0 x 第三章第三章 中值定理中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1 3.1 微分中值定理微分中值定理)x( f)x( f)x(fx 000可可導(dǎo)導(dǎo)，必必有有點點而而在在00 )x( f故故直觀上看，就是函數(shù)曲線在最高處有水平切線直觀上看，就是函數(shù)曲線在最高處有水平切線 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得最小值的情況，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得最小值的情況，也可以類似證明。也可以類似證明。2 2、羅爾定

3、理、羅爾定理條件：條件： 函數(shù)函數(shù) f ( x ) 滿足滿足 1、在閉區(qū)間、在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)；上連續(xù)； 2、在開區(qū)間、在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； 3、f ( a ) = f ( b ) 結(jié)論：結(jié)論：在在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使得，使得 f ( ) = 0 注意：條件缺一不可；注意：條件缺一不可； 證明的關(guān)鍵是：證明的關(guān)鍵是： 存在，并且是區(qū)間的內(nèi)點；存在，并且是區(qū)間的內(nèi)點； 羅爾定理的條件充分而非必要。羅爾定理的條件充分而非必要。a ab b。證明思路證明思路M = m f ( x ) = C ( a , b ) 內(nèi)任意點可為內(nèi)任

4、意點可為 mM最最小小值值所所以以必必然然取取得得最最大大值值函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，M m M , m 不可能都在端點取得，不可能都在端點取得，設(shè)設(shè) M 由區(qū)間內(nèi)某點取得由區(qū)間內(nèi)某點取得f ( a ) = f ( b )由引理可得結(jié)論由引理可得結(jié)論存在存在)x( f僅供參考，僅供參考，不作要求不作要求 這類問題容易發(fā)生邏輯性這類問題容易發(fā)生邏輯性錯誤：錯誤：“由由( (定理定理) )，得得( (結(jié)論結(jié)論) )” 應(yīng)該驗證：應(yīng)該驗證：1 1、滿足定理的條件；、滿足定理的條件；2 2、（不依賴定理可以獨、（不依賴定理可以獨立得出結(jié)論。立得出結(jié)論。3 3、關(guān)于、關(guān)于“對函數(shù)驗證對函數(shù)

5、驗證定理定理”驗證：驗證： 上上可可導(dǎo)導(dǎo)，從從而而連連續(xù)續(xù)。，在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)上上成成立立，在在閉閉區(qū)區(qū)間間3333332 yx y133 )(y)(y又又：所以，函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的條件所以，函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的條件是是正正確確的的。在在區(qū)區(qū)間間故故：羅羅爾爾定定理理對對函函數(shù)數(shù)羅羅爾爾定定理理的的結(jié)結(jié)論論成成立立。使使和和即即：確確有有區(qū)區(qū)間間的的內(nèi)內(nèi)點點和和得得令令：33-1300113313310333112,xxyy,y,xx),(x),(xxyxx上上驗驗證證羅羅爾爾定定理理，在在閉閉區(qū)區(qū)間間對對函函數(shù)數(shù)33133xxy例例1 1根據(jù)羅爾定理，在區(qū)間根據(jù)

6、羅爾定理，在區(qū)間1，2）（）（2，3內(nèi)，各至少有一內(nèi)，各至少有一點點 1，2 使使 f ( 1 ) = 0 和和 f ( 2 ) = 0 4 4、利用羅爾定理討論某些方程根的情況、利用羅爾定理討論某些方程根的情況 羅爾定理表明：如果閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)的函數(shù)羅爾定理表明：如果閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)的函數(shù) y = f ( x )有兩個點有兩個點 x1 , x2,其函數(shù)值相等，其函數(shù)值相等，那么，方程那么，方程 f ( x ) = 0 在在 x1 , x2 之間必有至少一個實根。之間必有至少一個實根。例例2 不求函數(shù)不求函數(shù) f ( x ) = ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 )的導(dǎo)

7、數(shù)，的導(dǎo)數(shù)， 說明方程說明方程 f ( x ) = 0 有幾個實根。有幾個實根。解：函數(shù)解：函數(shù) f ( x ) 在整個實數(shù)軸上連續(xù)、可導(dǎo)，在整個實數(shù)軸上連續(xù)、可導(dǎo)，且且 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 , 滿足羅爾定理的條件，滿足羅爾定理的條件，但是，但是，f ( x ) = 0 是二次方程，至多有兩個實數(shù)根，是二次方程，至多有兩個實數(shù)根，所以，所以，f ( x ) = 0 有且僅有兩個實根有且僅有兩個實根 x = 1 和和 x = 2二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 條件：條件：1、函數(shù)、函數(shù) f ( x ) 在在 a , b 上連續(xù)；上連續(xù)； 2、

8、函數(shù)、函數(shù) f ( x ) 在在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。 結(jié)論：在結(jié)論：在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ， 使使 f ( b ) f ( a ) = f ( ) ( b a ) 定定理理的的條條件件即即可可。符符合合羅羅爾爾只只需需驗驗證證把把方方括括號號內(nèi)內(nèi)的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)為為上上式式可可以以看看作作于于結(jié)結(jié)論論中中的的表表達(dá)達(dá)式式，等等價價)x(),x(xab)a(f)b(f)x(fab)a(f)b(f)( fx 001 1、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 分析：分析：2 2、拉格朗日中值定理的幾何意義、拉格朗日中值定理的幾何意義abx xy yO

9、O 1 1 2 2AABBf ( b ) f ( a ) ab 3 3、拉格朗日中值公式的其它形式、拉格朗日中值公式的其它形式)(x)xx(f)x(f)xx(fx)(fyx)(f)x(f)xx(f10 或或或或內(nèi)內(nèi)部部區(qū)區(qū)間間自自然然，這這點點落落在在”加加上上不不到到一一個個“給給則則可可以以理理解解為為點點”可可以以理理解解為為“不不到到一一個個)xx,x(xxxx, 10注意：注意：函數(shù)的微分是增量的近似值，有公式函數(shù)的微分是增量的近似值，有公式dx)x(fdyy 其中，其中，x 在區(qū)間的端點取值，在區(qū)間的端點取值，d x 則要很小。且則要很小。且 f ( x ) 不為零。不為零。x)(

10、fy 而拉格朗日增量公式則是一個精確公式而拉格朗日增量公式則是一個精確公式也也可可以以等等于于零零。而而且且，就就行行。）很很小小，只只要要是是有有限限量量（即即：不不要要求求在在區(qū)區(qū)間間的的內(nèi)內(nèi)部部取取值值，其其中中，)( fdxx 因而，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式因而，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式 xxx xx 4 4、拉格朗日定理的重要推論、拉格朗日定理的重要推論P94P94推論）推論） b,ax,CCxfxfb,ab,a為為常常數(shù)數(shù)）（則則內(nèi)內(nèi)上上函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間在在閉閉區(qū)區(qū)間間0)xx)( f)x(f)x(f)x,x(,b,ax,x12122121 使

11、使由由拉拉格格朗朗日日定定理理，必必C)x(fx,x)x(f)x(f)( f)xx(x)x( f 的的任任意意性性由由即即：），（212121 0001)x( fC)x(f)b,a(b,a內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)：閉閉區(qū)區(qū)間間推推論論證：證：C)x(g)x(fC)x(g)x(fC),x(g)x(fI:或或使使則則存存在在一一個個常常數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)若若在在區(qū)區(qū)間間推推論論2另外，容易證明：另外，容易證明：課本例課本例3 32arccotxarctanx ）內(nèi)）內(nèi)，證明，在（證明，在（arccotxarctanxxf）（設(shè)：設(shè)：證：證：0111122xx)x(f,-x）有有（則則對對為常數(shù)）

12、為常數(shù)）（）上恒有）上恒有，在（，在（由拉格朗日定理的推論由拉格朗日定理的推論CCxarccotxarctan22arccotarctan,x 0000有：有：取特殊值取特殊值2arccotxarctanx ）內(nèi)）內(nèi)，故，在（故，在（利用中值定理可以證明某些不等式。利用中值定理可以證明某些不等式。x)xln(xxx 110時時，證證明明當(dāng)當(dāng)證：證：111110 xx又又因因為為 部部條條件件，于于是是滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的全全上上，在在區(qū)區(qū)間間顯顯然然，設(shè)設(shè)：x)x(f).xln()x(f01 x)x)( f)(f)x(f 000 x)x( f,)(f1100由由于于x)xln(

13、 111因因此此，上上式式可可以以寫寫作作x)xln(xx11 11)( f從從而而：有有關(guān)關(guān)。的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)都都和和與與函函數(shù)數(shù)上上式式中中，不不等等式式左左端端的的x)xln(xx1111xxxx 11故故有有：利用中值定理證明不等式一般可以分兩步：利用中值定理證明不等式一般可以分兩步：1 1、選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間，用中值定理得到含、選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間，用中值定理得到含 的等式，的等式，2 2、放大或縮小含、放大或縮小含 的式子，去掉含的式子，去掉含 的項的項補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題：babarcsinaarcsinba，求求證證不不等等式式：設(shè)設(shè)：11理理的的條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗

14、朗日日中中值值定定顯顯然然，它它在在令令：b,a,xarcsin)x(f211 abaarcsinbarcsinb,a使：使：于是：于是：1112 但但，1abaarcsinbarcsinbaaarcsinbarcsin,ba有有以以兩兩邊邊取取絕絕對對值值，并并同同乘乘解：解：三、柯西中值定理三、柯西中值定理條件：條件：內(nèi)任一點均不為零。內(nèi)任一點均不為零。，在在、內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；，在開區(qū)間在開區(qū)間、上連續(xù)；上連續(xù)；，在閉區(qū)間在閉區(qū)間、)ba()x( F)ba()x(F)x(fba)x(F)x(f321結(jié)論：結(jié)論：)( F)( f)a(F)b(F)a(f)b(f)ba( ，滿滿足足：內(nèi)內(nèi)至至少

15、少有有一一點點，在在BBF(a)F(a)F(F() )F(b)F(b)f(a)f(a)f( f() )f(b)f(b)X XYYo oAAC C1 1、定理、定理2 2、幾何意義：、幾何意義：僅供參考，僅供參考，不作要求不作要求3、注意：、注意： （1定理中的定理中的 f ( ) ，F(xiàn) ( ) 是在同一點是在同一點 處處的的導(dǎo)數(shù)值，所以下面的證明是錯誤的：導(dǎo)數(shù)值，所以下面的證明是錯誤的： 論論。兩兩式式相相除除得得到到定定理理的的結(jié)結(jié)使使故故條條件件都都滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的、由由定定理理的的條條件件可可知知)ab)( F)a(F)b(F)ab)( f)a(f)b(fb,a)x(

16、F)x(f 因為不能保證，兩個函數(shù)由拉格朗日定理得到的是同一個點因為不能保證，兩個函數(shù)由拉格朗日定理得到的是同一個點 . .（2 2若若F ( x ) = x F ( x ) = x ，則成為柯西定理的特殊情況，與拉格朗日定，則成為柯西定理的特殊情況，與拉格朗日定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例?？挛鞫ɡ砝淼男问较嗤Ｋ岳窭嗜斩ɡ硎强挛鞫ɡ淼奶乩?。柯西定理則是拉格朗日定理的推廣則是拉格朗日定理的推廣 。（3 3柯西定理的一個重要應(yīng)用就是洛必達(dá)法則?？挛鞫ɡ淼囊粋€重要應(yīng)用就是洛必達(dá)法則。僅供參考，僅供參考， 不作要求不作要求證：證：)ab)( F)a(F)b(F 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理：00)a(F)b(F)x( F)ba(x已已知知，對對)a(F)x(F)a(F)b(F)a(f)b(f)a(f)x(f)x( 引入輔