高二數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線方程： 8.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)秀教案

1、§8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程2.能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力3.學(xué)科滲透點(diǎn)通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力二、教材分析1重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較)2難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明)3疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因(解決辦法：分三種情況說(shuō)明

2、動(dòng)點(diǎn)的軌跡)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：?jiǎn)栴}1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形問(wèn)題2：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”“到兩定點(diǎn)距離平方差等

3、于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等認(rèn)識(shí)橢圓（幻燈片）在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|

4、)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建

5、立橢圓的方程如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)囊詢啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)設(shè)|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)(2)點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：P=M|MF1|+|MF2|=2a(3)代數(shù)方程(4)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方

6、程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要(ab0)關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)這里c2=a2-b22兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)F1(-c，0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y

7、互換即可得到教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，a2b2，可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程oyxF2F1MF1F2Moyx圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0) , F2(c,0)F1(c,0) , F2(c,0)共同點(diǎn)定義a、b、c的關(guān)系a>b>0，b，c大小不確定。焦點(diǎn)的位置的判定x²,y²項(xiàng)中哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在那一條軸上。(三)例題與練習(xí)例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4，0)、(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10； (2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，2)、(0，2)，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) 解：(1)因?yàn)闄E圓

8、的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2a10，2c8， a5，c4 b2=a2c2=5242=9 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知， 又c=2， b2=a2c2104=6 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 例2 已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|6，且ABC的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程 分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫(huà)出草圖 在圖84中，由ABC的周長(zhǎng)等于16，|BC|6可知，點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)，即|AB|AC|=166=10，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)

9、的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫(huà)出草圖(圖84) 解：如圖84，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合 由已知|AB|AC|BC|=16，|BC|=6，有|AB|AC|=10， 即點(diǎn)A的軌跡是橢圓，且 2c6，2a16610， c3，a5，b2523216 但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A的軌跡方程是 注 求出曲線的方程后，要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在所得方程后注明限制條件 練習(xí)1、橢圓的a=_,b=_,c=_.焦點(diǎn)坐標(biāo)是 。練習(xí)2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為8,則P點(diǎn)的軌跡為( ）A、橢圓 B、線

10、段F1F2 C、直線F1F2 D、不能確定練習(xí)3、橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是_。練習(xí)4、寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=4,b=1(2) 練習(xí)5、方程x2+ky2=2的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（ ） A、（0，+） B、（0，2） C、（1，+ ） D、（0，1）練習(xí)6、方程 表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則k的取值范圍為 .引申：在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC中B(-3,0)，C(3,0),且三邊|AC|, |BC| , |AB|長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。 (四)小結(jié)1定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)3.討論了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：注意：求出曲線的方程之后，要驗(yàn)證方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如