概率論與數(shù)理統(tǒng)計之隨機事件的概率(共69頁).ppt

1、本資料來源第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率隨機事件的概念隨機事件的概念事件的關系和運算事件的關系和運算 隨機事件的概率隨機事件的概率條件概率條件概率事件的獨立性事件的獨立性1.3 隨機事件的概率隨機事件的概率1.3.1 概率的統(tǒng)計定義1.3.2 概率的古典概型定義1.3.3 概率的幾何概型定義1.3.4 概率的公理化定義).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并記記發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率稱稱為為事事件件比比值值生生的的頻頻數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)稱稱為為事事件件發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)事事件件次次試試驗驗中中在在這這次次試試驗驗進進行行了了在在相相同同的的條條件件下下1. 定義定義 頻率的定

2、義與性質頻率的定義與性質 、概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義在隨機試驗中在隨機試驗中, ,若事件若事件A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率1.定義定義1.2 則定義事件則定義事件A的概率為的概率為p, ,記作記作P( (A)=)=p .01p著試驗次數(shù)著試驗次數(shù)n的增加的增加, ,趨于某一常數(shù)趨于某一常數(shù)p,nm隨隨實驗者實驗者德德.摩根摩根蒲豐蒲豐K.皮爾遜皮爾遜K.皮爾遜皮爾遜nHnf204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21210PP( )(),();0()1;p A(1) 對任一事件對任一事件A ,有

3、有性質性質1.1 (概率統(tǒng)計定義的性質概率統(tǒng)計定義的性質)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 個事件個事件對于兩兩互斥的有限多對于兩兩互斥的有限多說明說明 概率的統(tǒng)計定義直觀地描述了事件發(fā)生的概率的統(tǒng)計定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質內容，但也有可能性大小，反映了概率的本質內容，但也有不足，即無法根據(jù)此定義計算某事件的概率不足，即無法根據(jù)此定義計算某事件的概率. 、古典概型、古典概型1.古典概型定義若隨機試驗若隨機試驗 E 具有下列具有下列兩個兩個特征：特征：1) 有限性有限性 樣本空間樣本空間 中，只有有限個樣本點：中，只有有限個樣本點：

4、n ,21,21n 即即2) 等可能性等可能性 ,21發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性相相等等n 則稱則稱E所描述的概率模型為所描述的概率模型為古典概型古典概型. (定義定義1.3)設試驗設試驗 E 的樣本空間的樣本空間 由由n 個樣本點個樣本點構成構成, A 為為 E 的任意一個事件的任意一個事件,且包含且包含 m 個樣本個樣本點點, 則事件則事件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: .)(所所含含樣樣本本點點的的總總數(shù)數(shù)樣樣本本空空間間所所包包含含樣樣本本點點的的個個數(shù)數(shù) AnmAP稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 2. 古典概型中事件概率的計算公式例1濱江賓館共有職工濱江賓館共有職工2

5、00人，其中女性有人，其中女性有160人人. 現(xiàn)從所有職工任選一人，選得現(xiàn)從所有職工任選一人，選得男性的概率是多少？男性的概率是多少？解解樣本點總數(shù)：樣本點總數(shù)：n = 200(人人)事件事件A =“選得男性選得男性”A所包含的樣本點數(shù)所包含的樣本點數(shù)(即男性職工數(shù)即男性職工數(shù))為：為：m = 200-160=40(人人)nmAP )(2 . 05120040 2 古典概率的計算公式：古典概率的計算公式：nmAP )(1 判斷判斷古典概型的兩個依據(jù)：古典概型的兩個依據(jù)： 的的有限性；有限性； 樣本點樣本點 的的等可能性等可能性.3 乘法原理、排列與組合復習乘法原理、排列與組合復習(1) 乘法原

6、理乘法原理設完成一件事須有設完成一件事須有n個步驟，若第一步有個步驟，若第一步有步步有有種種方方法法，第第種種方方法法，第第二二步步有有nmm21共共有有種種方方法法，則則完完成成這這件件事事nmnmmmN 21.種種方方法法注注(2) 排列排列1) 無重復排列無重復排列. 從從 n 個不同的元素個不同的元素中，中，naaa,21無放回地任取無放回地任取m個，有個，有順序地排成一列的排列方法種數(shù)：順序地排成一列的排列方法種數(shù)：)1()1( mnnnPmn!nPnn 全全排排列列：4問：由問：由1，2，3，4四個數(shù)字能組成多少四個數(shù)字能組成多少無重復數(shù)字出現(xiàn)的兩位數(shù)？無重復數(shù)字出現(xiàn)的兩位數(shù)？解解

7、十位十位132423143124123個位個位123424 P共有：共有：個無重復數(shù)字的兩位數(shù)個無重復數(shù)字的兩位數(shù).例例2進一步問：從這四位數(shù)字中，取到的無重復進一步問：從這四位數(shù)字中，取到的無重復的兩位數(shù)字的個位數(shù)字是的兩位數(shù)字的個位數(shù)字是2的概率為多少？的概率為多少？A解解 樣本點總數(shù)：樣本點總數(shù)：n =A所包含的樣本點數(shù)：所包含的樣本點數(shù)：m =313 PnmAP )(25. 041123 123424 P2) 重復排列重復排列. 從從n個不同的元素個不同的元素中，中，naaa,21有放回地任取有放回地任取m個，個，每次取一個，有順序地每次取一個，有順序地排成一列的排列方法種數(shù)：排成一列

8、的排列方法種數(shù)：mnnnn 有有3個球，分別染著紅、黃、藍個球，分別染著紅、黃、藍3種顏色種顏色. 從這從這3個不同顏色的球中有放回地任取個不同顏色的球中有放回地任取兩次兩次，每次取一個球每次取一個球,記下球的顏色和它出現(xiàn)的次序記下球的顏色和它出現(xiàn)的次序.問：最多能出現(xiàn)多少種花樣？問：最多能出現(xiàn)多少種花樣？m個個解解)(933種種 例3(3) 組合組合從從n個各不相同的東西中，任取出個各不相同的東西中，任取出m個個(不不計順序計順序),問：共有多少種取法？問：共有多少種取法？每一種取法稱為一個每一種取法稱為一個組合組合.組合組合(總總)數(shù)數(shù)：!mPCmnmn )!( !mnmn mn或記為或記

9、為mnnmnCC 111 mnmnmnCCC1,11 nnnnCnPC排列與組合的區(qū)別是：前者與次序有關，排列與組合的區(qū)別是：前者與次序有關，后者與次序無關后者與次序無關.組合的性質：將將4本不同的書分給甲，乙兩人本不同的書分給甲，乙兩人.若甲得一本，乙得若甲得一本，乙得3本，問：共有多本，問：共有多少種分法？少種分法？解解).(4143314種種共共有有分分法法數(shù)數(shù)： CC從從4本書中任取本書中任取1本給甲的方法數(shù)本給甲的方法數(shù)例4多重組合數(shù)：多重組合數(shù)：將將n個不同的東西個不同的東西(如：書如：書)中的中的n1個分給個分給A1，n2個分給個分給 A2，nk個分給個分給Ak( n1+n2+

10、+nk=n), 共有分法：共有分法：kknnnnnnnnnnCCCN121211 !21knnnn 3. 常見的三種常見的三種古典概型基本模型古典概型基本模型(1) 摸球模型；摸球模型；(2) 分房問題；分房問題；(3) 隨機取數(shù)問題隨機取數(shù)問題.問題問題1 設袋中有設袋中有M只白球和只白球和 N只黑球只黑球, 現(xiàn)從袋中現(xiàn)從袋中無放回無放回地依次摸出地依次摸出m+n只球只球,求所取球恰好含求所取球恰好含m個個白球白球, ,n個黑球的概率個黑球的概率?(1) 無放回地摸球無放回地摸球基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為: :A 所包含所包含基本事件的個數(shù)為基本事件的個數(shù)為解解設設 A = 所取球恰好含所

11、取球恰好含m個白球個白球, ,n個黑球個黑球 摸球模型nmNMC nNmMCC .)(nmNMnNmMCCCAP 故故同類型的問題還有：同類型的問題還有：4) 產(chǎn)品檢驗問題產(chǎn)品檢驗問題；6) 撲克牌花色問題；撲克牌花色問題；5) 鞋子配對問題；鞋子配對問題；7) 英文單詞、書、報及電話號碼等排列問題英文單詞、書、報及電話號碼等排列問題.1) 中彩問題；中彩問題；2) 抽簽問題；抽簽問題；3) 分組問題；分組問題；(2) 有放回地摸球有放回地摸球問題問題2 設袋中有設袋中有4只紅球和只紅球和6只黑球只黑球,現(xiàn)從袋中現(xiàn)從袋中有放有放回回地摸球地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3

12、次摸到紅球次摸到紅球的概率的概率.解解,2第第三三次次摸摸到到紅紅球球次次摸摸到到黑黑球球前前設設 A第第1 1次摸球次摸球10種種第第2次摸球次摸球10種種第第3次摸球次摸球10種種6種種第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6種種第第2次摸到黑球次摸到黑球4種種第第3次摸到紅球次摸到紅球基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為310101010 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為,101010103 A 所包含所包含基本事件的個數(shù)為基本事件的個數(shù)為, 466 310466)( AP故故.144. 0 同類型的問題還有：同類型的問題還有：2) 骰子問題骰子問題.1) 電話號碼問題；電話號碼問題；3) 英文單詞、書、

13、報等排列問題英文單詞、書、報等排列問題.1 先求樣本空間先求樣本空間 所含的樣本點總數(shù)所含的樣本點總數(shù).有有n個人，每個人都以同樣的概率個人，每個人都以同樣的概率 1/N被分配在被分配在N(nN)間房中的每一間中，試求間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：下列各事件的概率：(1) 某指定某指定n間房中各有一人；間房中各有一人；(2) 恰有恰有n間房，其中各有一人；間房，其中各有一人；(3) 某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人.解解 分房模型分房模型把把n個人隨機地分到個人隨機地分到N個房間中去，每一個房間中去，每一種分法就對應著一個樣本點種分法就對應著一個樣本點(基本事件基本事件)

14、，由于每個人都可以住進由于每個人都可以住進N間房中的任一間房中的任一分析分析間，所以每一個人有間，所以每一個人有N種分法，種分法，n個人共個人共有有 NN N=Nn 種分法，即種分法，即樣本點總數(shù)：樣本點總數(shù)：nN2 (1) 設設 A=“某指定某指定n間房中各有一人間房中各有一人”則則 A所含樣本點數(shù)：所含樣本點數(shù)：!nPnn nNnAP!)( (2) 設設 B=“恰有恰有n間房，其中各有一人間房，其中各有一人”分析分析對于事件對于事件B，由于未指定哪，由于未指定哪n個房個房間，所以這間，所以這n間房可以從間房可以從N個房間個房間中任意選取，共有中任意選取，共有 nNC種分法種分法.而而對于每

15、一選定的對于每一選定的n間房，其中各間房，其中各有一人的分法有有一人的分法有 n!種，所以事件種，所以事件B所含的所含的樣本點數(shù)樣本點數(shù)：!nCnN nnNNnCBP!)( (3) 設設 C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”.分析分析“某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人”,這這m個人可以從個人可以從n個人中任意選出個人中任意選出，共有共有mnC種選法，而其他的種選法，而其他的n-m個人可以任意地被分到余下的個人可以任意地被分到余下的N-1間房中去，共有間房中去，共有mnN )1(種分法，種分法，所以事件所以事件C所含的樣本點數(shù)所含的樣本點數(shù)：mnmnNC )1(n

16、mnmnNNCCP )1()(同類型的問題還有：同類型的問題還有：1) 球在杯中的分配問題；球在杯中的分配問題；2) 生日問題；生日問題；3) 旅客下站問題；旅客下站問題；5) 性別問題性別問題4) 印刷錯誤問題；印刷錯誤問題；(球球人，杯人，杯房房)(日日 房，房，N=365天天)( 或或 月月 房，房，N=12月月)等等等等.隨機取數(shù)模型隨機取數(shù)模型 從從0, 1, 2,9共共10個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取 一個，一個，假定每個數(shù)字都以假定每個數(shù)字都以1/10的概率被取中，取的概率被取中，取后還原，先后取出后還原，先后取出7個數(shù)字，試求下列各個數(shù)字，試求下列各事件的概率：事件的概率：(1)

17、7個數(shù)字全不同；個數(shù)字全不同；(2) 不含不含4和和7；(3) 9恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn)2次；次；(4) 至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)2次次9.解解樣本空間所包含的樣本點總數(shù)：樣本空間所包含的樣本點總數(shù)：107(1) A=“7個數(shù)字全不同個數(shù)字全不同”A所包含的樣本點數(shù)：所包含的樣本點數(shù)：710P45678910 ! 310!1010)(77710 PAP(2) B=“ 不含不含4和和7” )(BP2097. 010877 (3) C=“9恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn)2次次” )(CP7527109 C(4) D=“至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)2次次9”.732DDDD 7727109)(kkCDP )7(9 kkDk次次”恰恰好好出

18、出現(xiàn)現(xiàn)“(方法方法1)()()()(732DPDPDPDP (方法方法2)10DDD )(1)(DPDP )()(110DPDP 72777109)(kkkCDP7617771091091 C1497. 0 1.3.3 、幾何概型、幾何概型1. 幾何概型定義幾何概型定義若試驗若試驗E E具有下列特征：具有下列特征：1)1)無限性：無限性： E的樣本空間的樣本空間 是某是某幾何空間幾何空間中中的一個區(qū)域，其的一個區(qū)域，其包含無窮多個包含無窮多個樣本點，每個樣本點樣本點，每個樣本點由區(qū)域由區(qū)域 內內的點的隨機位置所確定；的點的隨機位置所確定；2)2)等可能性：等可能性： 每個樣本點的出現(xiàn)是等可能的

19、，每個樣本點的出現(xiàn)是等可能的，即樣本點落在即樣本點落在 內內幾何度量幾何度量相同相同的子區(qū)域是等可能的，的子區(qū)域是等可能的，則稱則稱E所描述的概率模型為所描述的概率模型為幾何概型幾何概型，并稱并稱E為幾何概型隨機試驗.注注. .幾何空間幾何空間一維一維二維二維三維三維幾何度量幾何度量長度長度面積面積體積體積2. 幾何概率幾何概率定義定義. . 對于隨機試驗對于隨機試驗E，以，以m(A)表示的幾何表示的幾何度量，度量， 為樣本空間為樣本空間. 若若 0 m( )0)的一些平行線，的一些平行線，向平面任意投一長為向平面任意投一長為l(la)的針，試求針的針，試求針與平行線相交的概率與平行線相交的概

20、率.alMx sin2l解解設設M表示針落下后，針表示針落下后，針的中心，的中心，x 表示表示M與最與最近一平行線的距離，近一平行線的距離， 表示針與這平行線的夾表示針與這平行線的夾角，則角，則樣本空間樣本空間 ：l/2 0,20ax針與一平行線相交針與一平行線相交 sin20lx 設設 A=“針與一平行線相交針與一平行線相交”，則，則 sin20:lxA 0 x a/2A sin2lx )()()( SASAPaladl 22sin20 1.3.4、概率的公理化定義、概率的公理化定義1.定義定義. 設設E是隨機試驗，是隨機試驗， 是它的樣本空間，是它的樣本空間，對于對于E的每一事件的每一事件

21、A賦予一個實數(shù)，記賦予一個實數(shù)，記作作P(A)，若，若P(A)滿足下列三條公理：滿足下列三條公理：(1) 非負性非負性：對于每一事件對于每一事件A，有，有 0 P(A) 1;(2) 規(guī)范性規(guī)范性：P( )=1;(3) 可列可加性可列可加性：,21，對對于于兩兩兩兩互互斥斥的的事事件件AA jiAAji時時，即即), 2, 1,( ji,則有則有 )()()()(2121mmAPAPAPAAAP則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率的概率.2. 概率的性質概率的性質(1) P()=0證證P( )=P( )+P()+P()+ = + + + P( )=1 P()=0(2) 有限可加性有限可加性:，則

22、則為為有有限限個個兩兩兩兩互互斥斥事事件件，設設mAAA,21 miimiiAPAP11)()( mmAAAAAA2121證證+ mmAAAPAAAP2121()(+ + ) )()()(21mAPAPAPP()+ P()+ )()()(21mAPAPAP (3) 逆事件的概率逆事件的概率: 對于任意事件對于任意事件A，有，有)(1)(APAP 證證 AAAA,1)()()( PAPAP)(1)(APAP 即即(4)()()(BPAPBAPAB ，則，則若若證證AB )(BABBAA BBABAB)(又又)()()(BAPBPAP )()()(BPAPBAP 即即推論推論1(單調性單調性)()

23、(APBPAB ，則，則若若證證由性質由性質4，及，及 P(A B)0, 知命題成立知命題成立.(5) 概率的加法公式概率的加法公式:對于任意兩個事件對于任意兩個事件A, B，有，有)()()()(ABPBPAPBAP 證證)(ABABA )(BABABBABB ABBBABABAB AABABBA)(又又)(ABBABA )()()(ABBPAPBAP BAB )()()(ABPBPABBP )()()()(ABPBPAPBAP 從從而而B AAB推論推論2.)()()(BPAPBAP 一般地，一般地， niiniiAPAP11)()(推論推論3.有有，個個事事件件對對于于任任意意,21nA

24、AAn njijiniiniiAAPAPAP111)()()( nkjikjiAAAP1)(例例10已知已知分分別別在在下下列列三三種種,21)(,31)( BPAP.)(的的值值情情形形下下，求求ABP互互斥斥；與與BA)1(；BA )2(.81)()3( ABP解解 AB)1(AB ,BAB 21)()( BPABP故故ABA；BA )2()()(ABPABP )()(APBP 3121.61BAB )()()()(ABPBPABBPABP .838121 .81)()3( ABP例例11, 0)(,41)()()( ABPCPBPAP已已知知全全，求求事事件件CBABCPACP,161)

25、()( .不不發(fā)發(fā)生生的的概概率率解解)()(CBAPCBAP )(1CBAP )()()()()()()(1ABCPACPBCPABPCPBPAP ABABC 0)()(0 ABPABCP)()(CBAPCBAP 從而從而0)()(0)()()(1 ACPBCPCPBPAP.83)16243(1 0)( ABCP例例12發(fā)發(fā)生生，同同時時發(fā)發(fā)生生則則與與已已知知AAA21)1(1)()()(21 APAPAP證證明明：，則，則若若AAAA 321)2(2)()()()(321 APAPAPAP證證，則則由由已已知知條條件件知知AAA 21)1()()()()()(212121AAPAPAPA

26、APAP 1)()(21 APAP)1)(0(21 AAP，則則AAAA 321)2(1)()()()(213321 AAPAPAAAPAP1 1)()()(213 APAPAP2)()()(321 APAPAP備用題備用題例例5-1(中彩問題中彩問題) 從從1,2,33共共33個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取一個，假定每個數(shù)字都以一個，假定每個數(shù)字都以1/33的概率被的概率被取中，取后不放回，先后取出取中，取后不放回，先后取出7個數(shù)字，個數(shù)字，求取中一組特定號碼求取中一組特定號碼A的概率的概率.（考慮順序）（考慮順序）例例5-2 把把10本書任意地放在書架上，求其中本書任意地放在書架上，求其中指定的

27、指定的3本書放在一起的概率本書放在一起的概率.解解設設 A=“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”所所含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)：A3388PPm !10! 8! 3)(AP067. 0151 例例5-3 (抽簽問題) 在編號為在編號為1, 2, 3, , n 的的n張贈券中，采用張贈券中，采用無放回式抽簽，試求在第無放回式抽簽，試求在第 k次次(1kn)抽到抽到1號號贈券的概率贈券的概率.解解設設 A=“第第k次抽到次抽到1號贈券號贈券”則樣本空間樣本點總數(shù)：則樣本空間樣本點總數(shù)：knPn 所所含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)：A1111PPmkn knknPPPAP1111)( )1()1(1)

28、1()1()2)(1( knnnknnn.1n 注注此題不能直接用組合方法此題不能直接用組合方法. 原因：題目強原因：題目強調了次序：調了次序：“第第k次抽到次抽到1號贈券號贈券”例例5-4 (分組問題) 將將20個球隊分成個球隊分成兩組兩組(每組每組10隊隊)進行比賽，進行比賽，求最強的兩隊分在不同組的概率求最強的兩隊分在不同組的概率.分析：分析：.1910102012918 CCCP在在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,種種knDNkDCC 于是所求的概率為于是所求的概率為.nNknDNkDCCCp 解解在在N件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽

29、取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,種種nNC?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少問其中恰有問其中恰有件件今從中任取今從中任取件次品件次品其中有其中有件產(chǎn)品件產(chǎn)品設有設有DkknDN 例例5-5 (產(chǎn)品檢驗問題) 在房間里有在房間里有10個人個人,分別佩戴從分別佩戴從1號到號到10號的紀念章號的紀念章,任選任選3個記錄其紀念章的號碼個記錄其紀念章的號碼.(1)求最小號碼為求最小號碼為5的概率的概率;(2)求最大號碼為求最大號碼為5的概的概率率.解解(1)總的選法種數(shù)為總的選法種數(shù)為,310Cn 最小號碼為最小號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,25Cm 例例5-62345678

30、9101(2)最大號碼為最大號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,24C故最大號碼為故最大號碼為5的概率為的概率為故小號碼為故小號碼為5的概率為的概率為31025CCP .121 .201 2345678910131024CCP (1)杯子容量無限杯子容量無限問題問題1 把把 4 個球放到個球放到 3個杯子中去個杯子中去,求第求第1 1、2個個杯子中各有兩個球的概率杯子中各有兩個球的概率, 其中假設每個杯子可其中假設每個杯子可放任意多個球放任意多個球. 33334個球放到個球放到3個杯子的所有放法個杯子的所有放法,333334種種 例6-1 球放入杯子問題個個2種種 24個個2種種 22因此第因此第