高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法

1、§4.3 高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法教學目的本章主要討論高階微分方程的降階以及二階線性方程的冪級數(shù)解法教學要求會把高階微分方程降階以及會用冪級數(shù)解法解某些二階線性方程教學重點一些高階階微分方程的降階類型的解法；冪級數(shù)解法教學難點二階線性方程冪級數(shù)解法教學方法講練結合教學法、提問式與啟發(fā)式相結合教學法。教學手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學相結合。一般的高階微分方程沒有普遍的解法,通常是通過變代換把高階方程的求解問題轉化為較低階方程來求解,因為一般來說求解低階方程比求解高階方程方便些,本節(jié)主要介紹一些可降階的方程類型和求特解的冪級數(shù)解法.一. 可降階的一些方程類型n階微分方程的一般形

2、式 (4.57)不包含未知函數(shù)x,或更一般地, 不包含未知函數(shù)及其直到k1(k)階導數(shù)的方程是：(4.58)如果能求得(4.58)的通解 即 對上式經(jīng)過k次積分 即方程(4.57)的通解 這里為任常數(shù).例1 求方程的解解:令,則方程化為這是一個一階方程,其通解為,即有積分四次得原方程的通解不包含自變量t的方程其一般形式是: (4.59)此時,用作為新的未知函數(shù) 而把x作為新的自變量. 因為 用數(shù)學歸納法易得 可用來表達,將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方程它比原來的方程(4.59)降低了一階:例2 求方程 的解解 令,要取X作為新的自變量,于是原方程化為從而可得 及 這兩方程的全部解是

3、再代入原來變量得到所以原方程的通解是3)已知各線性方程的非要特解,進行降階設正二階齊線性方程 (4.69)的非要解令 則 代入(4.69)得 即 引入新的未知函數(shù) 方程變?yōu)槭且浑A線性方程 解之得因而 (4.70)這里 是任意常數(shù)。取,得(4.69)的一個特解因它與之比不等于常數(shù) 故線性無關 因此(4.70)為(4.69)的通解例3 已知是方程的解 可求方程的通解解 這是 由(4.70)得到為任常數(shù)一般已知齊次線性方程 (4.2)的K個線性無關解 其中令 , 則代入(4.2),得由于為(4.2)的解 故Y的系數(shù)恒等于零 而代為不包含Y的方程:令,則在的方向上方程變?yōu)?(4.07)且是(4.67)

4、的個線性無關解，事實上，x為(4.2)解及或因此是4.67)的解,若則即由線性無關知 全為零.故 線性無關.因此,對(4.61)以做法,令. 則又可把方程化為關于u的n-1階齊線性方程. (4.68)一直下去,可降低n-k階二. 二階線性方程的冪級數(shù)解法對二截變函數(shù)齊線性方程 (4.72)其求解問題歸結為尋求它的一個非零解,由于是變函數(shù),因此不能像§4.2那樣利用代數(shù)方法先求解.但從微分學中知道,在滿足某些條件下,可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù).因此,自然想到,能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢?下面討論這一問題.為此先列出下面兩個定理.( 一般性,可設)定理10. 若方程(4.72)中系

5、數(shù)和都能展成x的冪級數(shù),且收斂區(qū)間為<R,則方程(4.72)有形為 (4.73)的特解.也以<R為級數(shù)的收斂區(qū)間.定理11. 若方程(4.72)中的系數(shù),只有這樣的性質.即和均能展成x的冪級數(shù).且收斂區(qū)間為<R,則方程(4.72)有形為 (4.75)的特解,這里,是一個待定的常數(shù),級數(shù)(4.75)也以<R為收斂區(qū)間.例4. 求方程的滿足初始條件,的解.解: 設級數(shù),為方程的解,這里是待定常數(shù). 由初始條件, 因而 將它代入方程,合并同類項,則令各項系數(shù)等于零,得到 即因而故方程的解為 例5. 求解n階貝塞耳(Bessel)方程 這里n為非負常數(shù). 解: 將方程改寫成 (

6、4.74)易見,它滿足定理11的條件,且按x展成的冪級數(shù)收斂區(qū)間為,則方程有形為 (4.75)的特解.這里,而是的待定常數(shù),將(4.75)代入(4.74)中,得 比較x的同次冪系數(shù),得 k=2,3,因為則為從而為確定起見,暫令由(4.76)得 k=2,3,即 k=1,2,從而可得 k=1,2,因此 在時,得到Bessel方程的一個解 (4.77) 若將任常數(shù)取為 這里 到p>0時,因此(4.77)變?yōu)?(4.77)當時,完全類似可得 , k=1,2,若取 則可得(4.74)另一個特解 (4.78)達朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂,因此當n非負整數(shù)時,為(4.74)的解,且線性無關. 因而(4.74)的通解為 這里為任常數(shù).當n=正整數(shù)時, 而時,不能從(4.76)中確定因此不能像上面一樣求得通解.這時可以利用一,B介紹的除階法,求出與線性無關的解,因