高中數(shù)學(xué) 3.1.3柯西不等式學(xué)案 新人教版選修4-5

1、3.1.3柯西不等式學(xué)習目標： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的證明; 2. 會應(yīng)用柯西不等式解決函數(shù)最值、方程、不等式，等一些問題知識情景：1. 柯西主要貢獻簡介： 柯西（Cauchy），法國人，生于1789年，是十九世紀前半葉最杰出的分析家. 他奠定 了數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收斂原理、柯西中值 定理、柯西積分不等式、柯西判別法、柯西方程等等. 2.二維形式的柯西不等式： 若， 則 . 當且僅當 時, 等號成立. 變式10. 若，則或； 變式20. 若，則 ； 變式30.（三角形不等式）設(shè)為任意實數(shù)，則： 3. 一般形式的柯西不等式：設(shè)為

2、大于1的自然數(shù)，(1,2,)， 則： . 當且僅當 時, 等號成立. (若時，約定，1,2,). 變式10. 設(shè) 則： . 當且僅當 時, 等號成立. 變式20. 設(shè) 則：. 當且僅當時,等號成立. 變式30. (積分形式)設(shè)與都在可積， 則， 當且僅當時,等號成立. 如果一個定理與很多學(xué)科或者一個學(xué)科的很多分支有著密切聯(lián)系，那么這個定理肯定很重要. 而柯西不等式與我們中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)恒等式、復(fù)數(shù)、向量、幾何、三角、函數(shù)等各方面都有聯(lián)系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的應(yīng)用： 例1. 已知實數(shù)滿足， . 試求的最值 例2 在實數(shù)集內(nèi) 解方程 例3 設(shè)是三角形內(nèi)的一點，是到三邊的

3、距離，是外接圓 的半徑， 證明 例4 (證明恒等式) 已知 求證：。例5 (證明不等式)設(shè) 求證:選修4-5練習 §3.1.2柯西不等式(3) 姓名 1、已知，求證： 2、已知是不全相等的正數(shù)，求證： 3、已知. 4、 設(shè) 求證： 5、已知實數(shù)滿足, 求的取值范圍. 6、已知 且 求證： 7、已知正數(shù)滿足 證明 8、解方程組 9、若n是不小于2的正整數(shù)，試證：。 參考答案: 一般形式的柯西不等式： 設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1,2,)，則：， 其中等號當且僅當時成立(當時，約定，1,2,). 等號成立當且僅當 柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的 不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很可的

4、指導(dǎo)作用，利用它能高遠矚、居高臨下，從而方便 地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題。例1 解：由柯西不等式得，有 即 由條件可得， 解得，當且僅當 時等號成立， 代入時， 時 例2解：由柯西不等式，得 又. 即不等式中只有等號成立. 從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 例3證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。例4 證明：由柯西不等式，得 當且僅當時，上式取等號， 于是 。 例5 分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：證明：為了運用柯西不等式，我們將寫成于是 即 故我們進一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。練習 1證： 2、 3 4、 5 6 7證明：利用柯西不等式 又因為 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故8. 解：原方程組可化為 運用柯西不等式得, 兩式相乘，得 當且僅當x