波函數(shù)和薛定諤方程

1、第二章第二章 波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 一、微觀事件的統(tǒng)計(jì)決定性一、微觀事件的統(tǒng)計(jì)決定性1. 1. 單電子干涉實(shí)驗(yàn)單電子干涉實(shí)驗(yàn)電子衍射電子衍射.AVI.AVI單個(gè)電子所得到的圖像與強(qiáng)電子流短時(shí)得到的圖像相同單個(gè)電子所得到的圖像與強(qiáng)電子流短時(shí)得到的圖像相同 2. 2. 電視屏上的圖像電視屏上的圖像每個(gè)事件都是由某種每個(gè)事件都是由某種物質(zhì)的量子即粒子所引起的物質(zhì)的量子即粒子所引起的 結(jié)論：結(jié)論：在微觀物理學(xué)里在微觀物理學(xué)里（1 1） 無法預(yù)料個(gè)別事件的發(fā)生，無法預(yù)料個(gè)別事件的發(fā)生， 也無法也無法找出原因。找出原因。 （2 2） 大量事件

2、具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不依賴個(gè)體大量事件具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不依賴個(gè)體行為的因果決定性行為的因果決定性是一種全新統(tǒng)計(jì)決定是一種全新統(tǒng)計(jì)決定性，是本質(zhì)上的統(tǒng)計(jì)決定性。性，是本質(zhì)上的統(tǒng)計(jì)決定性。 二、波函數(shù)（概率幅）的引入二、波函數(shù)（概率幅）的引入 1. 1. 機(jī)槍子彈射靶機(jī)槍子彈射靶機(jī)槍點(diǎn)射的子彈概率分布機(jī)槍點(diǎn)射的子彈概率分布 )()()(2112xxx表示在時(shí)刻表示在時(shí)刻 處單位空間內(nèi)出現(xiàn)子彈數(shù)的概率處單位空間內(nèi)出現(xiàn)子彈數(shù)的概率xt,2. 2. 經(jīng)典波的雙縫干涉經(jīng)典波的雙縫干涉雙縫雙縫. .pptppt2AI 經(jīng)典波的雙縫干涉強(qiáng)度經(jīng)典波的雙縫干涉強(qiáng)度I(x). 對(duì)于干涉條紋，是對(duì)于干涉條紋，是用強(qiáng)度表示用強(qiáng)

3、度表示. 強(qiáng)度正比與振幅的平方。強(qiáng)度正比與振幅的平方。 202)2(AA04 II（1 1）波函數(shù)）波函數(shù)tiitrkieeAAetry)(),(指數(shù)形式指數(shù)形式（2 2）復(fù)振幅的概念）復(fù)振幅的概念 ieAA 111ieAA 222ieAA 合振幅合振幅 （3 3）強(qiáng)度）強(qiáng)度 只開一個(gè)孔只開一個(gè)孔 211*11AAAI222*22AAAI兩孔同時(shí)開兩孔同時(shí)開 干涉項(xiàng))()()(2112xIxIxI21AAA3 3、電子的雙縫實(shí)驗(yàn)、電子的雙縫實(shí)驗(yàn)概率幅的引入概率幅的引入從粒子性和波動(dòng)性兩方面看衍射圖樣從粒子性和波動(dòng)性兩方面看衍射圖樣 (1) (1) 從粒子觀點(diǎn)看從粒子觀點(diǎn)看粒子分布概率粒子分布概

4、率 W概率正比于在概率正比于在 r r 點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子的數(shù)目點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子的數(shù)目微觀粒子概率分布微觀粒子概率分布表示在時(shí)刻處單位空間內(nèi)表示在時(shí)刻處單位空間內(nèi)出現(xiàn)電子數(shù)的概率，與子彈概率不同出現(xiàn)電子數(shù)的概率，與子彈概率不同 )()()(2112xWxWxW(2) (2) 從波動(dòng)觀點(diǎn)看從波動(dòng)觀點(diǎn)看干涉花樣強(qiáng)度干涉花樣強(qiáng)度 I I 密度分布構(gòu)成一個(gè)有規(guī)律的花樣密度分布構(gòu)成一個(gè)有規(guī)律的花樣與與X X光衍射花樣光衍射花樣相似。強(qiáng)度分布與經(jīng)典波相似。相似。強(qiáng)度分布與經(jīng)典波相似。 r r點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度正比與在點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度正比與在 r r 點(diǎn)附近出現(xiàn)的點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子的數(shù)目電子的數(shù)目 (3)

5、 (3) 兩種觀點(diǎn)的統(tǒng)一兩種觀點(diǎn)的統(tǒng)一即波粒二象性即波粒二象性 綜合上述兩種觀點(diǎn)，認(rèn)為電子具有粒子性，又認(rèn)為電綜合上述兩種觀點(diǎn)，認(rèn)為電子具有粒子性，又認(rèn)為電子具有波動(dòng)性，所以必然的結(jié)論是：電子出現(xiàn)概率大子具有波動(dòng)性，所以必然的結(jié)論是：電子出現(xiàn)概率大的地方，同時(shí)又是波的強(qiáng)度大的地方。的地方，同時(shí)又是波的強(qiáng)度大的地方。 結(jié)論：結(jié)論：微觀粒子出現(xiàn)在空間某處的概率微觀粒子出現(xiàn)在空間某處的概率W W與波強(qiáng)與波強(qiáng) 成成正比，即正比，即 22W三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋1. 1. 概率波概率波量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的是粒子量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的是粒子在空間的概率分布的概率波（在空間的概率

6、分布的概率波（Probability wave)Probability wave)概率波的概念將微觀粒子的波動(dòng)性和粒子性統(tǒng)一起來。概率波的概念將微觀粒子的波動(dòng)性和粒子性統(tǒng)一起來。微觀客體的粒子性反映微觀客體具有質(zhì)量，電荷等屬微觀客體的粒子性反映微觀客體具有質(zhì)量，電荷等屬性。而微觀客體的波動(dòng)性，也只反映了波動(dòng)性最本質(zhì)性。而微觀客體的波動(dòng)性，也只反映了波動(dòng)性最本質(zhì)的東西：波的疊加性（相干性）。的東西：波的疊加性（相干性）。 描述經(jīng)典粒子描述經(jīng)典粒子：坐標(biāo)、動(dòng)量，其他力學(xué)量隨之確定；：坐標(biāo)、動(dòng)量，其他力學(xué)量隨之確定； 描述微觀粒子描述微觀粒子：波函數(shù)，各力學(xué)的可能值以一定幾率：波函數(shù)，各力學(xué)的可能值

7、以一定幾率出現(xiàn)。出現(xiàn)。 2. 2. 波函數(shù)的意義波函數(shù)的意義(1) (1) 波強(qiáng)度（概率密度）波強(qiáng)度（概率密度）的表示的表示 設(shè)波函數(shù)設(shè)波函數(shù) 描寫粒子的狀態(tài)，波的強(qiáng)度描寫粒子的狀態(tài)，波的強(qiáng)度 ),(tzyx*2|(2)(2)位置的概率位置的概率：（點(diǎn)的概率）：（點(diǎn)的概率） 時(shí)刻時(shí)刻t t：x xx+dxx+dx、y yy+dyy+dy、z zz+dzz+dz區(qū)域內(nèi)找到粒區(qū)域內(nèi)找到粒子的幾率表示為，子的幾率表示為， ),(tzyxdWdxdydzddW 2 dWdtzyxCtzyxdW2| ),(|),(即：即： 3. 3. 歸一化歸一化條件：必然事件在整個(gè)空間找到粒子的幾條件：必然事件在整個(gè)

8、空間找到粒子的幾率為率為1 1。 1| ),(|),(2dtzyxCtzyxdW歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)dC2|1重新定義波函數(shù)重新定義波函數(shù) ),(),(tzyxCtzyx1|22dCd叫歸一化波函數(shù)叫歸一化波函數(shù) ),(tzyxdtzyxtzyxdW2| ),(|),(在時(shí)刻在時(shí)刻t t、在坐標(biāo)在坐標(biāo) ( (x,y,zx,y,z) )點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率稱為幾率密度，用粒子的幾率稱為幾率密度，用 表示，則表示，則),(tzyxw2|),(|),(),(tzyxdtzyxdWtzyxw（4）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋的數(shù)學(xué)表達(dá)式）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋的數(shù)學(xué)表達(dá)式例：例：使使 ，

9、歸一化歸一化xsin x0解：設(shè)解：設(shè) xAsin1由由 1321rd得得，2Axsin21 x0即歸一化波函數(shù)為即歸一化波函數(shù)為 xdxA202sin12sin2102xxA例例： 0,22axeax解：設(shè)解：設(shè) 221axAe1321ddxedxedxedxeaaaa0220202222222222222由積分公式由積分公式 , , 得得axdeax2120122122202222aAdeAa所以，所以， aA1)2(2/1注意：注意：1. 1. 歸一化后的波函數(shù)并非唯一確定歸一化后的波函數(shù)并非唯一確定2. 2. 歸一化方式不唯一歸一化方式不唯一 四、波函數(shù)的性質(zhì)四、波函數(shù)的性質(zhì)1. 1.

10、 單值性單值性概率密度的確定性所要求的概率密度的確定性所要求的 2. 2. 連續(xù)性連續(xù)性 ， ， ， 連續(xù)，連續(xù)， 甚至甚至 均連續(xù)均連續(xù) xyz)(ln3. 3. 有界性有界性 概率不可能無窮大。概率不可能無窮大。4. 4. 是平方可積函數(shù)是平方可積函數(shù) 2Crdrd3*32設(shè)設(shè)ie22|波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。 五、五、 經(jīng)典波和微觀粒子幾率波的區(qū)別經(jīng)典波和微觀粒子幾率波的區(qū)別： (1) (1) 經(jīng)典波經(jīng)典波描述某描述某物理量物理量在空間分布的周期變化，而在空間分布的周期變化，而幾率波幾率波描述微觀粒子某描述微觀粒子某力學(xué)量的幾率力學(xué)量的幾率分布；分布； (2) (2) 經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動(dòng)能量為原來經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動(dòng)能量為原來四倍，就變成另一狀態(tài)了；而微觀粒子在空間出現(xiàn)四倍，就變成另一狀態(tài)了；而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，將的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，將幾率波的波幅增大一倍并不影響粒子在空間各點(diǎn)出幾率