用勾股定理解題應(yīng)注意的幾個(gè)問題

1、用勾股定理解題應(yīng)注意的幾個(gè)問題 勾股定理是中學(xué)幾何中一個(gè)很重要的定理，是繼學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系之后用來描述特殊三角形三邊關(guān)系的又一個(gè)重要的結(jié)論它揭示了直角三角形三邊長的內(nèi)在聯(lián)系，反映了三邊之間特殊的平方關(guān)系，它為我們利用代數(shù)方法來研究幾何圖形提供了新的途徑和方法，因此應(yīng)用十分廣泛但在應(yīng)用勾股定理時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，那么怎樣正確運(yùn)用勾股定理呢？ 一、注意分清直角邊和斜邊例1 在Rt中，a=8，b=10，求第三邊長c錯(cuò)解:由勾股定理，得，所以第三邊長為分析:本題解法中錯(cuò)在沒有正確運(yùn)用題中所給的條件，忽視了，由于，所以b應(yīng)為斜邊，而不是c正解:因?yàn)?，故第三邊長為 6二、注意定理的應(yīng)用條件例

2、2 已知中，三邊長a、b、c為整數(shù)，其中a=3，b=4，求第三邊c的長錯(cuò)解: 由勾股定理，得，（）分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中，本題解法是受“勾3股4弦5 ”的影響，錯(cuò)把當(dāng)成直角三角形，導(dǎo)致錯(cuò)誤的使用勾股定理正解: 由三角形三邊關(guān)系可得，又c為整數(shù)，C的長應(yīng)為2、3、4、5或6三、注意定理和逆定理的區(qū)別 例3 判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形：a=3、b=4、c=5錯(cuò)解:，即，所以根據(jù)勾股定理可知，a、b、c能構(gòu)成直角三角形分析: 本題錯(cuò)在在解題依據(jù)上混淆了定理和逆定理的條件結(jié)論，勾股定理是由“形”推得“數(shù)”，而逆定理則是由“數(shù)”推得“形”因此不可混用正解: ，即，由勾股定理

3、逆定理可知，三條線段能構(gòu)成直角三角形四、注意解題語言敘述例4 已知三角形的三邊長為5、12、13，試說明三角形是直角三角形錯(cuò)解:因?yàn)橹苯沁吺?和12，斜邊是13 ，所以，故三角形是直角三角形分析:解法中錯(cuò)在一開始就明示了“直角邊”和“斜邊”，事實(shí)上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為“直角邊”、“斜邊”正解:，滿足，由由勾股定理逆定理可知， 三角形是直角三角形五、注意分類討論例5 在Rt中，已知兩邊長為3、4，求第三邊的長錯(cuò)解: 因?yàn)槭侵苯侨切?，的第三邊長為分析: 本題錯(cuò)在只考慮3、4為直角邊的可能，而忽視了4也可以作為斜邊的情況，因此須分類討論正解:(1)若4為直角邊，則第三邊的長為

4、;(2) 若4為斜邊， 則第三邊的長為故第三邊長為5或例6已知在中，AB=4，AC=3，BC邊上的高等于24，求的周長錯(cuò)解:如圖1所示， 由勾股定理，得，的周長為分析:上面解法中，只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況，忽視了高在形外的情況，即當(dāng)是鈍角三角形時(shí)因此須分類討論正解: 由勾股定理，得，(1)若是銳角(如圖1)，則，這時(shí)的周長為;(2) 若是鈍角(如圖2)，則，這時(shí)的周長為所以的周長為12或例7已知在Rt中，兩直角邊的長為20和15，求BD的長錯(cuò)解: 如圖3所示，由題意根據(jù)勾股定理，得，又由面積法可得，在Rt中，由勾股定理得BD=分析:本題錯(cuò)在只考慮了AB的長是20的可能，忽視了AC的長也可能為20的情況因此須分兩種情況求解正解: 由題意根據(jù)勾股定理，得，又由面積法可得，(1)當(dāng)AB=20時(shí)，如圖3，BD=(2) 當(dāng)AC=20時(shí)，如圖4，BD=所以BD的長為16或9 當(dāng)然，應(yīng)用勾股定理解題時(shí)的錯(cuò)誤不僅僅上述這些，錯(cuò)誤也多種