第七章直線和圓的方程直線方程

1、題目 第七章直線和圓的方程直線方程高考要求 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法；掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程知識(shí)點(diǎn)歸納1數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：2直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：3直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°可見，直線傾斜角的取值范圍是0°180°4直線的斜率：傾斜角不是90°的

2、直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan（90°）傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是（，+）5直線的方向向量：設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率特別地，垂直于軸的直線的一個(gè)方向向量為(0,1)6求直線斜率的方法定義法：已知直線的傾斜角為，且90°，則斜率k=tan公式法：已知直線過兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，則斜率k=方向向量法

3、：若=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率對(duì)于直線上任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），當(dāng)x1=x2時(shí)，直線斜率k不存在，傾斜角=90°；當(dāng)x1x2時(shí)，直線斜率存在，是一實(shí)數(shù)，并且k0時(shí)，=arctank；k0時(shí)，=+arctank7直線方程的五種形式點(diǎn)斜式：， 斜截式：兩點(diǎn)式：， 截距式：一般式：題型講解 例1 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（3，4）、B（0，3）、C（6，0），求它的三條邊所在的直線方程分析：一條直線的方程可寫成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式等多種形式使用時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目所給的條

4、件恰當(dāng)選擇某種形式，使得解法簡便由頂點(diǎn)B與C的坐標(biāo)可知點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表示，AB所在的直線方程用斜截式的形式表示，AC所在的直線方程利用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式表示均可，最后為統(tǒng)一形式，均化為直線方程的一般式解：因ABC的頂點(diǎn)B與C的坐標(biāo)分別為（0，3）和（6，0），故B點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)在x軸上，即直線BC在x軸上的截距為6，在y軸上的截距為3，利用截距式，直線BC的方程為+=1，化為一般式為x2y+6=0由于B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），故直線AB在y軸上的截距為3，利用斜截式，得直線AB的方程為y=kx+3又由頂點(diǎn)A（3，4）在其上，所以4=3k+3故k=于是直

5、線AB的方程為y=x+3，化為一般式為7x+3y9=0由A（3，4）、C（6，0），得直線AC的斜率kAC=利用點(diǎn)斜式得直線AC的方程為y0=（x+6），化為一般式為4x+9y+24=0點(diǎn)評(píng)：本題考查了求直線方程的基本方法例2 已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P（2，3），求過兩點(diǎn)Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1a2）的直線方程分析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答解：P（2，3）在已知直線上， 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=02（a1a2）+3（b1b2）=0，即=所求直線方程為yb1=（xa1）2x+3y（2a1+3b1）=0，

6、即2x+3y+1=0點(diǎn)評(píng)：此解法運(yùn)用了整體代入的思想，方法巧妙例3 一條直線經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：（1）傾斜角是直線x4y+3=0的傾斜角的2倍；（2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且AOB的面積最?。∣為坐標(biāo)原點(diǎn)）分析：（2）將面積看作截距a、b的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為，已知直線的傾斜角為，則2，且tan，tantan2，從而方程為8x15y+6=0（2）設(shè)直線方程為1，a0，b0，代入P（3，2），得12，得ab24，從而SAOBab12，此時(shí)，k方程為2x+3y12=0點(diǎn)評(píng)：此題（2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于a或b的一元函數(shù)后再求

7、其最小值例4 過點(diǎn)(2,1)作直線分別交x,y軸正并軸于A，B兩點(diǎn)(1)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線的方程;(2)當(dāng)|PA|´|PB|取最小值時(shí)，求直線的方程解：(1)設(shè)所求的直線方程為(a>0,b>0),由已知于是=,S AOB=³4,當(dāng)且僅當(dāng),即a=4,b=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線的方程為,即x+2y4=0(2)解法一:設(shè)直線:y1=k(x2),分別令y=0,x=0,得A(2,0), B(0,12k)則|PA|´|PB|=³4,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1,即k=±1時(shí),取最小值, 又k<0,k=1, 此時(shí)直線的方程為x+y3=0解法二:

8、如圖,設(shè)PAO=,則|PA|=1/sin, |PB|=2/cos(0<</2),|PA|´|PB|=2/(sincos)=4/sin2³4,當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1即=3/4時(shí)，|PA|´|PB|取最小值4,此時(shí)直線的斜率為1,方程為x+y3=0點(diǎn)評(píng)：本題分別選用了截距式和點(diǎn)斜式，應(yīng)根據(jù)條件靈活選用直線方程的形式例5 直線被兩條直線:4x+y+3=0和:3x55=0截得的線段中點(diǎn)為P(1,2),求直線的方程解：設(shè)點(diǎn)(a,b)在上，依題意，(2a,4b)在直線上, ,解之得：由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為:3x+y+1=0例6 已知兩點(diǎn)A（1，2）、B（m，3）

9、（1）求直線AB的斜率k與傾斜角；（2）求直線AB的方程；（3）已知實(shí)數(shù)m1，1，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，直線AB的斜率不存在，傾斜角當(dāng)m1時(shí)，k，當(dāng)m1時(shí)，arctan，當(dāng)m1時(shí)，arctan（2）當(dāng)m=1時(shí)，AB：x=1，當(dāng)m1時(shí)，AB：y2=（x+1）（3）當(dāng)m=1時(shí)，；當(dāng)m1時(shí)，k（，），）（，故綜合、得，直線AB的傾斜角，例7 求滿足下列條件的直線的方程在y軸上的截距為，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6與直線的夾角為，且焦點(diǎn)在x軸上解：設(shè)直線的方程為，由題意得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為即當(dāng)時(shí)，直線的方程為即直線交x軸于點(diǎn)（），可設(shè)的方程為由兩直線夾角公式有，或的

10、方程為或，即或點(diǎn)評(píng)：求直線方程時(shí)，可根據(jù)題中已知條件適當(dāng)?shù)剡x擇所求直線的形式，再根據(jù)題中其他條件確定方程中的待定系數(shù)小結(jié)：1直線的傾斜角、斜率及直線在坐標(biāo)軸上的截距是刻畫直線位置狀態(tài)的基本量，應(yīng)正確理解；直線方程有五種形式，其中點(diǎn)斜式要熟練掌握，這五種形式的方程表示的直線各有適用范圍，解題時(shí)應(yīng)注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問題用數(shù)形結(jié)合法常常簡捷些2注意斜率和傾斜角的區(qū)別3直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點(diǎn)斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推導(dǎo)直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義，但又都有一些特定的限制條件，因此應(yīng)用時(shí)要注意它們各自適用的范圍，以避免

11、漏解4如何建立平面坐標(biāo)系內(nèi)滿足一定條件的直線的方程通用的解決方法是待定系數(shù)法；根據(jù)所知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式是解題的關(guān)鍵；克服各類方程局限性的手段是分類討論；開闊思路分析問題的措施是數(shù)形結(jié)合學(xué)生練習(xí) 1直線xtan+y=0的傾斜角是A B C D解析：k=tan=tan（）=tan且0，）答案：D2過兩點(diǎn)（1，1）和（3，9）的直線在x軸上的截距是A B C D2解析：求出過（1，1）、（3，9）兩點(diǎn)的直線方程，令y=0即得答案：A3直線xcosy20的傾斜角范圍是A，）（， B0，）C0， D，解析：設(shè)直線的傾斜角為，則tan=cos又1cos1，tan0，）答案：B4直線y=1與直線

12、y=x+3的夾角為_解法一：l1：y=1與l2：y=x+3的斜率分別為k1=0，k2=由兩直線的夾角公式得 tan=，所以兩直線的夾角為60°解法二：l1與l2表示的圖象為y=1與x軸平行，y=x+3與x軸傾斜角為60°，所以y=1與y=x+3的夾角為60°答案：60°5下列四個(gè)命題：經(jīng)過定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程yy0=k（xx0）表示；經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（x2x1）（xx1）=（y2y1）（yy1）表示；不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程+=1表示；經(jīng)過定點(diǎn)A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示其中真命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D3解析：對(duì)命題，方程不能表示傾斜角是90°的直線，對(duì)命題，當(dāng)直線平行于一條坐標(biāo)軸時(shí)，則直線在該坐標(biāo)軸上截距不存在，故不能用截距式表示直線只有正確 答案：B6過點(diǎn)(10,4)且傾角的正弦為5/13的直線方程是 (5x12y98=0或5x+12y2=0);注意兩種情況7過點(diǎn)(1,2)且與圓x2+y2=1相切的直線方程為 (x=1或3x4y+5=0);注意點(diǎn)斜式的使用范圍8若直線(m21)xy2m+1=0不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (1/2£m£1);從直線的