選修2-1數學復習資料

1、 數學第二章知識點一：圓錐曲線的統一定義橢圓、雙曲線、拋物線統稱圓錐曲線。平面內，到一定點的距離與它到一條定直線（不經過定點）的距離之比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線。定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數叫做離心率。e（0，1）時軌跡是橢圓；e=1時軌跡是拋物線；e（1，+）時軌跡是雙曲線。知識點二：圓錐曲線的標準方程和幾何性質1橢圓：(1)定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓，這兩個定點 叫焦點(2)標準方程 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中； 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；(3)橢圓的的簡單幾何性質: 范圍：， 對稱性：關于x

2、軸、y軸和原點對稱 焦點，頂點、， 長軸長=，短軸長=，焦距， 離心率是，準線方程是；2 / 182雙曲線(1)定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲 線,這兩個定點叫雙曲線的焦點(2)標準方程 當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中； 當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中.(3)雙曲線的簡單幾何性質 范圍：，； 對稱性：關于x軸、y軸和原點對稱 焦點，頂點， 實軸長=，虛軸長=，焦距； 離心率是，準線方程是； 漸近線：.3拋物線(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的 焦點，

3、定直線l叫做拋物線的準線(2)標準方程 四種形式：，。(3)拋物線的幾何性質 范圍：， 對稱性：關于x軸對稱 焦點，頂點， 對稱性：關于x軸對稱 離心率：，準線方程是；知識點三：直線和圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線有三種位置關系：相交，相切，相離。1直線與圓錐曲線C的位置關系判斷直線與圓錐曲線C的位置關系時，將直線的方程代入曲線C的方程，消去y（也可消去x）得一個關于變量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。當a0時，若0，則與C相交；若=0，則與C相切；若0，則有與C相離。當a=0時，即得到一個一次方程，若方程有解，則直線與C相交，此時只有一個公共點若C為雙曲線，則平行于雙曲線的漸

4、近線；若C為拋物線，則平行于拋物線的對稱軸。注意：當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相切，也可能相交。2直線被圓錐曲線截得的弦長公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB，設，則弦長公式：當時, 弦長公式還可以寫成：注意：利用這個公式求弦長時，應注意應用韋達定理。知識點四：曲線的方程和方程的曲線的關系一般地，在直角坐標系中，如果某曲線（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上所有點的坐標都是方程的解；（2）以方程的解為坐標的點都在曲線上. 那么，方程叫做曲線的方程；曲線叫做方程的曲線.知識點五：求曲線的方程1坐

5、標法的定義：在直角坐標系中，用坐標表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標（x，y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質.這就是坐標法.2坐標法求曲線方程的步驟：建系設點點滿足的幾何條件坐標化整理化簡成最簡形式證明（可省略，但必須刪去增加的或者補上丟失的解）3求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法、代入法、參數法等。規(guī)律方法指導1三種圓錐曲線定義、標準方程及簡單幾何性質的對比橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點F1、F2的距離之和為定值1到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值的為定值2a（2a|F1F2|）的點的軌跡2a（02a|F1F2|）的點的軌跡2

6、與定點和定直線的距離之比為定值e的點的軌跡（0e1）2與定點和定直線的距離之比為定值e的點的軌跡（e1）與定點和定直線的距離相等的點的軌跡圖形方程標準方程參數方程（參數為離心角）（參數為離心角）（t為參數）范圍，中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點（a，0）（a，0），（0，b），（0，b）（a，0），（a，0）（0，0）對稱軸x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a，虛軸長2bx軸焦點F1（c，0），F2（c，0）F1（c，0），F2（c，0）焦距離心率e=1準線漸近線 2有關圓錐曲線綜合題類型(1)求圓錐曲線方程一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，

7、再定量”的步驟：定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置，如果位置不確定時，考慮是否多解。此時注意數形結合，在圖形上標出已知條件，檢查軸上的點、垂直于軸的直線的位置是否準確等。定式根據“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m0,n0)定量由題設中的條件找到“式”中特定系數的等量關系，通過解方程得到量的大小。此處注意n個未知數，列夠n個獨立的方程，并注意“點在線上”條件及韋達定理的使用。注意：求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決

8、好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數法(2)求取值范圍或最值函數方法-將待求范圍參數表示為另一個變量的函數，注意求函數的定義域。方程與不等式組-n個未知數，列夠n個獨立方程或不等式，注意歸納總結列不等式的方法：利用幾何性質求參數范圍；利用不等式性質(結合幾何性質)求參數范同3解析幾何問題中，解決運算問題的幾點措施：解析幾何圖形結構、問題結構多，且易于發(fā)散，一旦形成為圖形或知識點的綜合，往往最具運算量、最為繁難復雜因此，有時即便是明確了解法甚至較細的步驟，解題過程當中

9、也常常被卡住，算不到底、算不出正確結果也是常有的事。因此，如何解決運算量問題，對于解題成功與否至關重要解決運算問題，可以有以下措施：(1)不斷提高運算和恒等變形能力。注意培養(yǎng)觀察問題、分析問題、轉化問題、解決問題的能力，避免 思維定勢，提高思維靈活性；具體審題中多收集些信息，綜觀全局，權衡利弊，再決定解題策略； 加強訓練運算基本功，不斷提高恒等變形的能力(2)善于運用平面幾何性質來解題問題。解題處理方式不同，可能繁簡大相徑庭，若考慮問題的幾何特 征，充分利用圖形幾何性質，對于解決運算量會大有裨益，這一點對于圓錐曲線綜合題的處理很重 要(3)注意解析法與各種數學方法結合。當所求點的坐標直接解決有

10、困難時，往往引進參數或參數方程起 到解決問題的橋梁作用，引進合適的參數，進行設而不求的計算方式，在解析幾何中是普遍的，但 應注意不斷積累消參經驗；相應元替換法也是常用的策略第三章知識點一：平面的法向量定義：已知平面，直線，取的方向向量，有，則稱為為平面的法向量。注意：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量。已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量。知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行。（1）線線平行設直線，的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即。（2）線面平行設直線的方向向量是，平面的向量是

11、，則要證明，只需證明，即。根據線面平行的判定定理：“如果直線（平面外）與平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量。根據共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可。（3）面面平行由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可。若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明。知識點三：用向量方法判定空間的垂直關系

12、空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直。（1）線線垂直設直線，的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即。（2）線面垂直設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明。根據線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直。（3）面面垂直根據面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直。證明兩個平面的法向量互相垂直。知識點四：利用向量求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則。注意：兩異面直線所成的角的范圍為（00,900。兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完

13、全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角。（2）求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有。（3）求二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則AEB為二面角的平面角，AEB+APB=180°。若分別為面，的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角。當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于，的夾角的大小。當法向量，的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于，的夾角的補角的大小。知識點五：利用向量求空間距離（1）空間兩點間距離公式：設點，則

14、（2）兩異面直線距離的求法如圖，設，是兩條異面直線，是與的公垂線段AB的方向向量，又C，D分別是，上任意兩點，則與的距離是。（3）點面距離的求法：如圖，BO平面，垂足為O，則點B到平面的距離就是線段BO的長度。若AB是平面的任一條斜線段，則在RtBOA中，。設平面的法向為，則點B到平面的距離為。注意：線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。規(guī)律方法指導1平面法向量的求法（1）平面法向量的確定通常有兩種方法： 幾何體中已經給出有向線段，只需證明線面垂直； 幾何體中沒有具體的直線，此時可以采用待定系數法求解平面的法向量。（2）在空間直角坐標系中，求出一個平面的法向量的坐標，一般

15、步驟如下： 設出平面的法向量為。 找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標， ，。 根據法向量的定義建立關于x，y，z的方程組 解方程組，取其中的一個解，即得法向量。由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程 組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量。2用向量語言表述線與面之間的位置關系設兩不同直線，的方向向量分別為，兩不同平面，的法向量分別為，則線線平行：，；線線垂直：；線面平行：在平面外，；線面垂直：，；面面平行：，；面面垂直：。關鍵：用向量知識來探討空間的垂直與平行問題，關鍵是找出或求出問題中涉及的直線的方向向量和平面的法向量，通過討論向量的共線或垂直，確定線面之間的位置關系。3利用向量求空間角的方法（1）線線角的求法：設直線AB、CD對應的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。（2）線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。（3）二面角的求法：設n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補角的大小（如圖）