二項式定理滬教版高三上教案

1、上項式定理(一)”教案一、教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握二項式定理及其證明(數(shù)學(xué)歸納法)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。通過介紹“楊輝三角”，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。二、教學(xué)重、難點：重點：二項式定理的推導(dǎo)及證明難點：二項式定理的證明三、教學(xué)過程：(一)新課引入:(提問)：若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾？在初中,我們已經(jīng)學(xué)過了(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3= (a+b) 2(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3(提問)：對于(a+b) 4, (a+b) 5 如何展開(利 用多項式乘法)(再提問)：(a+b) 100 又怎么辦？(a+b)n

2、(n C N+)呢？我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課，我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性(二)新課：(如何著手研究它的規(guī)律呢)？采用從特殊到一般(不完全歸納)的方法。規(guī)律：(a+b)1=a+b(a+b) 2=(a+b)(a+b)=a a+a b+b a+b b=a2+2ab+b2(a+b) 3=(a+b) 2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b) 3(a+b)=(a 3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a 4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4根據(jù)以上的歸納，可以想到(a+b)n的展開式的各項

3、是齊次的，它們分別為an, an-1b, an-2b2,，bn,展開式中各項系數(shù)的規(guī)律，可以列表:(a+b) 1(a+b) 2(a+b) 3(a+b) 4(a+b) 513311464115101051(這表是我國宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角，比歐洲至少早了三百年。)如何從組合知識得到(a+b)4展開式中各項的系數(shù)(a+b) 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個括號都不取b,只有一種取法得到a4即C：種(2)若只有一個括號取b,共有C4種取法得到a3b(3)若只有兩個括號取b,共有C42種取法得到a2b2(4)若只有三個括號取b,共有C3種取法得到ab3(5

4、)若每個括號都取 b,共有C：種取法得b4(a+b) n= C； an+ Cn an-1 b+ + C； an-r br+ + C： bn(n C N+)以上我們采用不 完全歸納法得至h不一定可靠，若要說明正確，須 加以證明(數(shù)學(xué)歸納法)。證明：(1)當(dāng) n=1 時，左邊=(a+b) 1=a+b右邊=C10 a1 +C；b1=a+b等式成立(2)假設(shè) n=k 時，等式成立，即(a+b) k= C： ak+C； ak-1 b+ C：ak-r br+Ck kk b那么當(dāng)n=k+1時(分散難點作法)以(a+b) 4(a+b)與(a+b) k(a+b)進(jìn)行類比(a+b) 4(a+b) = (C： a4

5、+ C： a3b+ C： a2b2+ C：ab3+ C： b4)(a+b) 0 51 42 3. 23 2.34.40 41 3. 2=(C4a + C4a b+C4 a b + C4a b + C4 ab ) + ( C4 a b+ C4 a b +C2a2b3+C：ab4+C4b5)rh 2日 米仇近：F3?ZpnC ° C °C11 C ° C 1C 2 1C1 C2C3 1田織口 姒住族大口C4=C5C4+ C4= C5C4 +C4= C5C4 +2 C 343 C44 一 C5C 4 5 C4 C 4 v>5C4 v>5貝U (a+b) 5=

6、 C; a5+ C5 a4b+ C： a3b2+ C53a2b3+ C： ab4+ C； b5 (a+b)k+1 =(a+b)k (a+b)=( C° ak+ C ak-1 b+ + C； ak-r br+ + Cf bk)(a+b)=(C°ak+1 + C1akb+ + C：ak-r+1br+C：abk)+(Ck°akb+C：ak-1b2+八 r k-r r+1k k+1、+ Ck a b + + Ck b )c ° k+11° kr 1 r k-r r+1k k 1 k k k+1= Cka +(Ck + Ck)a b+ , +(Ck +

7、Ck)a b + +(Ck+Ck )ab + Ck brh 幺日Oh- /肚 否久旦 。一八°1_1_0_ C1Cr1_i_Cr Cr1田 SEL n |王族 7寸，Ck = Ck 1Ck + Ck = Ck 1 , Ck + Ck = Ck 1 ,k k 1 _ p kk _ p k 1Ck+Ck =Ck1， Ck = Ck 1k+1°k+11 k 1k 1 k-r r+1k k k 1 k+1. .(a+b)=Ck1a +Ck 1a b + Ck 1a b + + Ck 1ab + Ck 1b ，即等式成立。根據(jù)(1) (2)可知，等式對于任意 nC N+都成立。一、指出：這個公式叫做二項式定理(板書),它的特點：1 .項數(shù)：共有(n+1)項° 玄和.伏歡 C °12p r nr2 .Cn> Cn, Cn, Cn> Cn> 十 Cn(一 U> I > 2n)稱為二項式系數(shù)說明：二項式系數(shù)C；與展開中某一項系數(shù)是有區(qū)別的。例如：(1+2x)6展開式中第 3項中系數(shù)為C； 22 = 60而第三項的二項式系數(shù)是C；=15。3 .指數(shù)：an-r br指數(shù)和為n, a的指數(shù)依次從 n遞減到0, b的指數(shù)依次從 0 遞增