第23章圖形的相似小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 本章的中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，本章的中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，即圖形的相似即圖形的相似.它的基礎(chǔ)概念是它的基礎(chǔ)概念是線段的比線段的比. 我們著重研究了相似三角形的判定方法和我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質(zhì)；相似多邊形的判定方法和性質(zhì)性質(zhì)；相似多邊形的判定方法和性質(zhì). 我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方法小的方法.圖形的相似在許多實(shí)際問題中有重要圖形的相似在許多實(shí)際問題中有重要應(yīng)用應(yīng)用. 平行線分線段平行線分線段成比例成比例一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)相似圖形相似圖形相似多邊形相似多邊形位似圖形位似圖形相似三角形相似三角

2、形性質(zhì)性質(zhì)判定判定應(yīng)用應(yīng)用三角形三角形中位線中位線三角形三角形重心重心圖形的變換圖形的變換與坐標(biāo)與坐標(biāo)坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示物體的位置物體的位置比例線段比例線段比例的基本性質(zhì)比例的基本性質(zhì)比例線段比例線段二、基本概念二、基本概念1、相似的圖形相似的圖形 直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮小）得到的直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形是與原圖形相似的圖形是與原圖形相似的2 2、相似三角形、相似三角形 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫作兩個(gè)三角形叫作相似三角形相似三角形.相似三角形的對(duì)應(yīng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作邊的比叫作相似比相似比3、相似多邊形相似

3、多邊形 邊數(shù)相同，邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫作比例的兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形相似多邊形. 相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比相似比.4、線段的比，成比例線段 在四條線段中在四條線段中, 如果其中兩條線段的比等于如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比另外兩條線段的比, 那么這四條線段叫作那么這四條線段叫作成比例成比例線段線段. 如果用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段如果用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段PQ，PQ 的長(zhǎng)度分別為的長(zhǎng)度分別為m，n，那么把它們的長(zhǎng)度，那么把它們的長(zhǎng)度的比的比 叫作這兩條線段的比，記作叫作這兩條線段的比，記作 ， 或

4、或 mn P Qn = PQm : : P Q PQ = n m .PQPQ.bcaddcba 。ddcbbadcba)0( ndbbandbmcanmdcba的等比性質(zhì)的等比性質(zhì)(3) 比例的更比性質(zhì)比例的更比性質(zhì): dbcadcba(2) 比例的反比性質(zhì)比例的反比性質(zhì): acbdcdab 合比、分比性質(zhì)：合比、分比性質(zhì)：(5) 比例的合分比性質(zhì)：比例的合分比性質(zhì)： acbddcdcbaba AC黃金分割黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C叫做線段叫做線段AB的的黃金分割點(diǎn)。黃金分割點(diǎn)。AC與與AB(或或BC與與AC)的比叫做的比叫做黃金比。黃金比。AABACACBC 618.0215 當(dāng)兩個(gè)比例當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)內(nèi)

5、項(xiàng)相等時(shí)，即相等時(shí)，即 (或或 a:b=b:c), 那么線段那么線段 b 叫做線段叫做線段 a 和和 c 的的比例中項(xiàng)比例中項(xiàng).即：即：b2accbba 6、比例中項(xiàng). 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且是每如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且是每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形位似圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心位似中心.這時(shí)的相似比又稱為這時(shí)的相似比又稱為位似比位似比. 性質(zhì)：性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比心的距離之比等于位似比8、位似圖形9、相

6、似三角形的性質(zhì) (1) 相似三角形相似三角形對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊成比例. (2) 相似三角形相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于都等于相似比相似比。 (3) 相似三角形的相似三角形的周長(zhǎng)的比周長(zhǎng)的比等于等于相似比相似比, 面積面積的比等于的比等于相似比的平方相似比的平方。10、相似三角形的判定 (5) 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(3) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形兩個(gè)三角形相似相似 (4) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角兩個(gè)三角形形相似相

7、似 (2) 平行于平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相三角形一邊的直線與其他兩邊相交交,截得的三角形截得的三角形與與原三角形原三角形相似相似. （預(yù)備定理）（預(yù)備定理） (1) 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的的兩個(gè)三角形兩個(gè)三角形相似相似.11、相似多邊形的性質(zhì) (1) 相似多邊形的相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊成比例(2) 相似多邊形的相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)角相等(3) 相似多邊形相似多邊形周長(zhǎng)的比等于周長(zhǎng)的比等于相似比相似比， 相似多邊形相似多邊形面積的比等于面積的比等于相似比的平方相似比的平方.12、相似多邊形的判定 (1) 邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等

8、邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等, 對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似的兩個(gè)多邊形相似(2) 利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小. 1、掌握相似三角形的基本圖形。通過圖、掌握相似三角形的基本圖形。通過圖形的變化，感受到圖形之間的聯(lián)系。形的變化，感受到圖形之間的聯(lián)系。 2、能從復(fù)雜圖形中進(jìn)行識(shí)別基本圖形并、能從復(fù)雜圖形中進(jìn)行識(shí)別基本圖形并能利用圖形解決問題。能利用圖形解決問題。重、難點(diǎn)重、難點(diǎn) 在圖形中在圖形中找或補(bǔ)找或補(bǔ)出基本圖形，運(yùn)用基本出基本圖形，運(yùn)用基本 圖形解決問題。圖形解決問題。相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧： 1、現(xiàn)在給你一個(gè)銳角

9、、現(xiàn)在給你一個(gè)銳角三形三形ABC和一條直線和一條直線MN問題：?jiǎn)栴}：直線直線MN與與AB、AC邊或其延長(zhǎng)線相交，邊或其延長(zhǎng)線相交，所截得三角形與所截得三角形與ABC相似，請(qǐng)同學(xué)相似，請(qǐng)同學(xué)們作出圖形，并說明相們作出圖形，并說明相似的理由。似的理由。ABCMN第一種作法：第一種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C（3）AD：AB=AE：AC第二種作法：第二種作法： 理由：理由：（1） ADE=C 或或AED=B（2）AE：AB=AD：AC ABCADEBCEDMMNN 第三種作法：第三種作法： 理由：理由： （1）DEBC（2）ADE=B 或或AED=C（3）A

10、D：AB=AE：AC第四種作法：第四種作法： 理由：理由：（1） ADE=C 或或AED=B（2）AE：AB=AD：ACBCABCEDMNAEDMN第五種作法：第五種作法： 理由：理由： （1）DEBC（2）ADE=ABC 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC第六種作法：第六種作法： 理由：理由：（1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN第七種作法第七種作法： 理由：理由：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMN2 2、如圖，在正方形、如圖，在正方形ABCDABCD中中,E,E為為BCB

11、C上任意一點(diǎn)（與上任意一點(diǎn)（與B B、C C不重合）不重合）AEF=90AEF=90. .觀察圖形：觀察圖形：（2）若）若E為為BC的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)AF,圖中圖中有哪些相似三角形？有哪些相似三角形？（1） ABE 與與ECF 是否相似？并是否相似？并證明你的結(jié)論。證明你的結(jié)論。ABCEFDABCEFDABE ECF AEF（1）點(diǎn)）點(diǎn)E為為BC上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，若若 B= C=60, AEF= C,則則ABE與與 ECF的關(guān)系還成立嗎？的關(guān)系還成立嗎？說明理由說明理由（2）點(diǎn)）點(diǎn)E為為BC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)若若 B= C= , AEF= C,則則ABE 與與 ECF的關(guān)系還成立

12、嗎？的關(guān)系還成立嗎？C 60 60 60ABEFABCEFA BFCE606060CABEFABE ECF靜態(tài)（局部）靜態(tài)（局部） 認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng) 分類命名分類命名動(dòng)態(tài)（整體）動(dòng)態(tài)（整體） 以變換的角度以變換的角度 認(rèn)識(shí)相似基本圖形間的關(guān)系認(rèn)識(shí)相似基本圖形間的關(guān)系 從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)開放研究相似基本圖形的變化開放研究相似基本圖形的變化動(dòng)動(dòng)靜靜兩兩相相宜宜相相似似基基本本圖圖形形的的關(guān)關(guān)系系基基本本圖圖形形靜態(tài)靜態(tài) ：認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 分類命名分類命名ABCODE3.已知已知:AB=AD,DAB=EAC，請(qǐng)你添加，請(qǐng)你添加一個(gè)條件一個(gè)條件 ，使得，使得ABC ADE. 回顧回顧全等全等三

13、角三角形形FEDCBAFEDCBAEDCBAEDCBAEDCBADCBADCBAEDCBA平平移移旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)對(duì)對(duì)稱稱回回顧顧全全等等三三角角形形基基本本圖圖形形動(dòng)態(tài)：圖形變換動(dòng)態(tài)：圖形變換旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸對(duì)對(duì)稱稱BECAD旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度特殊化角度特殊化 垂直垂直平平移移對(duì)稱對(duì)稱一般到特殊一般到特殊（角度角度）EABDCABDCABECD平移平移平移平移角度特角度特殊化殊化角度特角度特殊化殊化點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，相似對(duì)應(yīng)關(guān)系不變 1= 2= 3=60 A B C D E 1 2 3 1= 2= 3 3 2 1 E D C B A 1= 2= 3 3 2 1 E A B C D求證：求證：ABDDCE A運(yùn)動(dòng)變化 特

14、殊到一般（角度）DEDEADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)ABCDE點(diǎn)E移到與C點(diǎn)重合提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型ABCDEDEADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)ABCDE點(diǎn)E移到與C點(diǎn)重合提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型（母子型（母子型)ABCDEABCDEX型型DEADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)ABCDE點(diǎn)E移到與C點(diǎn)重合ABCD提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型ABCDEABCDE雙垂直型雙垂直型X型型三垂直型三垂直型連結(jié)CD，BE， ABE 與ACD

15、相似嗎？蝴蝶型蝴蝶型直角變?yōu)橹苯亲優(yōu)槿我饨侨我饨?23三等角型ACB=90CDAB構(gòu)造相似圖形間接求已知相似圖形直接求相似基本圖形的運(yùn)用學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形.轉(zhuǎn)化思想方程思想整體思想分類思想 練一練練一練基本圖形基本圖形DEMNH過過D D作作DHECDHEC交交BCBC延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)線于點(diǎn)H H(1)(1)試找出圖中的相似三角形試找出圖中的相似三角形? ?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,則則AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4,4,則則BDHBDH的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_._.(4)(4)若若ABCABC的面積為的面積為4

16、,4,則則BDHBDH的面積為的面積為_._.ADE ABC DBH2：369DEMNMN 相似三角形相似三角形 若若G G為為BCBC中點(diǎn)中點(diǎn),EG,EG交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。DEHGFEGFMN 相似三角形相似三角形 若若G G為為BCBC中點(diǎn)中點(diǎn),EG,EG交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。添平行線構(gòu)造相似三角形的基本

17、圖形。EGFEGFMN 相似三角形相似三角形EGF在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：例題：如圖，如圖，D是是ABC的的BC邊上的點(diǎn)，邊上的點(diǎn)，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是是AD的中點(diǎn)的中點(diǎn),連結(jié)連結(jié)BE并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交AC于于F,DABCEFn2kk解法1：過點(diǎn)過點(diǎn)D作作CA的平行線交的平行線交BF于點(diǎn)于點(diǎn)P，P?yynyDABCEFn解法1：過點(diǎn)D作CA的平行線交BF于點(diǎn)P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.則，1A

18、EDEFEPE, 2DCBDPFBPPE=EFBP=2PF=4EF，所以所以BE=5EFDABCEFnn2k解法2：過點(diǎn)過點(diǎn)D作作BF的平行線交的平行線交AC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，ykQ?y2yDABCEFnn解法2：過點(diǎn)過點(diǎn)D作作BF的平行線交的平行線交AC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，則2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF2k解法3：過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)S，Snnk2k?kDABCEF解法3：過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)S，Snn?y5yy2kk2kDABCEFnn2k解法4：過點(diǎn)過點(diǎn)E作作AC的平行線交的平行線交BC于點(diǎn)于點(diǎn)T，T2k2k?k?kDABCEFnn2k解法4：過點(diǎn)過點(diǎn)E作作AC的平行線交的平行線交BC于點(diǎn)于點(diǎn)T，T2k2ky?y5y，則DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE練習(xí)：1. 如圖，如圖，D是是ABC的的BC邊上的點(diǎn)，邊上的點(diǎn)， BD：DC=2：1，E是是AD的中點(diǎn)的中點(diǎn),連結(jié)連結(jié)BE并延