一階線性微分方程組

1、第4章一階線性微分方程組內(nèi)容提要1.基本概念一階微分方程組：形如dyi dx dy2 dxfi(x,yi,y2, ,yn)f2 (x, yi, y2, yn)()的方程組，(其dyndxfn (x, yi, y2, yn)中yi,y2, ,yn是關(guān)于x的未知函數(shù))叫做 一階微分方程組若存在一組函數(shù)yi(x), y2 (x), yn (x)使得在a,b上有恒等式dy'(x)fi(x, yi(x), y2(x), yn(x)(ii,2,n) 成dxyi(x), y2(x), yn (x)稱為一階微分方程組的一個含有n任意常數(shù)Ci ,C2, ,Cn的解yiy2i(x,Ci,C2,2(x,Ci

2、,C2,Cn),Cn)yn3(x,Ci,C2,Cn)稱為通解。如果通解滿方程組i(x, yi, y2,(x, yi, y2,yn,Ci,C：,yn,Ci,C,Cn),Cn)(x, yi, y2, 則稱這個方程組為()的,yn,Ci,C2, 通積分。C)滿足初始條件yi(x0)yi0 , y2( x0 )y20 ,yn(x0)yn0，的解，叫做初值問題的解。令n維向量函數(shù)Y (x) =yi(x)y2 (x),F ( x, Y)=fi (x, yi ,y2,f2 (x,yi,y2,yn ),yn)yn(x)fn (x, yi, y2, ,yn)dY(x) dxdyi dx dy2 x/ dx ，

3、F (x) x0 /xfi(x)dx x0/ xf2(x)dx x0dynxfn(x)dxdx則()可記成向量形式;Y F(x,Y), dx初始條件可記為x0y10丫(X0 )=丫0 淇中 丫0則初值問題為：dX F(x，Y)Y(x0) Y0一階線性微分方程組y20y nodyi dx dy2 :形如 dxaii(x)yiai2(x)y2a2i(x)yia22(x)y2dynani (x) yi aM2(x)y2 dxain(x) fi(x)a2n (x)f2 (x)ann (x) fn(x)一階微分方程組，叫做一階線性微分方程組令aii(x)A(x)=ani(x)ain(x)及 F( x)=

4、ann (x)fi(x)f2(x)fn(x)則的向量形式：墨 A(x)Y F(x)F(x) 0 時 dxA(x)Y稱為一階線性齊次方程組式稱為一階線性非齊次方程組all ai2a2i a22aina2nani an2 anndY dxAYF(x)叫做常系數(shù)線性非齊次微分方程組dY dxAY叫做常系數(shù)線性齊次微分方程組dYdx2. 一階線性微分方程組的通解結(jié)構(gòu) .定理1 (一階線性微分方程組解存在唯一性定理)：如果線性微分方程組A(x)Y F(x)中的A(x)及F(x)在區(qū)間I= a,b上連續(xù)，則對于a,b上任一點X0以dY及任意給定的丫0,萬程組 A(x)Y F(x)的滿足初始條件的解在a,b

5、上存在且唯dx1)向量函數(shù)線性相關(guān)性及其判別法則定義：設(shè)Y(x),Y2(x), Ym(x)是m個定義在區(qū)間I上的n維向量函數(shù)。如果存在m 個不全為零的常數(shù) Ci,C2,Cm,使彳#CiY(x) C2Y2(x)CmYm(x) 0恒成立，則稱這m個向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則它們在區(qū)間I上線性無關(guān)。 判別法則：定義法朗斯基(Wronski )行列式判別法： 對于列向量組成的行列式、yii(x)yin(x)W(x)/yni(x)ynn(x)/通常把它稱為n個n維向量函數(shù)組Yi(x), Y2 (x), Yn (x)的朗斯基(Wronski )行列式。定理i如果n個n維向量函數(shù)組Yi(x),Y2(x

6、), Yn(x)在區(qū)間I線性相關(guān)，則們的朗斯基(Wronski )行列式 W(x)在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：Yi(x)Y2(x)2x朗斯基行列式 W(x)在I上恒等于零，但它們卻是線性無關(guān)。定理2如果n個n維向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x), Yn(x)的朗斯基(Wronski)行列式W(x)在區(qū)間I上某一點xo處不等于零，即W(xo) 0,則向量函數(shù)組Yi(x),Y2(x), Yn(x)在區(qū)間I線性無關(guān)。逆定理未必成立。同前例。dY 但如果Yi(x),Y2(x), Yn(x)是一階線性齊次微分方程組 A(x)Y的解，則上述dx兩定理及其逆定理均成立。即dY7E理3 一階線性齊次微分

7、萬程組一 A(x)Y的解Yi(x),Y2(x), Yn(x)是線性無dx關(guān)的充要條件是它們的朗斯基( Wronski)行列式 W(x)在區(qū)間I上任一點x0處不等于零；解Yi(x),Y2(x), Yn(x)是線性相關(guān)的充要條件是它們的朗斯基(Wronski )行列式W(x)在區(qū)間I上任一點x0處恒等于零2).基本解組及其有關(guān)結(jié)論定義：一階線性齊次微分方程組判別：一階線性齊次微分方程組dY dx dY dxA(x)Y的n個線性無關(guān)解稱為它的 基本解組A(x)Y 的解 丫 (x),Y2 (x),Yn (x)是一個基本解組的充要條件是它們的朗斯基(Wronski )行列式W(x)在區(qū)間I上任一點x0處

8、不等于零。 dY結(jié)論：一階線性齊次微分萬程組 A(x)Y必存在基本解組。dx基本解組有無窮多個。人、dY3) 一階線性齊次微分方程組 A(x)Y通解的結(jié)構(gòu) dxA(x)Y的基本解dY定理：如果Y1(x),Y2(x), Yn(x)是線性齊次微分方程組dx組，則其線性組合Y (x) OKx) C2丫2(x)CnYn(x)是線性齊次微分方程-dY 組 A(x)Y的通解。dx結(jié)論： 線性齊次微分方程組 dY A(x)Y的解的全體構(gòu)成一 n維線性空間。dx4)解與系數(shù)的關(guān)系，即劉維爾公式"/dY 定理：如果X(x),Y2(x), Yn(x)是線性齊次微分方程組 A(x)Y的解，則dxdY早.這

9、n個解的朗斯基行列式與線性齊次微分方程組一 A(x)Y的系數(shù)的關(guān)系dxxail(t) 322 (t)ann(t) dtW(x) W(xo)eX0此式稱為劉維爾(Liouville )公式.由此公式可以看出 n個解的朗斯基行列式 W(x)或者恒為零，或者恒不為零akk(x)稱為矩陣A(x)的跡。記作trA(x)。k 1一階線性非齊次方程組的通解結(jié)構(gòu)dY_定理(通解結(jié)構(gòu)定理)：線性非齊次萬程組 一 A(x)Y F(x)的通解等于對應(yīng)的齊 dx次微分方程組dY dxA(x)Y的通解與dY A(x)Y F(x)的一個特解之和。即 dxdY dxAY F(x)的通解為Y(x)CiY(x) C2Y2(x)

10、一 一CnYn(x) Y(x)解,其中CiYi(x) C2Y2J)CnYn(x)為對應(yīng)的齊次微分方程組、)、 dYY(x)是 A(x)Y F (x)的一個特解。dx求通解的方法一一拉格朗日常數(shù)變易法：對應(yīng)的齊次微分方程組dY A(x)Y 的通 dxdY A(x)Y 的一個 dx基本解組Yi(x),Y2(x), Yn(x)構(gòu)成基本解矩陣yil(x)yin(x)(x)yni(x)y nn(x) dY A 、，齊次微分方程組A(x)Y的通解為dxCi八C2Y(x) (X)C其中 CdY線性非齊次萬程組 AY F(x)的通解為dxx1Y(x) (x)C (x) I(t)F(t)dtoxoX結(jié)論：線性非

11、齊次方程組 dY A(x)Y F(x)解的全體并不構(gòu)成n+i維線性空間。dx3.常系數(shù)線性微分方程組的解法基本解組的求解方法）常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法：若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法（ 求特征根：即特征方程式aiiai2ain/ a?i a22a2n _det(A- E)0anian2ann的解。根據(jù)特征根的情況分別求解：特征根都是單根時，求出每一個根所對應(yīng)的特征向 量，即可求出基本解組；單復(fù)根時，要把復(fù)值解實值化；有重根時，用待定系數(shù)法求出相應(yīng) 的解。（詳略）常系數(shù)線性非齊次微分方程組的解法：求相應(yīng)的齊次微分方程組的基本解組； 用待定系數(shù)法求特解。（詳略）'.典型例題及解題方法簡介(i)化一階

12、線性微分方程組：有些高階線性微分方程或高階線性微分方程組, 的函數(shù)代換，化為一階線性微分方程組。例1化如下微分方程為一階線性微分方程組：可以通過合理d2ydxdy p(x)dxq(x)y解：令y原微分方程化為等價的一階線性微分方程組：yi,dydx丫2則dyidxdyidxdy2dxy2,2.d yidy2,2-dx dxp(x)y2 q(x)yiP(x)y2 q(x)yi 0 dx例2化如下微分方程組為一階線性微分方程組:d2x dt2 t3電 dt2x 0解：令xxi ,dxx2 , yx3,則有dxidtx2dydtdx3dt原微分方程組化為等價的一階線性微分方程組:dtdx2dtdx3

13、dtx2x32xit3一般線性微分方程組的求解問題dY對于一般線性齊次微分萬程組 A(x)Y ,如何求出基本解組，至今尚無一般 dx方法。一些簡單的線性微分方程組可以化為前面兩章學(xué)過的微分方程來求解。消元法(化方程組為單個方程的方法)例3求解方程組dx t dt虺dt2x解：有前一個方程解出dydtytx dx-zt dtyty并求導(dǎo)，有x 1 dx t2 t dtd2x dt2代入后一方程化簡得A0,則有 d 2x/dt20,積分得x C1 C2txdxCiC2t八ccCiy - C22c21t dt tt原方程組的通解為xCiC2t,1 2 (t 0)y Ci t 2c2常系數(shù)線性微分方程

14、組在教材中介紹了若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法，其實兩個方程構(gòu)成的簡單dxy1dtdyx1dt解：由前一方程得yx 1yxx 10其通解為xCC2e t從而yx 1C1et常系數(shù)線性微分方程組我們還可以用消元法求解。 例4解方程組所以通解為x代入后一方程，得常系數(shù)二階線性方程1C2e t 1x C1eC2e t 1y C1et C2e t 1例5解方程組x3x 8yy x 3y x(0) 6, y(0)2解：由第二式得x 3y yx 3y y代入第一式得y y 0C2e t代入x 3y y得6 4cl 2C22 C1 C2從而可求得y C1etx 4clet 2C2e t將t 0代入上述兩式得解得C1C21所

15、以原方程組的解為ttx 4e 2et ty e e（三）常系數(shù)線性齊次微分方程組dY AY的通解問題dxdY - 一雖然一般線性齊次微分萬程組 A（x）Y，如何求出基本解組，至今尚無一般方法,dxdY但是常系數(shù)線性齊次微分萬程組 AY通過若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法，從理論上已經(jīng)完全解決，dx根據(jù)特征根情形分別采取不同的求解方法，教材上都一一作了詳細的講解，在此不再多講。在此我們介紹一種通用的方法一一待定系數(shù)法步驟：解特征方程式det(A- E)a2iai2a22ana2n0,得特征根;an1an 2ann根據(jù)根的重數(shù)，求出對應(yīng)于每一個根的解式dY設(shè)入是線性齊次微分萬程組. AY是k重根（單根為k=1）,則

16、線性齊次微分dxdY .dx萬程組 AY對應(yīng)入的解式為XiX2(C11(C21Cl2tC22tC1ktk1)etC2ktk1)etXn(Cn1Cn2tCnktk 1)et其中 Cij (i 1,2,n, j1,2,、，一,d . 一 dY,k）為待定常數(shù)，將此解式代入dXAY中，比較兩端同類項的系數(shù)，得一關(guān)于 Cj的線性代數(shù)方程組，解之即可定出Cij °把對應(yīng)于每一個根的解式相加，即可得到 dY AY的通解。dX例6 （均為單根的情形，教材 170頁例3.5.1）解方程組解：特征方程為3xy z5y z3z=0即 3 11 2 36解之得特征根2時令待定解為X1解得362, 23,

17、32t1e，y1（均為一重）2t1e , Z1隹2t代入原方程組，化簡得10,C1為任意常數(shù),1C12的解式為:同理對應(yīng)于X1y1Z1C1e2t0C1e2t23的解式為:X2V2C2eC2e3t3tZ2對應(yīng)于36的解式為:C2e3t通解為:例7 （特征方程有復(fù)根的情形）X3y32x5yZ3C3e6t2c3e6tC3e6tC1e2tC2e3tC3e6tC?e3t 2c 3e6tC1e2tC2e3tC3e6t解方程組：解：特征方程為=0即 290 i,23i都是單根象例6可得對應(yīng)i 3i的特解:3 itXi5e , yi(i 3i)e3it因為原題是實系數(shù)的方程組，所以x2x1 5e 3it, y

18、2 yi (i 3i)e 3it是2 3i的特解且ReXi,Reyi及Im Xi, Im yi為原題的實線性無關(guān)解。（注：若z aRez=a,Imz=b）所以復(fù)通解為5cle3it 5c2e 3it實通解為:(1 3i )Cie3it(i 3i)C2e 3it5Ci cos3tCi (cos3t5c2 sin3t3sin3t) C2(sin3t 3cos3t)例8 （特征方程有重根的情形）解方程組x 2x yy 4y x._ 、 ,21解：特征萬程為=0142即 69 0;解得入=3是兩重根 即k=2對應(yīng)的待定解式為x( iit)e3ty ( 22t)e3t代入原方程并比較兩邊的同次哥的系數(shù)，得3 13 23 13 2解得，2令1C1C2得通解為(C(CC2t)eC2(3tC2t)e3t(四)常系數(shù)線性非齊次微分方程組根據(jù)常系數(shù)線性非齊次方程組dY dx dY dxAY F(x)的通解問題AY F(x)的通解等于對應(yīng)的常系數(shù)齊次微分dY dY dY萬程組 dY AY 的通解與dY AY F(x)的一個特解之和。即 " AY F(x) dxdxdx的通解為 Y(x) C1Y