一元二次不等式恒成立中求參數(shù)范圍的優(yōu)化策略

1、元二次不等式包成立中求參數(shù)范圍的優(yōu)化策略1程序化思維過程1.1解題案例：一道高考題的四種解法32例1 (20XX年全國I理科題)已知函數(shù)f(x) = x +ax +x+1 , aw R .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間2,_1 i內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.解法1 (直接求最值)題意等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f '(x )= 3x2 +2ax +1 W 0對x w ' -2 ,i恒成立，即fmax x - 01、因?yàn)槎魏瘮?shù)f '(x )開口向上，展*於)只可能是 2 或一/ 2 1 一 . / 1 1一 r由f 一一 IW0和f 一一1£0,解得a22 < 3J 、 3)解法

2、2 (分離參數(shù)法). c21、' _1 ''1、'f (x )=3x +2ax+1M0,xW -,- 1,解出 a 之一一 3x + i < 3 3j2 <xj12'3 3x 1 '而g(x )=3x +-在x w -,-時(shí)遞增，xW1,時(shí)遞減x l 33 j、33 j 2 '7-,1''1、'1g - | = , g(1 )= 4 所以 3x + I = g( 1 )=2< 3 J 22< xJmax 2a -2解法3 (分類討論求二次函數(shù)f'(x)的最大值)二次函數(shù)f '

3、(x )開口向上，對稱軸是x =-a2.21、1、當(dāng)aw2,a22時(shí)，f'(x近xw -2上遞增，故抽僅=f''W0,33<33；<3)a -2,2 a 1r .,、,/2、'/ 1 '當(dāng) W - - M -,1 M a W 2 時(shí)，fmax(x )只可能是 f - - |或 f - I3331 3)1 3),，2、 一一 ，1、 一 一 一一由f，七0和f， *0,解得a至2,而aw 1,2,故取a = 2< 3J< 3/a 1 一一 ，2 21 f 2、當(dāng)-a- - ,a<1 時(shí)，f (xx w ,上遞減,f K (x)

4、= fr 0, a 曰 331 33Ji 3J綜上所述a .2解法4 (轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布)導(dǎo)函數(shù)f<X )=3x2 +2ax +1 E 0對x w ' -工,-i恒成立，即對應(yīng)方程1 3 3J一一一 ，一1 .，一.2 , / 2、 一f (x )= 0的兩根一根比- -大，一根比-小，由根的分布f - - IW 0和33< 3；f 1、f' -1 <0>#a>2< 3J1.2案例分析：程序化的解答策略追求解題過程的簡單，追求思維過程的經(jīng)濟(jì)，是解題研究的一項(xiàng)基本任務(wù)，通過 對解答充分地探討總結(jié)，明確優(yōu)化的解題途徑，以利于解同類問題時(shí)

5、能節(jié)省解題能 量,縮短解題時(shí)間，提高解題效率.解法1和解法3都是把求出f '(x)的最大值作為解題目標(biāo).但解法1抓住二次 函數(shù)開口向上最大值只能在端點(diǎn)處取到的特點(diǎn)，節(jié)省了解題時(shí)間；而解法3則拘泥 于依對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系，按部就班來分類探求最大值，解法相又t冗長.解法2則采用“分離參數(shù)”轉(zhuǎn)換為求g(x)的最值手段，這是解包成立問題中最常用的方法，但不如解法1快捷.解法4則利用二次函數(shù)圖象過渡，將不等式包成立轉(zhuǎn)換為方程根的分布，充分 體現(xiàn)了三個(gè)二次之間的聯(lián)系因此，處理一元二次不等式包成立問題，其程序化的思維過程應(yīng)當(dāng)是：首先考慮 能否直接求最值(譬如二次函數(shù)開口向上時(shí)只考慮最大值；而

6、開口向下時(shí)只考慮最小值，這兩種情形的最值只可能出現(xiàn)在端點(diǎn)處)；再考慮用分離參數(shù)轉(zhuǎn)換或者用分類討論直接求函數(shù)的最值顯然，言必談分離不是解法排行榜上的首選，至少不是思維過程的第一步所想2合理化的轉(zhuǎn)換：三類函數(shù)的最值探求是求解的終點(diǎn)例2 (20XX年全國I改編)已知f(x) = ax3 +3x2 x + 1(I )在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.(II)在x 口,+«】上是減函數(shù),求a的取值范圍.2解：函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù):f (x) = 3ax2 6x -1.(I)當(dāng) f (x) <0 (xwR)時(shí)，f(x)是減函數(shù).3ax +6x1M0(x=R) u a < 0且 = 36

7、+12a M 0u a < -3.所以，當(dāng)a <-3Bt,由f (x) E0,知f(x)(xw R)是減函數(shù);(II) f'(x) =3ax2+6x-1 E0在xjl* 恒成立，分離參數(shù)得2,1 1* 3 x2令 g(x)=1(4-?？? 往-3)-3,Bx-二,-),底(0,2)3 x2x 3 x2 x故1 =2 時(shí),g(xMn =-8 - aw-8x33例 3(20XX 年湖北省高考題)已知向量a=(x2,x+1),b=(1 -x,t),若函數(shù) f (x)=a b 在區(qū)間(一11)上是增函數(shù)， 求t的取值范圍.解：依定義 f (x) = x2 (1 -x) t(x 1)

8、 = -x3 x2 tx t,貝葉(x) = -3x2 2x t.若f (x)在(-1,1)上是增函數(shù)，則在(-1,1)上f '(x)之0.二 f (x) >0 t >3x2 2x,在區(qū)間(1,1)上恒成立，考慮函數(shù) g(x) = 3x2 -2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x =1,開口向上的拋物線，故要使t之3x2 -2x在區(qū)間(1, 1 )上包成立u t >g(-1),1Pt >5.故t的取 值范 Bit是5.結(jié)合前面例題，可以看到解答ax2 +bx + c>0時(shí)通常轉(zhuǎn)換為三類常見的函數(shù)的最值若不等式在x w R上包成立，只要a=b = 0,c>

9、;0或a>0, <0 (見例2)若a,b,c三個(gè)字母中只有一個(gè)是參數(shù)，另兩個(gè)是常數(shù)時(shí)，常轉(zhuǎn)換為三類常見的函數(shù)當(dāng)a為參數(shù)時(shí)，分離參數(shù)為ax'l ； -小1；問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù) lx)W1g(t)=ct bt的取值問題，t=-xc=-ax+且，即為常見x當(dāng)b為參數(shù)時(shí)，則轉(zhuǎn)換為b > -ax -c (x > 0),或者b < -ax - (x < 0)(見例1) xx而其中ac>0 (a c同號)時(shí)，對應(yīng)函數(shù)g(x)=-ax-f x的”對勾函數(shù)”，其單調(diào)區(qū)間分別是(因其為奇函數(shù)，只考慮了也是奇函數(shù)，其在(0,珀情形)若ac <0 (a c異號)

10、時(shí)，對應(yīng)函數(shù)g(x )= -ax - = -a x(0, +oO前(0,+°O止都單調(diào).當(dāng)c為參數(shù)時(shí)，則轉(zhuǎn)換為c> -ax2 -bx，還是求二次函數(shù)y = -ax2 -bx的最值問題因此，對三類函數(shù)：二次函數(shù)，對勾函數(shù)y = x + m(m>0)及函數(shù) xy=x-m(m>0)的單調(diào)性如能了如指掌，會大大提高解題速度.x3解一元二次不等式包成立要注意的兩個(gè)問題3.1 分清主元和參數(shù)，主元的一次函數(shù)可直接求最值例4 (20XX年四川高考文科題)已知函數(shù)f (x )= x3 + 3ax 1, g(x )= fx)ax5其中(x )是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。對滿足iwawl的一

11、切a的值，都有g(shù)(x)<0求 實(shí)數(shù)x的取值范圍；解：由題意 g x =3x2 -ax - 3a 5令出a )=(3 xp+3x2 5, (a 斑 a 的一次函數(shù)，-1 < a < 1對一1 «a41 ,何有 g(x)<0,即中(a)<0.尸 6<0即戶x2-x-2<。:-1 ：03x2 x-8 :： 0 2解得-:二 x ：二 1一 2故 x - ,133|時(shí)，對滿足-1 Ma W1的一切a的值，都有g(shù)(x)c0可見在程序化思維中還要加在直接求最值中加上是否為主元的一次函數(shù)這種情形3.2 若參數(shù)不能直接分離例5 (20XX年全國卷I文史類)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f x = x3 - ax2 a2 -1 x在(-°0,0 )和(1,y)都是增函數(shù)，求a的取值范圍解 f Kx )=3x2 -2ax +(a2 -1),題意等價(jià)于 f '(x 心 0 在(-°°,0 )和(1,+°° )上恒成立.其中 =12 -8a2f V >0,f(x依R上遞增，滿足條件當(dāng) A 0時(shí)，轉(zhuǎn)換為方程f '(x )= 0的兩根在(0,1 )內(nèi)，則f-A>0,0<a<1,f *(0)>0,