2003年高考試題——數(shù)學(xué)理(北京卷)及答案

1、 2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第卷（選擇題共50分）參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式 其中、分別表示 上、下底面周長，表示斜高或母線長. 球體的體積公式： ，其中R 表示球的半徑.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.（1）設(shè)集合，則等于（A）（B）（C）（D）或（2）設(shè)，則（A）（B）（C）（D）（3）“”是“”的（A）必要非充分條件（B）充分非必要條件 （C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件4已知是平面，是直線，下列命題中不正確的是（A）若，則（B）若，則

2、（C）若，則（D）若，則5極坐標(biāo)方程表示的曲線是（A）圓（B）橢圓（C）拋物線（D）雙曲線6若，且，則的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）57如果圓臺的母線與底面成角，那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為（A）（B）（C）（D）8從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植不同的種植方法共有（A）24種（B）18種（C）12種（D）6種9若數(shù)列的通項公式是，則等于（A）（B）（C）（D）10某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人全班名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”令其中，且，則同時同意

3、第1、2號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（A） （B）（C） （D）第卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11，其中 為偶函數(shù)12已知雙曲線方程為，則以雙曲線左頂點為頂點，右焦點為焦點的拋物線方程為 13一底面半徑為的圓柱，被一平面所截剩下部分母線最大值為，最小值為，那么圓柱被截后剩下部分的體積為 14一根長為1的鐵絲，分成兩段分別圍成一個正方形和一個圓，當(dāng)正方形和圓的面積之和最小時，正方形的周長為 三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大

4、值和最小值. 16（本小題滿分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列（），求數(shù)列的前項和公式.17（本小題滿分15分）如圖，已知正三棱柱底面邊長為3，為延長線上一點，且（1）求證：直線面；（2）求二面角的大?。唬?）求三棱錐的體積18（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心（）寫出橢圓方程并求出焦點坐標(biāo)和離心率；（）設(shè)直線與橢圓交于，（），直線與橢圓次于，（）求證：；（）對于（）中的在，設(shè)交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）19（本小題滿分14分）有三個新興城鎮(zhèn)分別位于、三點處，且，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方

5、便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線上的點處（建立坐標(biāo)系如圖）（）若希望點到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應(yīng)位于何處？（）若希望點到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則應(yīng)位于何處？20（本小題滿分14分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件，對任意的、，都有（）證明：對任意，都有（）證明：對任意的都有（）在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)且使得若存在請舉一例，若不存在，請說明理由2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷) 數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算. 每小題5分，滿分50分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8B 9C 10C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題

6、4分,滿分16分.11 12 13 14三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15本小題主要考查三角函數(shù)的倍角、和角公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查運算能力，滿分13分. （）解：因為所以的最小正周期（）解：因為,所以當(dāng)時，取最大值為,當(dāng)時，取最小值為1的最大值為1,最小值為16本小題主要考查等差、等比數(shù)列等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力.滿分13分. （）解：設(shè)數(shù)列公差為，則 又所以（）解：由得 當(dāng)x1時，將式減去式，得 當(dāng)x=1時， 綜上可知，當(dāng)x=1時， 當(dāng)x1時，17本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，正棱柱的性質(zhì)，棱

7、錐的體積等基本知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力. 滿分15分.（）證明：CDC1B1 ，又BD=BC=B1C1，四邊形BDB1C1是平行四邊形BC1DB1 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D直線BC1平面AB1D（）解：過B作BEAD于E，連結(jié)EB1， BB1平面ABD B1EAD B1EB是二面角B1ADB的平面角 BD=BC=AB E是AD的中點， BE=AC=在RtB1BE中，tanB1EB= B1EB= 即二面角B1ADB的大小為 （）解法一：過A作AFBC于F， BB1平面ABC， 平面ABC平面BB1C1C， AF平面BB1C1C 且AF= = = 即三棱錐C1ABB1的

8、體積為18本小主要考查直線、橢圓和雙曲線等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分. （）解：橢圓方程為 焦點坐標(biāo)為， 離心率（）證明：證明：將直線CD的方程代入橢圓方程，得 整理得 根據(jù)韋達(dá)定理，得 ， 所以 將直線GH的方程代入橢圓方程，同理可得 由 、得 = 所以結(jié)論成立（）證明：設(shè)點P，點Q 由C、P、H共線，得 解得 由D、Q、G共線，同理可得 由 = 變形得 = 所以 即 19本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分. （）解：由題設(shè)條件a>b>0,設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 =所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是（）解：記P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得記于是 當(dāng)，即時，因為在上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時,函數(shù)取得最小值. 點P的坐標(biāo)是當(dāng)，即時，因為在上當(dāng)y=0函數(shù)取得最小值b，而上是減函數(shù),且 ，所以時, 函數(shù)取得最小值. 答：當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是 當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是，其中20本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分14