備戰(zhàn)2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題(1)

1、Gxyxxy當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)，當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)，518)512(25)(21212222xyxDFSDEF解析第三問(wèn)：EF當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊上時(shí)，當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊上時(shí)，2921DFDESDEF 定義: 如果一個(gè)三角形(正三角形)的三個(gè)頂點(diǎn)都落在一個(gè)正方形的邊上，則稱這個(gè)三角形為該正方形的內(nèi)接三角形(內(nèi)接正三角形)當(dāng)該內(nèi)接正三角形的面積最大時(shí)，稱最大內(nèi)接正三角形；當(dāng)該內(nèi)接正三角形的面積最小時(shí)，稱最小內(nèi)接正三角形正方形的內(nèi)接正三角形探究正方形的內(nèi)接正三角形探究1.正方形內(nèi)接正三角形的一般作法(位似圖形).(1

2、)任作一條直線交正方形相鄰兩邊AB，AD于M、N兩點(diǎn)；(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，以MN為半徑畫(huà)弧，兩弧在點(diǎn)C同側(cè)交于點(diǎn)H，則得正MNH；(3)連接AH并延長(zhǎng)交BC邊(或CD邊)于G點(diǎn)；(4)分別作GENH，GFMH,則EFG即為所作的內(nèi)接正三角形DEGMNFCBAH正方形的內(nèi)接正三角形探究正方形的內(nèi)接正三角形探究 邊長(zhǎng)為a的正方形的最大內(nèi)接正三角形面積為 圖形特征：此時(shí)正三角形的一頂點(diǎn)與正方形的一 頂點(diǎn)重合，該點(diǎn)對(duì)邊與正方形的另一對(duì)角線平行；2.正方形內(nèi)接正三角形面積的最值討論DE(G)FCBA2)332(a3.用尺規(guī)作出正方形的最大和最小內(nèi)接正三角形方法(1)正方形的最大內(nèi)接正三角形的作法

3、連接BD，分別以B、D為圓心，以BD為半徑畫(huà)弧，兩弧交于C點(diǎn)同側(cè)于P點(diǎn)，連接BP,DP,過(guò)點(diǎn)C分別作CFBP, cEDP即三角形EFG即為正方形ABCD的最大內(nèi)接正三角形。根據(jù)對(duì)稱性知這樣的三角形有四個(gè)DEPFCBA(2)正方形的最小內(nèi)接正三角形的作法尺規(guī)法確定AB邊的中點(diǎn)F；以F為圓心以AB為半徑畫(huà)弧，交AD邊于E點(diǎn)，交BC邊于G點(diǎn)則 三角形EFG即為正方形ABCD的最小內(nèi)接正三角形，根據(jù)對(duì)稱性知這樣的三角形也有四個(gè)3.用尺規(guī)作出正方形的最大和最小內(nèi)接正三角形方法DEGFCBA（2）最小內(nèi)接正三角形面積為圖形特征：此時(shí)正三角形的一頂點(diǎn)落在正方形一邊的中點(diǎn).該點(diǎn)對(duì)邊與正方形的對(duì)邊平行2.正方形

4、內(nèi)接正三角形面積的最值討論DEGFCBA243aACBACB6060圖1圖2思考：怎樣畫(huà)頂點(diǎn)分別在AB,BC,AC上的EFG使 EFG的周長(zhǎng)最小； EFG的面積最大.三角形的內(nèi)接三角形探究三角形的內(nèi)接三角形探究MNEGFEGFMN “費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題 費(fèi)爾馬，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者之一 費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn) 費(fèi)爾馬的結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn) 下面簡(jiǎn)單說(shuō)明如何找點(diǎn)P使它到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？這就是所

5、謂的費(fèi)爾馬問(wèn)題 因此，當(dāng)ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn) 費(fèi)爾馬問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問(wèn)題的方法 是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換ACBP解析：如圖，把APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP 則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC， 所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC 點(diǎn)C可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而得的定點(diǎn)，BC為定長(zhǎng) ，所以當(dāng)B、P、P、C 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+

6、PC最小 這時(shí)BPA=180-APP=180-60=120， APC=A PC=180-APP=180-60=120， BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120ACBDO托勒密定理：AB CD+AD BC=AC BD引論：點(diǎn)p為等邊三角形ABC外接圓BC弧上任一點(diǎn)，則有PB+PC=PAACBPO25.(本題滿分12分）如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“等中三角形”.探索體驗(yàn)（1）如圖1，點(diǎn)D是線段AB的中的，請(qǐng)畫(huà)一個(gè)ABC是“等中三角形”.（2）如圖2，在RTABC中，C=90,tanA= ,求證：ABC是“等中三角形”.拓展應(yīng)用（3）如圖3，

7、在正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)P、Q分別在BC、CD邊上，且PQ|BD,是否存在點(diǎn)Q，使APQ為“等中三角形”？若存在，請(qǐng)求出DQ的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.ADBACBACBQPD圖1圖3圖22325.25.已知：矩形紙片已知：矩形紙片ABCD 中，中，AB=26 厘米，厘米，BC=18.5 厘米，點(diǎn)厘米，點(diǎn)E 在在AD 上，且上，且AE=6 AE=6 厘米，點(diǎn)厘米，點(diǎn)P 是是AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)按如下操作：邊上一動(dòng)點(diǎn)按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P 與點(diǎn)與點(diǎn)E 重合，展開(kāi)紙片得折痕重合，展開(kāi)紙片得折痕MN（如圖（如圖1 所示）；所示）；步驟二，過(guò)點(diǎn)步驟二，過(guò)點(diǎn)P 作作PTAB，交，交MN 所在的直線于點(diǎn)所在的直線于點(diǎn)Q，連接，連接QE（如圖（如圖2 所示）所示）（1）如圖）如圖3 所示，將紙片所示，將紙片ABCD 放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作： 當(dāng)當(dāng)PA=6 厘米時(shí)，厘米時(shí)，PT 與與MN 交于點(diǎn)交于點(diǎn)Q2，Q2 點(diǎn)的坐標(biāo)是（點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 6 ， 6 ）；）；（2）當(dāng)）當(dāng)PA=12 厘米時(shí)，在圖厘米時(shí)，在圖3 中畫(huà)出中畫(huà)出MN，PT（不要求寫(xiě)畫(huà)法），并求出（不要求寫(xiě)畫(huà)法），并求出MN 與與PT 的交點(diǎn)的交點(diǎn)Q3 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)