勾股定理的證明方法探究詳情

1、勾股定理的證明方法探究詳情 勾股定理又叫畢氏定理：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。 據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說(shuō)也超過(guò) 4000 年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過(guò) 300 個(gè)對(duì)這定理的證明！ 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為畢達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資

2、料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。 1.課本方法：畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是 a2+b2=c2。 這是幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。scccccccccccc 方法2：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖 這個(gè)證

3、明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念： 全等形的面積相等； 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 2古人的方法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過(guò)拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦也”。 趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。 3.美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對(duì)勾股定理的證明。 如圖，ABCD S梯形ABCD= (a+b)

4、2 = (a2+2ab+b2)， 又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔。 DBAC4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)三直角角形與原三角形相似。如圖，RtABC中，ACB=90°。作CDAB，垂足為D。則 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC可得BC2=BD × BA， 由CADBAC可得AC2=AD × AB。 我們發(fā)現(xiàn)

5、，把、兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。 應(yīng)用勾股定理犯的錯(cuò)誤：勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理,其應(yīng)用非常廣泛.我們?cè)趹?yīng)用這兩個(gè)定理解題時(shí),常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解,現(xiàn)將錯(cuò)誤歸納剖析如下,以引起我們的重視.一、忽視題目中的隱含條件例1在RtABC中,a、b、c分別為三條邊,B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求邊c的長(zhǎng).誤解:ABC是直角三角形,a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面

6、的解法,忽視了題目中B=90°,b是斜邊的隱含條件.正解:B=90°,a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽視定理成立的條件例2在邊長(zhǎng)都是整數(shù)的ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的長(zhǎng).誤解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,AB=5cm.剖析:這種解法受“勾3股4弦5”思維定勢(shì)的影響,見(jiàn)題中有BC=3,AC=4,就認(rèn)為AB=5,而忘記了“勾3股4弦5”是在直角三角形的條件下才成立,而本題中沒(méi)有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三條邊之間的關(guān)系來(lái)解。歐幾里得在他的幾何原本中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。 從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體