電動力學(xué)第三版答案郭碩鴻著.

1、數(shù)學(xué)預(yù)備知識一矢量、場論本章重點(diǎn)闡述梯度、散度、旋度三個(gè)重要概念1=1及其在不同坐標(biāo)系中的運(yùn)算公式，它們?nèi)咧?間的關(guān)系。其中包括兩個(gè)重要定理：即Gauss theorem 和 Stokes theorem,以及二階微分運(yùn)算和算符運(yùn)算的重要公式。本章主要內(nèi)容矢量運(yùn)算 標(biāo)量場的梯度算符 矢量場的散度高斯定理矢量場的旋度斯托克斯定理在正交曲線坐標(biāo)系中算符的表達(dá)式 二階微分算符格林定理 0-1矢量運(yùn)算1、兩矢量標(biāo)量積與矢量積d-b = axbx + aybv + a:b:cixb = (aybz 一azby)T + (a九 一axbz)j + (axby 一aybxk *i j k=ax ay az

2、 by bz2、混合積a (b x c) = b (c x a) = c (a x b)=滿足旋轉(zhuǎn)定律aycy3、三重矢積ax(bxc) = (a )方一(/ 方)ax(bxc)(bxc)xd不滿足交換定律4. 矢量求導(dǎo)法則八、dfa) rd a d f(1) = J+adtdt dt(2)d a rd t若a=b則有_ d bb +qd td td(a -b)d(a2)d ad a=2a 2a dtdt(3)如)d t d td a 廠_ d bxb+axd t d td t 02場論分析一、標(biāo)量場的梯度，算符1、場的概念場是用空間位置函數(shù)來表征的。在物理學(xué)中，經(jīng)常 要研究某種物理量在空間的

3、分布和變化規(guī)律。如果物理 量是標(biāo)量，那么空間每一點(diǎn)都對應(yīng)著該物理量的一個(gè)確 定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場。如電勢場.溫度場等。 如果物理量是矢量，那么空間每一點(diǎn)都存在著它的大小 和方向，則稱此空間為矢量場。如電場.速度場等。若 場中各點(diǎn)處的物理量不隨時(shí)間變化，就稱為穩(wěn)定場，否 則，稱為不穩(wěn)定場。2方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)以丘淮一點(diǎn)P處沿任意方向 對距離的變化率，它的數(shù)值勺所取的方向I有關(guān)， 一般來說，在不同的方向上學(xué)的值是不同的，但 dl p它并不是矢量。如圖所示，亍為場中的任意方向，人 是這個(gè)方向線上給定的一點(diǎn)，馬為同一線上鄰近的一 點(diǎn)。/為力和刃之間的距離，從刃沿洌Q標(biāo)量函數(shù)0（元）的增量

4、為0 = 0（2）一001）im 少=im 0（卩2）-05）若下列極限A/-0 / a/Ho A/ 存在，則該極限值記作器| ,稱之為標(biāo)量場cp（xP1 處沿/的方向?qū)?shù)。53.梯度由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，即標(biāo)量場0（勸在一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有無窮多個(gè)，其中，若過 該點(diǎn)沿某一確定方向取得0（勸在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù),則可引進(jìn)梯度概念。記作鈕i（p = P（p = 稱之為0（丘）在該點(diǎn)的梯度（grad是gradient縮寫）， 它是一個(gè)矢量，其大小IgrW = （罟）max=蟹,其方 向即過該點(diǎn)取得最大方向?qū)?shù)的某一確定方向，即h方向。顯見 當(dāng)P1P2TO，P|PoT 時(shí),0PP2等值面 等

5、值面9 = 5-9 = C4 方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： 詩是等值面cp = C上刃點(diǎn)法線 方向單位矢量。它指向0增加 的方向。，表示過口點(diǎn)的任一 方向。所以坐81PPo= Jim 審（P2）F（PJPiDotOr= cosJim 吶-心）皿一0= cos& limAnPiPi該式表明：罟5&聲=筍1卻曲即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用來表征標(biāo)量場0（丘） 在空間各點(diǎn)沿不同方向變化快慢的程度。5. 算符（哈密頓算符）V算符既具有微分性質(zhì)又具有矢量性質(zhì)。在任意方 向上移動線元距離刃，0的增量如稱為方向微分，即8x dy dz dl=（學(xué)亍+ 學(xué)）+學(xué)斤）（

6、心丁 + dyj +dzk）ex dy dzA&3_=（f + J + k）（p （dxT + dy + dzk） = V（p-dxi +dyj + dzk） dxdydzV 讀作 “del”，或 “nabla”dx dy dz在直角坐標(biāo)系中的表示高斯定理二矢量場的散度1、通量一個(gè)矢量場空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量場0方向通過dG 的流量是創(chuàng)V,而力V是以於為底，以vcos為高的斜柱體的體 積，即 dN = vcos 3ds = v ds稱為矢量0通過面元的通量。對于有向曲面總可以將3分成許多足 夠小的面元dE,于是通過曲面的通量N為每一面元通量之和N = JJ。S對于閉合曲面9,通量N為=

7、jjv ds2.散度設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為AV,則jA-ds/AV 就是矢量場本刃在中單位體積的平均也量，或者平均發(fā) 散量。當(dāng)閉合曲面及其所包圍的體積向其內(nèi)某點(diǎn) M（x） 收縮時(shí)，若平均發(fā)散量的極限值存在，便記作divA = V A = lim av-o稱為矢量場2（元）在該點(diǎn)的散度（div是divergence的縮寫）。 散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場發(fā)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)div刁0,表示該點(diǎn)有散發(fā)通量的正源；當(dāng)divA -1 dcp16（p 一 _ d 1 d 一 1 d xV69 =eo 4e & = （wc0F .）（pdr r rdO G rsin6 d（/ r or 0

8、r 80 rsinO d（/p _6_8_1 d7 dr e r dd rsinG dd）2.單位矢量的微商 西_% _退 dr dr dr = -er100廠詈 Y cosede邏r sined（/）-乙 sin&-爲(wèi) cos。 d（/）3澈度V-a =丄2（也）+ 丄 2（島sin&） +r2 dr r rsmOdO e%rsinO d（j）%_ 丄？（廠drr *Jsin&加仙花&)+廠2血2加024二階微分運(yùn)算5 旋度Vx5 =亠2 廠 sinO dr日為rsinddd0麗0 rsin0a0-4二階微分算符格林定理1、_階微分運(yùn)算將算符直接作用于標(biāo)量場和矢量場，則分別得到梯度、散度和旋

9、度，即廠VM, VxA這些都叫一階微分運(yùn)算。舉例:a) = yj(x-x,)2 +(y-/)2 +(z-z)為源點(diǎn)丘與場點(diǎn) X 之間的距離，7的方向規(guī)定為由源點(diǎn)指向場點(diǎn)，試分別對 場點(diǎn)和源點(diǎn)求廠的梯度。第一步：源點(diǎn)固定，廠是場點(diǎn)的函數(shù)，對場點(diǎn)求梯度用歹 表示，則有 dr _ dr _ drVr = eee x dx y dy z dz? = (x7)2 +(y y)2 +(z z)y (兀一小 dx 2 (x-V)同理可得:。坐標(biāo)原點(diǎn)場點(diǎn)（觀察點(diǎn)）故得到：=1=1第二步：場點(diǎn)固定，/是源點(diǎn)的函數(shù)，對源點(diǎn)求梯度用。表示。廠, _drdr廠=wF wF e.” 5xf y 5yf 電M = (%

10、兀)2 +(y-/)2 +(Z-Z)22.2(兀_疋).(_1) ox 2(兀一疋)r同理可得：Sr _(y-y)E _ (z )dyfr，比r所以得到:e一_ drV r = evF evF jdxf y dyr z dz!=_g(AV)-e. (y-y)-e.(乙一廠=_乙=xyzrrrr=1 b）設(shè)M是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明v/（w） = -Vwdu證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法 則，有dxdy 、dz_ df(u) du _ df(u) du _ df(u) du =eedu dx df(u) du 一=叫“du du dydu dzdu _ du、乞丁)dy dz證

11、畢=1=1c) 設(shè) r =ex(x-x) + ey(y-y)-ez(z-z)=x-x 求戸和鯉一 一、 = (匕慶+3.石+乞喬)(*;+厶+人) d r 5 rv Q r.=+dx dy dzdxd(x x) dJc-=1=1同理可得等g故有那么V-F =生+些+空dx dy dz=1+1+1=3dx dyf這里drx _ d(x-x) _ 麗一 a?-一一同理可得乞=玉=一1 .芳 dz故有 產(chǎn)=玉 + 生 +竺 =_1_1_1 = _3 .ox oy dz由此可見：vfF = -VFd）設(shè)w是空間坐標(biāo)x,j,z的函數(shù)，證明5）刊佛證： A（u） = %（）+ 氓）dxdydz_ dAx(

12、u) du * dAyu) Qu 十 Z4_(u) du du dx du dy du dz=也=% 如duclu證畢.=1證:e)設(shè)“是空間坐標(biāo)廠兒z的函數(shù)，證明V x A(u) = Vw xdA(u)duV x A(u)一 03 S43) =er I 6一 (dAx(u)dzdzdxdxdy 丿du dAv(u) Qu* j du dy du dz dA (u) dudu3一、(0)=0(2)矢量場的旋度必為無散場(3)無旋場可表示成一個(gè)標(biāo)量場的梯度若x=0,貝 g=7cp(4) 無散場可表示成一個(gè)矢量場的旋度若.=(),貝 lJi=Vx/(5) 標(biāo)量場的梯度的散度為(爐)=(加)+(如)

13、+(%)dx dx dy oy dz dz_ d(p d2cp d2(pdx2 * dy2 * dz2=(p(6) 矢量場的旋度的旋度為Vx(Vxi) = V(V：i)-V2i3、運(yùn)算乘積(1 )Vx(V) = 0z2a,、Xyzddddxdzd(pd(pd(p、dxayAVx (V9)=_ crop (T(pdydz=0dzdy )+scrcp &(p、dzdx dxdz /(2)d _ 6 一 O、H S，! e dx dy * dz)exddxJda(d8zd +f dSx+ 3賂呢JdxI 6& J勿L dzdx ) dz(fixdy )丿gy= L 4匕dxdy dxdz dydz

14、dzdx dzdx dzdy =0（3 ）（%） = 0 cp+網(wǎng)屮（00）= ex（00）+ ey （00）+ ez l（p 屮）oxdy dzox oxdy oy+互（0器+ 0dzd（p 一 dcp 一 d（px=心喬+5石SR彳一 du/ 一 du/ 一+ 0 （乞丁+5丁+冬ox oy=i/7（p +（p71/（4）（） = +V W） =（v+v_）.= J （cpg） + v_ 3Q= 0巨+沼 .g =巨（5 ） Vx （涼）=0Vx g 4- V97X g X （涼）=（S + J ） X （涼）=（涼）+ m x （涼）=vxi + xi = vz?xi + z?Vxi(6

15、)V.(ix7)= /.(Vxg)-.(Vx/)V-(gx/) = (V_+V7).(gx/)= Vr(gx/) + Vr(ix/)根據(jù)常矢運(yùn)算法則a (bxc) = b (c xa) = c (axb) 則有：一 一一Vr(gx/) = /.(V-xi) = /.(Vxi)廠(g x /) = -Vr(/xi)=-g.(V7x/)故有:= -i-(Vx/)V-(x/) = /.(Vxg)-g.(Vx7)Vx(x7)-(/ V)+(V.7)-(. V)7-(V.)7Vx(ix/) = (V+V7)x(ix7)= V-x(ix/) + V x(ixj)根據(jù)常矢運(yùn)算法則：ax(bxc) = (a

16、c)b (a b)c則有x(gx/) = -gx(/xg) + jx(gx/)=(J + (產(chǎn) J )g+(廠 (Q v7 )7= -(v.i)7 +(7.v)i +(vJ)i-(i.v)/(8)V(i./) = /x(Vxf)+(/-V)g + ix(Vx/) + (g.V)/因?yàn)? _-/x(Vx) = /x(V-x) = V_(/.)-(/.V-) .gx(vx7)= x(v7x7)=v7(i./)-(.v7)7、 故有 v-(7.)+ v7(g-7) 從而得到廠(/+%()()Fv(7-g)= 7x(vxg)+(/.v_)gV+ gx(Vx/) + (g-V7)7= /x(Vxg) +

17、 (7- V)g + gx(Vx/) + (g-V)74、格林定理(Green theorem)令：A =呷屮由 Gauss9s theorem 得到：A* ds = J V A)dvSVdE = J V-(ar叫azI11J叫ra sin。rsnO 83rsin9 d(/) x (“)= 0Vx 5 =151 da.d(a0 sin 0) +恒等式 ( x g) = 0電荷與（15）-、庫侖定律電荷和電場設(shè)真空中有二靜止點(diǎn)電荷0、0,庫侖由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)0對于0 有一作用力F為：.亦F = 今r4兀 r其中= 8.854x10門助n是真空介電常數(shù)；廠為由Q到Q，的矢量。 它是一實(shí)驗(yàn)定律，但可以有兩種截然不同的物理解釋。一種認(rèn) 為Q超越空間距離作用于Q,這種觀點(diǎn)稱為超距作用或遠(yuǎn)距作 用觀點(diǎn)。另一觀點(diǎn)認(rèn)為Q在其周