探究應(yīng)用新思維-數(shù)學(xué)7年級(jí)1-10

1、1數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸解讀課標(biāo)數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的一門學(xué)科，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來(lái).在日常生活中我們通常對(duì)有形的東西認(rèn)識(shí)比較快，而對(duì)抽象的東西認(rèn)識(shí)比較慢，這正是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具，主要反映在：1利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題；4利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小問(wèn)題解決例1 (1)已知、為有理數(shù)，且，將四個(gè)數(shù)、按由小到大的順序排列是_（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）(2)已知數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，A、B之間的距離為，點(diǎn)與原點(diǎn)

2、的距離為，那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是_（廣西競(jìng)賽題）試一試 對(duì)于(1)，賦值或借助數(shù)軸比較大??；對(duì)于(2)確定、兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，充分考慮、兩點(diǎn)的多種位置關(guān)系.例2如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距個(gè)單位，點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是( ) A.點(diǎn)B.點(diǎn)C.點(diǎn)D.點(diǎn)（江蘇省競(jìng)賽題）試一試 從尋找與的另一關(guān)系式入手例3 已知兩數(shù)、，如果比大，試判斷與的大小.試一試 因、符號(hào)未定，故比大有多種情形，借助數(shù)軸可直觀全面比較與的大小例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左跳個(gè)單位到，第二步由向右跳個(gè)單位到，第三步由向左跳個(gè)單位到，第四步由向右跳個(gè)單位到，按以上規(guī)律跳了步時(shí)，電子跳蚤

3、落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是，試求電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）試一試 設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，把、點(diǎn)所表示的數(shù)用的式子表示例5 已知數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊(1)求、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)(2)數(shù)軸上點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度出發(fā)問(wèn)左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)處追上了點(diǎn)，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)(3)已知在數(shù)軸上點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段的中點(diǎn)為 (為原點(diǎn))，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由分析與解 對(duì)于(3)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)

4、動(dòng)時(shí)間為秒，把用的式子表示(1)、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為；(2)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為；(3)(為什么？)，則，即的值不變生活啟示例6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段，對(duì)折后（點(diǎn)與點(diǎn)重合），固定左端向右均勻地拉成個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段上的，均變成；變成；等等）.那么在線段上（除點(diǎn)、點(diǎn)外）的點(diǎn)中，在第二次操作后，求恰好被拉到與重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和.（浙江省紹興市中考題）分析 捕捉問(wèn)題所蘊(yùn)含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點(diǎn)翻折，中點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)不動(dòng)，中點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)翻折到左側(cè)的對(duì)應(yīng)位置上，由原來(lái)

5、的一個(gè)等分點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)等分點(diǎn) 解 故在第二次操作后，恰好被拉到與重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和是數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1.數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，且、兩點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)對(duì) 應(yīng)的數(shù)是_.2.電影哈利·波特中，小哈利，波特穿墻進(jìn)入“站臺(tái)”的鏡頭（如示意圖中的站臺(tái)），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若、站臺(tái)分別位于，處，則站臺(tái)用類似電影中的方法可稱為“_站臺(tái)”（“時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)”試題）3.已知點(diǎn)、在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，那么點(diǎn)表示的數(shù)是_4.如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓（該圓周長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字、）上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，

6、再將正半軸按順時(shí)針?lè)较蚶@在該圓周上，使數(shù)軸上、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)對(duì)應(yīng)，則_；(2)數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周圈（為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是_（用含的代數(shù)式表示）（江西省中考題）5.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示：，則下列各式正確的是( )A.B.C.D.（2012年湖南省常德市中考題）6.文具店、書(shū)店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書(shū)店西米，玩具店位于書(shū)店?yáng)|米處小明從書(shū)店沿街向東走了米，接著又向東走了米，此時(shí)小明的位置在( )A.文具店B.玩

7、具店C.文具店西邊米D.玩具店?yáng)|米7.將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是），刻度尺上的“”“”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的和，則( )A.B.C.D.（浙江省紹興市中考題）8.在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.B.C.D.（重慶市競(jìng)賽題）9.一個(gè)跳蚤在一條直線上，從點(diǎn)開(kāi)始，第次向右跳個(gè)單位，緊接著第次晾左跳個(gè)單位，第次向右跳個(gè)單位，第次向左跳個(gè)單位依此規(guī)律劇下去，當(dāng)它跳第次落下時(shí)，求落點(diǎn)處離點(diǎn)的距離（用單位表示）（江蘇省無(wú)錫市中考題）10.已知數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，、之間的距離為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，求所有滿足條件的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的和（北京市“迎春杯

8、”競(jìng)賽題）-思維方法天地-11.在數(shù)軸上，點(diǎn)、分別表示和，則線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是_.12.在數(shù)軸上，表示數(shù)，的點(diǎn)與表示數(shù)，的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為_(kāi)13.數(shù)形相伴(1)如圖所示，點(diǎn)、所代表的數(shù)分別為,，在數(shù)軸上畫(huà)出與、兩點(diǎn)的距離和為的點(diǎn)（并標(biāo)上字母）(2)若數(shù)軸上點(diǎn)、所代表的數(shù)分別為、，則、兩點(diǎn)之間的距離可表示為，那么，當(dāng)時(shí)，_；當(dāng)時(shí)，數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是在_（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）14.點(diǎn)、分別是數(shù)、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)為，且線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是_，點(diǎn)移動(dòng)的距離是_.（江蘇省競(jìng)賽題）15.點(diǎn)、（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)

9、的右邊，且;點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，依照上述規(guī)律，點(diǎn)、所表示的數(shù)分別為( )A., B.,C.,D.,（福建省泉州市中考題） 16.如圖：，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距個(gè)單位，點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（ ）.A.點(diǎn)B.點(diǎn)C.點(diǎn)D.點(diǎn)17.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖，式子化簡(jiǎn)結(jié)果為( )A.B.C.D. 18.不相等的有理數(shù)、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、,若那么點(diǎn)( )A.在、點(diǎn)右邊B.在、點(diǎn)左邊C.在、點(diǎn)之間D.以上均有可能(“希望杯”邀請(qǐng)賽題)19.在數(shù)軸上，點(diǎn)與點(diǎn)的距離是點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的倍，那么點(diǎn)表示的數(shù)是多少?(“CASIO杯”河南省競(jìng)賽題

10、)20.已知數(shù)軸上有、三點(diǎn)，分別代表、,兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點(diǎn)同時(shí)相向而行.甲的速度為個(gè)單位/秒.(1)問(wèn)多少秒后甲到、的距離和為個(gè)單位? (2)若乙的速度為個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇?(3)在(1)、(2)的條件下，當(dāng)甲到、的距離和為個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回，問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.操作與探究對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)表示的數(shù)乘以再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).點(diǎn),在數(shù)軸上，對(duì)線段上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段,其中，點(diǎn),的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,如圖所示，若點(diǎn)表示的

11、數(shù)是,則點(diǎn)表示的數(shù)是_；若點(diǎn)表示的數(shù)是,則點(diǎn)表示的數(shù)是_；已知線段上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是_.2012年北京市中考題22.動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向以每前進(jìn)個(gè)單位、后退個(gè)單位的程序運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)每秒前進(jìn)或后退個(gè)單位，設(shè)表示第秒點(diǎn)在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)(如，)，求所對(duì)應(yīng)的數(shù).2.聚焦絕對(duì)值絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算、算術(shù)根的基礎(chǔ)；絕對(duì)值又是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，絕對(duì)值與其他知識(shí)融合形成絕對(duì)值 方程、絕對(duì)值不等式、絕對(duì)值函數(shù)等，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用，理解、掌握絕對(duì)值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1

12、.脫去絕對(duì)值符號(hào)是解絕對(duì)值問(wèn)題的切入點(diǎn)脫去絕對(duì)值符號(hào)常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法.2.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離.3.靈活運(yùn)用絕對(duì)值的基本性質(zhì)；例1已知: 其中,，那么的最小值為_(kāi).(“CASIO杯”河南省競(jìng)賽題)試一試 結(jié)合已知條件判斷出每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)性，再去掉絕對(duì)值符號(hào).例2式子的所有可能的值有( ).A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)試一試根據(jù)、的符號(hào)所有可能情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，這是解本例的關(guān)鍵.例3 (1)已知,求的值.(“華羅庚杯”香港中學(xué)競(jìng)賽題) (2)設(shè)、為整數(shù)，且，求的值.(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題

13、)試一試 對(duì)于（1),由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出、的值;對(duì)于(2)，寫(xiě)成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的和的形式又有幾種可能?這是解(2)的突破口.例4閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式|時(shí)，可令：和，分別求得， (稱，分別為與的零點(diǎn)值)在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況：(1)；(2)；(3).從而化簡(jiǎn)代數(shù)式可分以下種情況：(1)當(dāng) 時(shí)，原式;(2)當(dāng)時(shí)，原式；(3)當(dāng)時(shí)，原式.綜上討論，原式通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：(1)分別求出和的零點(diǎn)值；(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式.(云南省中考題)試一試 在閱讀理解的基礎(chǔ)上化簡(jiǎn)求值.例

14、5 (1）當(dāng)取何值時(shí)，有最小值?這個(gè)最小值是多少?（2）當(dāng)取何值時(shí)，有最大值?這個(gè)最大值是多少?（3）求的最小值.（4）求的最小值.分析對(duì)于（3）、（4）可先運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，再求最小值;也可利用絕對(duì)值的幾何意義，即在數(shù)軸上找一表示的點(diǎn)，使之到表示、的點(diǎn) (:或表示、的點(diǎn)）的距離和最小.解(1）當(dāng)時(shí)，原式有最小值，最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，原式有最大值，最大值為.（3）當(dāng)時(shí)，原式有最小值，最小值為.（4）當(dāng)時(shí)，原式有最小值，最小值為.對(duì)于（3），給出另一種解法：當(dāng)時(shí)，原式，最小值為；當(dāng)時(shí)，原式，最小值為；當(dāng)時(shí)，原式,最小值為.綜上所述，原式有最小值等于.以退求進(jìn)例6少年科技組制成一

15、臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后 再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是:輸人第一個(gè)整數(shù)，只顯示不運(yùn)算，接著再輸人整數(shù)心后則顯示的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算.現(xiàn)小明將從到這個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸人,全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為，試求出的最大值，并說(shuō)明理由.分析 先考慮輸入個(gè)數(shù)較少的情形，并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值，一步步求出的最大值.解 由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng),時(shí)，不超過(guò)、中最大的數(shù)，對(duì)，,則不超過(guò)工、中最大的數(shù)，設(shè)小明輸入這個(gè)數(shù)的次序是,.相當(dāng)于計(jì)算: ，因此的值.另外從運(yùn)算奇偶性分析，、為整數(shù)，與奇偶性相同，因此與的奇偶性相同，但偶數(shù).于是斷定，我們證明可以取到.對(duì) ,按如下次序：，,對(duì)于均成立.因此，可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為,而后，故的最大值為.數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1.數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且,則_.2.已知，,且，那么_.3.化簡(jiǎn)_. (北京市競(jìng)賽題）4.已知有理數(shù)、