三角形內(nèi)角和定理的證明與應(yīng)用

1、三角形內(nèi)角和的證明及應(yīng)用三角形內(nèi)角和的證明及應(yīng)用河南省濮陽范縣濮城鎮(zhèn)中學(xué)河南省濮陽范縣濮城鎮(zhèn)中學(xué) 李智萍李智萍一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理” 我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180。 即：在即：在ABCABC中，中， 有有A+B+C=180A+B+C=180 ABC怎樣驗(yàn)證三角形怎樣驗(yàn)證三角形的三個(gè)角的和等于的三個(gè)角的和等于180180呢？呢？ A B C 1 2 D E 你動手試過了你動手試過了嗎？嗎？. 在前面我們是采用拼接的方法來說明的。在前面我們是采用拼接的方法來說明的。 但是組成的但是組成的BCBC和和CDCD真的就是一

2、條直真的就是一條直線嗎？線嗎？ A B C 1 2 D E 很明顯，這是無法確定的很明顯，這是無法確定的 A B C 1 2 D E 回顧與思考回顧與思考 我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .你還記得這個(gè)你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎結(jié)論的探索過程嗎? ?1ABD23C(1)(1)如圖如圖, ,當(dāng)時(shí)我們是當(dāng)時(shí)我們是把把A A移到了移到了1 1的位的位置置,B,B移到了移到了2 2的位的位置置. .如果不實(shí)際移動如果不實(shí)際移動A A和和B,B,那么你還有那么你還有其它方法可以其它方法可以 達(dá)到同達(dá)到同樣的效果樣的效果? ?(2)(2)根據(jù)前面的公理和

3、定理根據(jù)前面的公理和定理, ,你能用自己的語言說說這一你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎結(jié)論的證明思路嗎? ?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎過程嗎? ?與同伴交流與同伴交流. .三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.21w已知已知:如圖如圖, AA、B B、C C 是是ABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角. 求證求證:A+B+C= A+B+C= 180.w證明證明:作作BC的延長線的延長線CD,過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CEAB,則則 例題例題欣賞欣賞w 你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.w 1=A(兩直線平行兩直線

4、平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2= B(兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相等).w 又又1+2+33= 180 (平角的定義平角的定義),w A+B+ACBACB= 180 (等量代換等量代換).w分析分析: :延長延長BCBC到到D,D,過點(diǎn)過點(diǎn)C C作作射線射線CEAB,CEAB,這樣這樣, ,就相當(dāng)于就相當(dāng)于把把A A移到了移到了1 1的位置的位置, ,把把B B移到了移到了2 2的位置的位置. .這里的這里的CD,CE稱為稱為輔助線輔助線,輔助輔助線通常畫成線通常畫成虛線虛線.ABCE213Dw在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角小明的想法是

5、把三個(gè)角“湊湊”到到A處處,他過點(diǎn)他過點(diǎn)A作直線作直線PQBC(如圖如圖),他的想法可他的想法可以嗎以嗎?議一議議一議w請你幫小明把想法化為實(shí)際行動請你幫小明把想法化為實(shí)際行動.w小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你由此你受到什么啟發(fā)受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎你有新的證法嗎?w證明證明:過點(diǎn)過點(diǎn)A作作PQBC,則則w 1=B(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2=C(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 又又1+2+33= 180 (平角的定義平角的定義),w BAC+B+CC= 180 (等量代換等量代換).所作的輔助所作的輔助線是證明的線是證明

6、的一個(gè)重要組一個(gè)重要組成部分成部分,要在要在證明時(shí)首先證明時(shí)首先敘述出來敘述出來.PQ231ABCABC已知：如圖，已知：如圖，A B C.求證：求證：A +B +C=180開啟 智慧小組討論一下，還有其小組討論一下，還有其他證明方法嗎？他證明方法嗎？把三個(gè)角把三個(gè)角“湊湊”到到B處處, C處，結(jié)果如何？可以試試處，結(jié)果如何？可以試試嗎？嗎？w根據(jù)下面的圖形根據(jù)下面的圖形,寫出相應(yīng)的證明寫出相應(yīng)的證明. 課堂練習(xí)課堂練習(xí)w 你還能想出其它證法嗎你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRMABC證明證明：過：過A作作AEBC，EB=BAE(兩直線平

7、行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等) EAB+BAC+C=180(兩直線平行兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ))B+C+BAC=180 (等量代換等量代換)開啟 智慧ABCPQR證明證明：過點(diǎn)：過點(diǎn)P作作PQ AC交交AB于于Q點(diǎn)，點(diǎn)， 作作PR AB交交AC于于R點(diǎn)。點(diǎn)。四邊形四邊形AQPR是平行四邊形是平行四邊形 （平行四邊形的定義）（平行四邊形的定義） QPR= A （平行四邊形的對角相等）（平行四邊形的對角相等） RPC= B（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） QPB= C（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （

8、1平角平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代換）（等量代換） EBC+ FCB=180 EBC+ FCB=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 即即1+ ABC+ ACB+4= 1801+ ABC+ ACB+4= 180 又又 BAC= 2+ 3BAC= 2+ 3 BAC + ABC + ACB= 180 BAC + ABC + ACB= 180 （等量代換）（等量代換）ABCEDF（123證明：證明：過過A A點(diǎn)作射線點(diǎn)作射線ADAD，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作BE ADBE AD，過，過C C點(diǎn)作點(diǎn)作CFADCFAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相

9、等).).4（則則BE CFBE CF（平行與同一條直線的兩直線平行）（平行與同一條直線的兩直線平行）1=21=2，3=43=4）A證明：證明：E則則CEBA (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).B=2 (兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等).）12又又1+2+ACB=180 (平角的定義平角的定義)A+B+ACB=180 (等量代換等量代換)BCD作作BC的延長線的延長線CD，在，在ABC的外部，以的外部，以CA為為一邊一邊， CE為另一邊作為另一邊作1=A，ABCO 在在ABC內(nèi)任找一點(diǎn)內(nèi)任找一點(diǎn)O，連，連 接接 AO、BO 、CO，即把，即把ABC分成三個(gè)三分成三

10、個(gè)三 角形，即角形，即AOB、 AOC、 BOC，由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和相等，由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和相等，故可得等量關(guān)系故可得等量關(guān)系A(chǔ)OB、 AOC 、BOC 三個(gè)的內(nèi)角和三個(gè)的內(nèi)角和減去減去360就是就是ABC 的內(nèi)角和的內(nèi)角和。 解：設(shè)解：設(shè)ABC的內(nèi)角和的內(nèi)角和 為為 X ， 于是有方程于是有方程3X 360 =X解得解得 X=180 即三角形的內(nèi)角和為即三角形的內(nèi)角和為180 Ow三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:

11、wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 三種語言三種語言ABCw1.直角三角形的兩銳角之和是多少度直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請證明你的結(jié)論請證明你的結(jié)論.w已知已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.w求證：求證： ADE

12、=ADE=500. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)DCBAEABCABCw結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形的兩個(gè)銳角互余. .以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. .1、直角三角形的兩銳角之和是多少度、直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度形的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請證明你的結(jié)論請證明你的結(jié)論. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)ABC結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳角互余；等邊三直角三角形的兩個(gè)銳角互余；等邊三角形每個(gè)內(nèi)角角形每個(gè)內(nèi)角6060以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. .ABC證明證明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形內(nèi)角和定理）三角形內(nèi)角和定理） C= 90（

13、已知）（已知） A+B+90=180（等量代換）（等量代換） A+B=18090= 90 （等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)） 即即A+B=90ABC 隨堂練習(xí)已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求證：求證：AB90 證明：證明： DE BC （已知）（已知） AED= C（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） C=700（已知）（已知） AED= 700 （等量代換）（等量代換） A+ AED+ ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）（三角形的內(nèi)角和定理） A=600（已知）（已知） ADE=1800600700=500（等量代換）（等量代換） 即即 ADE= 500DCBAE 隨堂練

14、習(xí)隨堂練習(xí)3 3、如圖，直線、如圖，直線ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)P P，連結(jié)，連結(jié) PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E點(diǎn)。點(diǎn)。 則則 B B、 D D、 P P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？之間是否存在一定的大小關(guān)系？ 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)A AB BC CP PD DE E他們是怎樣的，并加以證明他們是怎樣的，并加以證明？w在在ABC中中,如果如果BC不動不動,把點(diǎn)把點(diǎn)A“壓壓”向向BC,那么當(dāng)點(diǎn)那么當(dāng)點(diǎn)A越越來越接近來越接近BC時(shí)時(shí), AA就越來越大就越來越大( (越來越接近越來越接近181800),而而B B和和 C,C,越來越小越來越小( (越來

15、越接近越來越接近00).由此你能想到什么由此你能想到什么?w如果如果BC不動不動,把點(diǎn)把點(diǎn)A“拉離拉離”BC,那么當(dāng)那么當(dāng)A越來越遠(yuǎn)離越來越遠(yuǎn)離BC時(shí)時(shí),AA就越來越小就越來越小( (越來越接近越來越接近00),),而而B B和和C C則越來越大則越來越大, ,它們的和越來越接近它們的和越來越接近1800, 當(dāng)把點(diǎn)當(dāng)把點(diǎn)A A拉到無窮遠(yuǎn)時(shí)拉到無窮遠(yuǎn)時(shí), ,便有便有ABABAC,AC,BB和和C C成為同旁內(nèi)角成為同旁內(nèi)角, ,它們的和等于它們的和等于181800.由此你由此你能想到什么能想到什么? 讀一讀讀一讀CBACBA 掌握幾何命題證明的掌握幾何命題證明的方法方法,步步驟驟,格式格式及及注

16、意事項(xiàng)注意事項(xiàng). 三角形三角形內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理.結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳直角三角形的兩個(gè)銳角互余角互余. . 探索證明的思路的方法探索證明的思路的方法: 由由“因因”導(dǎo)導(dǎo)“果果”, ,執(zhí)執(zhí)“果果”索索“因因”.與同伴交流與同伴交流, ,你是如何提高證你是如何提高證明命題能力的明命題能力的. .小結(jié)小結(jié) 拓展拓展 我們證明了三角形內(nèi)角和定理。我們證明了三角形內(nèi)角和定理。證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角，中在一起，拼成一個(gè)平角，輔助線輔助線是是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁。聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁。小結(jié)小結(jié) 拓展拓展小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？w三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1