第八章空間解析幾何答案

1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)§8.1向量及其線性運(yùn)算1。填空題(1)點(diǎn) (1,1,1)關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(1,1, 1)，關(guān)于yoz面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 (1,1,1)，關(guān)于xoz面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(1, 1,1).(2 )點(diǎn)(2, 1,2)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(2,1, 2)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為即1 (z4 (y為(0,3,3)。1)21)2(z2(z 2)，解得2)29 (y 3)2 (z 3)2z 3，則該點(diǎn)y 34.求平行于向量2i 3j 4k的單位向量的分解式。解：所求的向量有兩個(gè)，一個(gè)與a同向，一個(gè)與a反向因?yàn)?4). 29，所以 ea1 (2i 3j 4k)。J 295。設(shè) m

2、i 2j2k，n 2ij k，求向量a 4m n在各坐標(biāo)軸上2。已知兩點(diǎn)M1(1,1,1)和M2(2,2,1),計(jì)算向量M1M2的模、方向余弦和方向角。解：因?yàn)镸11M2(1,1,0),故 IMMI.2,方向余弦為22cos,cos，cos0，方向角為2244 '2(2, 1, 2)，關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(2,1,2)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) 為(2,1, 2).解：因?yàn)閍 4m的投影及分向量。n 4(i 2j2k)(2i j k) 6i 9j 7k，以在x軸上的投影為ax 6，分向量為axi 6i，y軸上的投影為ay分向量為ayj 9j,z軸上的投影為az7,分向量為azk7k。9,3。

3、在yoz平面上，求與A(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距離的點(diǎn)解：設(shè)該點(diǎn)為(0, y,z)，則6.在yOz平面上，求與 A(1,2,1)、B(2,1,0)和C(1, 1,1)等距離的點(diǎn).解：設(shè)所求的點(diǎn)為P(0,y,z)，由| AM | | BM | |CM |可得1 (y 1)2 (z 1)24 (y 1)2 (z 2)29 (y 3)2 (z 3)2，12(y2)2(z1)222(y1)2 2z ，解之得y(z 1)222(y1)22 z12(y1)21-,z 0 故2所求的點(diǎn)為（0丄0）。2nx3 mxj ny3 myj nz3 mzH ( , , )n m n m n

4、 m則三角形 FGH的重心為7.已知點(diǎn)B（1, 2,6）且向量AB在x軸、y軸和z軸上的投影分別為 4,4,1 , 求點(diǎn)A的坐標(biāo)。nx1 mx2n mnx2 mx3n mnx3 mx-in m解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x, y,z）,由題意可知（1 x, 2 y,6 z）(4,4,1)，ny1my2ny2my3ny3my1mz2nz2mz3nz3 mzj、nmnmnmnmnm)n m-（x1 X2 X3,y1 y2 丫3,乙 Z2 z?）.則x 5, y 6,z5，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5, 6,5）。證明:若 A(X1,y1,zJ、Bgyz）、。化皿么）是一個(gè)FGH的三個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)三角形的重心為 E，則E

5、11-(A B C);33(X1 X2X3,y1 y2 丫3,乙 z? Z3)設(shè)ABC的同比m之分點(diǎn)分別為F、G、H，分點(diǎn)的坐標(biāo)為8試用向量法證明：三角形各邊依次以同比分之，則三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心nmx2mnyj my2 nz mz2n m ' n mnx2 mx3 ny2 my3 nz? mz3、 G( , , )1。若 |a|3,|b|4,(a,b),求 c 3a32b的模.解: |c|2(3a 2b) (3a2b)3a 3a2b3a 3a 2b 2b 2b9|a|212a b24|b|9 3212 342cos4 4733所以|c|73。2已知|ab| |

6、ab|，證明：ab 0.證明：由| ab| |ab|，可得|ab|2 |a b|2 ，可知所以三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心。§8。2數(shù)量積向量積(a b) (a b) (a b) (a b)|a|2|b|2|c|22a b 2b c 2c a0,|a|2 |b|22a b|a|2 |b|22a b，即 4a b而 |a|2|b|2 |c|2 1，所以3。已知| a |10,|b|18,|ab|20，求 |ab|.6.求與i 2j2i3k都垂直的單位向量.解：因?yàn)榻?400 |a b|2 (ab) (ab)|a|2 |b|22a b 1003242a b所以 2a b

7、24，|a b|.(a b) (a b),| a |2 |b |2 2a b100 324 24 8、7.而|c|(7)252( 3)2 83，所以ec7i7,5,5j 3k3)。4已知a(1,2,4), b (3, 3,3)，求a與b的夾角及a在b上的投影解：a b1 3 2 ( 3)4 39，9J7cos& 4 16 v'9 9 97V7arccos . 因 為77.設(shè) AB a 5b, BC 6a 18b,CD 8(a b)，試證 A、B、D 三點(diǎn)共線。證明：只需證明AB II BD .因?yàn)?BD BC CD 2a 10b2(a 5b)2AB，所以 AB II BD。a

8、b |b | Pr jba，所以 Pra：/3。5。已知a , b，c為單位向量，且滿(mǎn)足a b c 0，計(jì)算a b b c c a .解：因?yàn)?a b c) (a b c) 0，所以&已知 a (1, 2,3)，b (2,m,0)，c (9, 3,9)(1) 確定m的值,使得a b與c平行.(2) 確定m的值，使得a b與c垂直。解：(1)要使a b與c平行，只需(a b) c 0 ,因?yàn)閍 b (3, m 2,3),(9m9,0,9 9m),(2)要使a b與c垂直，只需(ai j k(a b) c 3 m 2 3939所以當(dāng)m 1時(shí)a b與c平行。b) c 0，因?yàn)?a b ( 1

9、, m 2,3)，而(a b) c ( 1, m 2,3) (9, 3,9)9 3m 627 3m 24，所以當(dāng)m 8時(shí)，a b與c垂直。§8.3曲面及其方程1。填空題(1)將xOz坐標(biāo)面上的拋物線 z2 4x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面2 2的方程為(z y 4x)，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為(z2 4 - x2y2 )。(2 )以點(diǎn)(2, 3,2)為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為(x 2)2 (y 3)2 (z 2)217).(3)將xOy坐標(biāo)面的圓x2 y2 4繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為(x2 y2 z2 4) o2。求與點(diǎn)A(1,2,1)與點(diǎn)

10、B(1,0,2)之比為1 : 2的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并注明它是什么曲面。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,y,z),由于|PA|:|PB| 1:2 ,所以2 . &1) 2一(y2)2一(z1)2(x1)2一(y0)2一(z2)2，解之，可 得3x2 3y2 3z2 6x 16y 4z 19 0, 即2 8 2 2 2 20(x 1) (y -) (z ),所以所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)3 398 22. 5(1廠，)為心，半徑為的球面。3 333求與點(diǎn)(2,1,3)和點(diǎn)(4,2,4)等距離的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x, y, z)，由題意知 (x2廠(廠1廠(z_3)2.儀4廠(廠 2廠(z_4)2 ,

11、整理得2x y z 110.4o寫(xiě)出下列曲面的名稱(chēng)，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形。(1) 16x2 9y2 9z225.解：該曲面為單葉雙曲面 16x2 9y2 9z225。解：該曲面為雙葉雙曲面。(2)物面 z x2y2(0 z2)在xOy面上的投影為），在xOz面上的投影為（x2z 2）,在yOz面上的投2z251。影為(y22 )。解：該曲面為旋轉(zhuǎn)橢球面。2.求球面x24與平面x z1的交線在xOy面上的投影方(4) x2 y2 9x。程。解：該曲面為雙曲柱面。解：將zx代入x2y2 z24，得(1x)24，因此投（5） y2 z2 9x。解：該曲面為橢圓拋物面（6）4（x 1）2 （y 2）2 （

12、z 3）20.解：該曲面為橢圓錐面。§8.4空間曲線及其方程1.填空題y 2x 1（1）二元一次方程組在平面解析幾何中表示的圖形是（兩相交y 4x 3影方程為z2x02 2x3。分別求母線平行于x軸、y軸及z軸且通過(guò)曲線2x2x2y22y2z2z2柱面方程。2打，x解:在 2x2y22y2z2z2422中消去x得3y2 z204，即為母線平行于直線的交點(diǎn)（2,5）；它在空間解析幾何中表示的圖形是（兩平面的交線，平且通過(guò)曲線的柱面方程。行于z軸且過(guò)點(diǎn)（2,5,0）。c222y z2c2y 2z4中消去y得3x2 5z204，即為母線平行于y軸且通過(guò)曲線的柱面方程2 2 2 在 X 2y

13、 Z x2 y2 2z24中消去z得x2 5y208，即為母線平行于 z軸且以參數(shù)方程為2cos、5( 02si n5求螺旋線y2 cos2si n 在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程。（1）（x2 2 21) y z4yx 1解：將yx 1代入(x1)2 2 2y z4 得 2(x 1)2z24，即(x 1)22z人1。 令x1.2 cos ，z 2si n ，所求的參數(shù)方程(2)24通過(guò)曲線的柱面方程。4。將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程:為解:螺旋線在xOy面上的投影為2cos2si n ，直角坐標(biāo)方程為0x2y2 40螺旋線在yOz面上的投影為F-x 12cosy - 2 cosz

14、 2 si n2si n，直角坐標(biāo)方程為02si3.02 2x yz29(2) ，2 2。x z4x2 cos解：做變換,將其帶入方程z2si nx2 y2 z29，即得 y25.所螺旋線在zOx面上的投影為x 2cos，直角坐標(biāo)方程為6。畫(huà)出下列方程所表示的曲線:z2cos(1)X2 y2 4z216z 1(2)2 2xzy2 2X(y 2)1直線L平行于x軸但不與x軸相交；當(dāng)(旦 -D1 )時(shí),直線L與y軸相交;B2 D2當(dāng)(G C2 D1 D2 0)時(shí)，直線L與z軸重合。2。求過(guò)三點(diǎn)(1, 1,1), (3,1, 3)和(0,1,2)的平面方程。2 z16§8.5平面及其方程1

15、o 填空題(1) 一平面過(guò)點(diǎn)(1,1, 4)且平行于向量a(2,1, 1)和 b(1,0,1),平面的點(diǎn)法式方程為(x 1)3(y1) (z4)平面的般方程為(x 3y z 20),平面的截距式方程(y231),平面的一個(gè)2單位法向量為(一丄丄(1,113,1).(2)設(shè)直線L的方程為A1xA2xBB?yGzC2zD1D2O,當(dāng)(D1 D20)時(shí),直線L過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)(A_!A20 )且(D10或D20有一個(gè)成立)時(shí),XX1yy1zZ1X2X1y2y1Z2Z1X3X1y3yZ3Z1解：由平面的三點(diǎn)式方程知，所求的平面方程為x 1 y 1z 13 1113 10 1112 1x 1 y 1 z 14

16、 =0,即 5x y 3z 70。3求過(guò)點(diǎn)(1, 1,1)且垂直于兩平面x y 2z方程。i解：該平面的法向量為11(x 1) 7(y 1) 3(z 1)0和x 2y 5z 0的平面j k1 2 i 7j 3k，平面的方程為2 50，即 x 7 y 3z 50.4求點(diǎn)(1,2,1)到平面x 2y 2z 100的距離。解：設(shè)所求平面的方程為(3)求平行于x軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,1, 2)和(4,0, 1)的平面方程。解：點(diǎn)P0(x°,y°,Zo)到平面Ax By Cz D 0的距離公式是| ax0 By0 Cz0 D |d070i ,因此點(diǎn)(1,2,1)到平面x 2y 2z 1

17、0 0的、A B2 C2|1 1 2 2 2 1 10| 彳距離為d1。v'12 22 225求平面x 2y z 50與各坐標(biāo)面的夾角的余弦 .解：所給平面的法向量為 n (1, 2,1)，設(shè)該平面與xOy面、yOz面和zOxxyy1 ,由于點(diǎn)(1, 4,5)在平面上，則aaa4 5-1，a 2，所求方程為x y z 20。aa7。分別按下列條件求平面方程:(1)平行于yOz平面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 3, 2)；(2)通過(guò)y軸和點(diǎn)(2, 1,1)；解：(1)yOz平面的法向量是n(1,0,0)，可作為所求平面的法向量，因此所求平面的方程為1 (x 2)0 (y 3)0 (z 2)0,即 x

18、2.COS z|n k|1 0 2 0 1 1|1|n|J2( 2)212.6，cos x|n i |1 1 2 0 1 0|1|n|,12 ( 2)2126 'cos y|n j |1 0 2 1 1 0|2|n|J2( 2)2 126。面的夾角為 z、 x和y,于是6。求過(guò)點(diǎn)(1, 4,5)且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的平面的方程(2)所求平面的法向量即垂直于y軸又垂直于向量n (2,1,1)，所以所求ijk平面的法向量為2110101 (x 2)0 (y1)2 (z1)(3)由于所求平面平行于2k，因此所求平面的方程為0 ,即 x 2z 0.x軸，故設(shè)所求平面方程為By Cz D

19、0。將點(diǎn)(2,1, 2)和(4,0,1)分別代入 By Cz D 0 得 B 2C D 0 及C D 0，解得CD及B D .因此所得方程為Dy Dz D 0 ,§8o 6空間直線及其方程t ,所給直線的參數(shù)方程為1.填空題x y z（1）直線和平面X 2z 4z 4的關(guān)系是（平面與直線互相124垂直）。3。求過(guò)點(diǎn)（2,0,3）且與直線x3x2y 4z 75y 2z 1解:直線的方向向量可作為所求平面的法向量，即x12ty1tz23t垂直的平面方程(x 1y1z）。213x(3)直線1y5z 8x v 6z 8 與直線的夾角為（）1212y z 332化直線xyz2為對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)

20、方程2xyz5（2）過(guò)點(diǎn)（1, 1,0）且與直線 乞蟲(chóng) 止 三二平行的直線的方程是213n n21324( 16,14,11) o52所求平面的方程為16x 14y11z 10 o16(x2) 14(y0) 11(z 3)0，即1 jk解：直線的方向向量為s n1 n21112 114.求直線x 3y z 20與直線x y z 10y z 20夾角的余弦。2z 102i3k .取x01，代入直線方程可得y°1, z0 2 .所以直線的對(duì)稱(chēng)式方程為i解：因?yàn)閮芍本€的方向向量為n111j k31 4i 2j 2k ,1 1ijkn2111 3i 2j k ，設(shè)兩直線的夾角為 ，則0 12

21、(2 3 )x (3 )y (1)z 80,其中為待定常數(shù)，要使該平解：過(guò)P(2,1,5)作垂直于已知直線 L的平面，則其法向量n (1,3, 1)，|4 3 2 22 1 |521面與已知平面 垂直，則有2(23 )(3)(1)0，解得4，將其代入(23 )x (3 )y (1 )z 80，可得36x 5y 7z 32，因此直線L在平面 上的投影直線方程為6x 5y 7z 322x y z 1.于是平面的方程為(x 2)3( y 1)(z 5)0.將已知直線的參數(shù)方程x 1 ty 1 3t代入x 3y z 0，可得tz t，因117。確定的值，使直線L :2x y * 10與平面x z 2

22、0:x y z 1平行,此點(diǎn)P(2,1,5)在直線L上的投影即為平面與直線L的交點(diǎn)匸土)。11'11 112x 3y z 06.求直線L:在平面 :2x y z 1上的投影直線3x y z 8 0的方程。并求直線L與平面之間的距離.ijk解：直線L的方向向量n210101平行，只要ns 0 (其中s (1,1210，解得i 2j k，要使直線L與平面1)為平面 的法向量)，即1 .令X。1，代入直線L的方程可得y。1，z01，直線L與平面之間的距離d|1 1 1 1 1 ( 1) |12 12 ( 1)2(1)已知|a| 1, |b| 2，且a與b夾角為，則| a b | ( . 3)

23、°3(2)若向量 a (1, 2,1) , b ( 3,)平行，則(，)(6, 3)°x y z 108.求通過(guò)直線L: 2x y z 20的兩個(gè)互相垂直的平面，其中一個(gè)平(3)已知向量OM的模為10 ,且與x軸的夾角為一，與y軸的夾角為一，6321 1解:設(shè)平面束方程為x y z 1(2x y z2) 0 ,即(21)x(1)y(1)z210,n (21, 1,1) 設(shè)平行于直線x 1 y 1 z 1的平面為1,由2 1 1(21)2(1)(1)0 ,可知1，令 x°1,代入直線L的面平行于直線 口 丄方程，可得y°Zo0平面1的方程為 (X 1) 2

24、y 0 ,即與z軸的夾角為銳角，貝U OM =( (5 3,5,0).x(4)曲線yza cosa sin (a、b為常數(shù))在 xOy平面上投影曲線是b(5)xOy平面上曲線4x2y216繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程是(4x2 (y2 z2)16 )。x 2y 10 °設(shè)垂直于平面1的平面為2 ,由(2 1)2(1)10 ，可得4平面2的方程為3(x 1)3y5z0，即 6x 3y 5z 60 °244第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)綜合練習(xí)1°填空題:(6)直線的正弦sin(7)方程x x1m字與平面Ax By Cz D 0的夾角mA nB pC(m2n2p2

25、A2 B2 C2x2z2 y所表示的曲面名稱(chēng)為(雙曲拋物面)°x2(8 )與兩直線y2 t及x 2 y 2 z 1都平行，且過(guò)原點(diǎn)的平1 2 1z1 t面方程是(xyz 0)。(9)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x, y,z)到y(tǒng)Oz平面的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)(1,1,2)的距離相由于 |c| x21( 1 x)21 1即c (二)長(zhǎng)度最短3。已知點(diǎn)面積最小.1312(x丿2，因此，當(dāng)x 一2時(shí)，A(1,1,0)和點(diǎn)B(0,1,2)，試在x軸上求一點(diǎn)C，使得 ABC的等,則點(diǎn)P的軌跡方程為(y 1)2 (z 2)2 2x 10)。(10)與兩平面x 2y z 1 0和x 2y z 3 0等距離的平面方程為(

26、x 2y z 10 )。2。設(shè)a i k， b ij k ,求向量c，使得a c b成立,這樣的c有多少個(gè)，求其中長(zhǎng)度最短的c.解：設(shè) c (x, y,z)，貝U« te-rijk+I-fra c 101 yi (z x)j yk,則 y 1,z x 1,因此這樣x y z的c (x,1, 1 x)，有無(wú)窮個(gè)C(x,0,0)AB ( 1,0,2),AC (x 1, 1,0),AB AC2i 2(x 1)j k ,故1 1 |ABC 的面積為 S - | AB AC |. 222(x 1)21，顯然，當(dāng)22x 1時(shí)，ABC的面積最小，為二5，所求點(diǎn)為(1,0,0)。2 2 2x 2y

27、z4。 求曲線“ 2 2z x y解：在xOy平面投影為4在各坐標(biāo)平面上的投影曲線方程2x2 y2z 0；在yOz平面投影為2z2 3y2x 04 ; 在 zOx平面投影為3x Z 4 y 05求原點(diǎn)關(guān)于平面:Ax By Cz D0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。x 1 y z 16求直線L:在平面 :x y 2z 10上的投影直線111繞x軸線轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程 解:過(guò)L作垂直于平面的平面 0,所求的直線L在平面 上的投影就是解：過(guò)原點(diǎn)作垂直于平面 Ax By CzD 0的直線，該直線的方向向和 0的交線平面 0 的法向量量等于平面 的法向量(A, B,C)，所求直線的對(duì)稱(chēng)式方程為，即CAtBt為其參數(shù)方

28、程i為：n011j k21 i 3j 2k,則過(guò)點(diǎn)(1,0,1)的平面 0的方程為:1 2.將此參數(shù)方程代入平面Ct(x 1) 3y 2( z 1)0，即 x 3y 2z 10 o所以投影線為(A2B2C2)t0，解得tAD點(diǎn)為(A2 B2 C2BD(X。，yo,zo)A2B2 C2y00BD2A2 B2 C2Z°02( 2AD(2 2 2 .A2 B2 C2 A2BDB2 CD222，即直線與平面的交A2 B2 C2CD一CD一2 ) o設(shè)所求的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2 B2 C2x°02CDA2 B2 C22CD )2c2, A2 BC7).y3y2z2z將投影線表示為參數(shù)的形式：A

29、DA2 B2 C2，即所求的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為1)x7.求球心在直線一面方程。繞 x 軸的旋丄(Z2 221 21)2，即 5x2 4x方程為16y216z240.解：設(shè)球心為(x,y,z)，則z 1J1上，且過(guò)點(diǎn)(1,2, 1)和點(diǎn)(11, 2,1)的球(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 1)2(y2)2(Z 1)2，即x 2y z 0。x y z 109.在過(guò)直線的所有平面中，求和原點(diǎn)距離最大的平面.2x y z 0解：設(shè)平面束方程為x y z 1(2x y z) 0，即又因?yàn)榍蛐脑谥本€上，直線的參數(shù)方程為代入x 2y z 0,可得11程為(x )62( 1、2(y 3)8.已知兩條解:因?yàn)樗笃矫孢^(guò)2t1 t，球心坐標(biāo)為(96的方程65。6曰Ix 11，將直線的參數(shù)方程1 7亍,訐所求球面方(21)x (1)y (1)z 10，平面與原點(diǎn)的距離為|(2 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 1|/ 2 2 2.(2 1)