正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其方差分析(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三節(jié) 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其方差分析在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，為改革舊工藝，尋求最優(yōu)生產(chǎn)條件等，經(jīng)常要做許多試驗(yàn)，而影響這些試驗(yàn)結(jié)果的因素很多，我們把含有兩個(gè)以上因素的試驗(yàn)稱為多因素試驗(yàn).前兩節(jié)討論的單因素試驗(yàn)和雙因素試驗(yàn)均屬于全面試驗(yàn)（即每一個(gè)因素的各種水平的相互搭配都要進(jìn)行試驗(yàn)），多因素試驗(yàn)由于要考慮的因素較多，當(dāng)每個(gè)因素的水平數(shù)較大時(shí)，若進(jìn)行全面試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)將會更大.因此，對于多因素試驗(yàn)，存在一個(gè)如何安排好試驗(yàn)的問題.正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是研究和處理多因素試驗(yàn)的一種科學(xué)方法，它利用一套現(xiàn)存規(guī)格化的表正交表，來安排試驗(yàn)，通過少量的試驗(yàn)，獲得滿意的試驗(yàn)結(jié)果.1.正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2、的基本方法正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)包含兩個(gè)內(nèi)容：（1）怎樣安排試驗(yàn)方案；（2）如何分析試驗(yàn)結(jié)果.先介紹正交表.正交表是預(yù)先編制好的一種表格.比如表9-17即為正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3個(gè)數(shù)字有3種不同的含義：表9-17列號試驗(yàn)號1 2 312341 1 11 2 22 1 22 2 1 (1) L4（23）表的結(jié)構(gòu)：有4行、3列，表中出現(xiàn)2個(gè)反映水平的數(shù)碼1，2.列數(shù) L4 （23） 行數(shù) 水平數(shù)（2） L4（23）表的用法：做4次試驗(yàn)，最多可安排2水平的因素3個(gè). 最多能安排的因素?cái)?shù) L4 (23) 試驗(yàn)次數(shù) 水平數(shù)(3) L4（23）表的效率：3個(gè)2水平的因素.它的全面試驗(yàn)數(shù)為23

3、=8次，使用正交表只需從8次試驗(yàn)中選出4次來做試驗(yàn)，效率是高的.L4 (23) 實(shí)際試驗(yàn)數(shù) 理論上的試驗(yàn)數(shù)正交表的特點(diǎn)：（1） 表中任一列，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同.如正交表L4(23)中，數(shù)字1，2在每列中均出現(xiàn)2次.（2） 表中任兩列，其橫向形成的有序數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同.如表L4（23）中任意兩列，數(shù)字1，2間的搭配是均衡的.凡滿足上述兩性質(zhì)的表都稱為正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，見附表.用正交表來安排試驗(yàn)的方法，就叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì).一般正交表Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通過實(shí)例來說明如何用正交表來安排試驗(yàn)

4、.例9.7 提高某化工產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率的試驗(yàn).某種化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率可能與反應(yīng)溫度A，反應(yīng)時(shí)間B，某兩種原料之配比C和真空度D有關(guān).為了尋找最優(yōu)的生產(chǎn)條件，因此考慮對A，B，C，D這4個(gè)因素進(jìn)行試驗(yàn).根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，確定各個(gè)因素的3個(gè)不同水平，如表9-18所示.表9-18水平因素1 2 3A:反應(yīng)溫度（）60 70 80B:反應(yīng)時(shí)間（小時(shí)）2.5 3.0 3.5C:原料配比1.11 1.151 1.21D:真空度（毫米汞柱）500 550 600分析各因素對產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率是否產(chǎn)生顯著影響，并指出最好生產(chǎn)條件.解 本題是4因素3水平，選用正交表L9（34）.表9-19列號水平試驗(yàn)號A B C D1 2 3

5、 41234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 1把表頭上各因素相應(yīng)的水平任意給一個(gè)水平號.本例的水平編號就采用表9-18的形式；將各因素的諸水平所表示的實(shí)際狀態(tài)或條件代入正交表中，得到9個(gè)試驗(yàn)方案，如表9-20所示.表9-20列號水平試驗(yàn)號A B C D1 2 3 41234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80)

6、 1 3 23 2 1 33 3 2 1從表9-20看出，第一行是1號試驗(yàn)，其試驗(yàn)條件是：反應(yīng)溫度為60，反應(yīng)時(shí)間為2.5小時(shí)，原料配比為1.11，真空度為500毫米汞柱，記作A1B1C1D1.依此類推，第9號試驗(yàn)條件是A3B3C2D1.由此可見，因素和水平可以任意排，但一經(jīng)排定，試驗(yàn)條件也就完全確定.按正交試驗(yàn)表9-20安排試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果依次記于試驗(yàn)方案右側(cè)，見表9-21.表9-21列號水平試驗(yàn)號A B C D試驗(yàn)結(jié)果（%）1234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(60

7、0)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 13837765150824455862.試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的直觀分析就是要通過計(jì)算，將各因素、水平對試驗(yàn)結(jié)果指標(biāo)的影響大小，通過極差分析，綜合比較，以確定最優(yōu)化試驗(yàn)方案的方法.有時(shí)也稱為極差分析法.例9.7中試驗(yàn)結(jié)果轉(zhuǎn)化率列在表9-21中，在9次試驗(yàn)中，以第9次試驗(yàn)的指標(biāo)86為最高，其生產(chǎn)條件是A3B3C2D1.由于全面搭配試驗(yàn)有81種，現(xiàn)只做了9次.9次試驗(yàn)中最好的結(jié)果是否一定是全面搭配試驗(yàn)中最好的結(jié)果呢？還需進(jìn)一步分析.（1） 極差計(jì)算在代表因素A的表9-21的第1列中，將與

8、水平“1”相對應(yīng)的第1，2，3號3個(gè)試驗(yàn)結(jié)果相加，記作T11，求得T11=151.同樣，將第1列中與水平“2”對應(yīng)的第4，5，6號試驗(yàn)結(jié)果相加，記作T21，求得T21=183.一般地，定義Tij為表9-21的第j列中，與水平i對應(yīng)的各次試驗(yàn)結(jié)果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).記T為9次試驗(yàn)結(jié)果的總和，Rj為第j列的3個(gè)Tij中最大值與最小值之差，稱為極差.顯然T=，j=1,2,3,4.此處T11大致反映了A1對試驗(yàn)結(jié)果的影響，T21大致反映了A2對試驗(yàn)結(jié)果的影響，T31大致反映了A3對試驗(yàn)結(jié)果的影響，T12，T22和T32分別反映了B1，B2，B3對試驗(yàn)結(jié)果的影響，T13，T23

9、和T33分別反映了C1，C2，C3對試驗(yàn)結(jié)果的影響，T14，T24和T34分別反映了D1，D2，D3對試驗(yàn)結(jié)果的影響.Rj反映了第j列因素的水平改變對試驗(yàn)結(jié)果的影響大小，Rj越大反映第j列因素影響越大.上述結(jié)果列表9-22.表9-22T1j T2j T3j151 133 175 174183 142 174 163185 244 170 182T=519Rj34 111 5 19 (2) 極差分析(Analysis of range)由極差大小順序排出因素的主次順序：主次B；A、D；C這里，Rj值相近的兩因素間用“、”號隔開，而Rj值相差較大的兩因素間用“；”號隔開.由此看出，特別要求在生產(chǎn)過

10、程中控制好因素B，即反應(yīng)時(shí)間.其次是要考慮因素A和D，即要控制好反應(yīng)溫度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.選擇較好的因素水平搭配與所要求的指標(biāo)有關(guān).若要求指標(biāo)越大越好，則應(yīng)選取指標(biāo)大的水平.反之，若希望指標(biāo)越小越好，應(yīng)選取指標(biāo)小的水平.例9.7中，希望轉(zhuǎn)化率越高越好，所以應(yīng)在第1列選最大的T31=185；即取水平A3，同理可選B3C1D3.故例9.7中較好的因素水平搭配是A3B3C1D3.例9.8 某試驗(yàn)被考察的因素有5個(gè)：A，B，C，D，E.每個(gè)因素有兩個(gè)水平.選用正交表L8(27)，現(xiàn)分別把A，B，C，D，E安排在表L8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，

11、按方案試驗(yàn).記下試驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行極差計(jì)算，得表9-23.表9-23列號水平試驗(yàn)號A B C D E1 2 3 4 5 6 7試驗(yàn)結(jié)果123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2141317178101115T1jT2j61 45 53 50 56 54 5244 60 52 55 49 51 53T=105Rj17 15 1 5 7 3 1試驗(yàn)?zāi)康囊页鲈囼?yàn)結(jié)果最小的工藝條件及因素影響的主次順序.從表9-23的極差Rj

12、的大小順序排出因素的主次順序?yàn)橹?次A、B；D；C、E最優(yōu)工藝條件為A2B1C1D2E1.表9-23中因沒有安排因素而空出了第3，6列.從理論上說，這兩列的極差Rj應(yīng)為0，但因存有隨機(jī)誤差，這兩個(gè)空列的極差值實(shí)際上是相當(dāng)小的.3.方差分析正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的極差分析簡便易行，計(jì)算量小，也較直觀，但極差分析精度較差，判斷因素的作用時(shí)缺乏一個(gè)定量的標(biāo)準(zhǔn).這些問題要用方差分析解決.設(shè)有一試驗(yàn)，使用正交表Lp(nm),試驗(yàn)的p個(gè)結(jié)果為y1,y2,yp,記T=, =，ST=為試驗(yàn)的p個(gè)結(jié)果的總變差；Sj=為第j列上安排因素的變差平方和，其中r=p/n.可證明ST=即總變差為各列變差平方和之和，且ST的自由度為

13、p-1，Sj的自由度為n-1.當(dāng)正交表的所有列沒被排滿因素時(shí)，即有空列時(shí)，所有空列的Sj之和就是誤差的變差平方和Se，這時(shí)Se的自由度fe也為這些空列自由度之和.當(dāng)正交表的所有列都排有因素時(shí)，即無空列時(shí)，取Sj中的最小值作為誤差的變差平方和Se.從以上分析知，在使用正交表Lp(nm)的正交試驗(yàn)方差分析中，對正交表所安排的因素選用的統(tǒng)計(jì)量為：F=.當(dāng)因素作用不顯著時(shí)，F(xiàn)F(n-1,fe),其中第j列安排的是被檢因素.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，先求出各列的Sj/(n-1)及Se/fe,若某個(gè)Sj/(n-1)比Se/fe還小時(shí)，則這第j列就可當(dāng)作誤差列并入Se中去，這樣使誤差Se的自由度增大，在作F檢驗(yàn)時(shí)會更靈

14、敏，將所有可當(dāng)作誤差列的Sj全并入Se后得新的誤差變差平方和，記為Se,其相應(yīng)的自由度為fe,這時(shí)選用統(tǒng)計(jì)量F= F(n-1,fe).例9.9 對例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的極差值Rj，利用公式Sj=,得表9-24.表9-24A B C D E1 2 3 4 5 6 7Rj17 15 1 5 7 3 1Sj36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125ST=74.875表9-24中第3，6列為空列，因此Se=S3+S6=1.250,其中fe=1+1=2,所以Se/fe=0.625,而第7列的S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125比Se/fe小，故將它并入誤差.Se=Se+S7=1.375,fe=3.整理成方差分析表9-25.表9-25方差來源SjfjF=顯著性A36.125136.12578.818B28.125128.12561.364C3.12513.1256.818D6.12516.12513.364E0.12510.125e1.125020.625e1.37530.458由于F0.05(1,3)=10.13