第二章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理

1、2.12.1誤差誤差2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差的定義測(cè)量誤差的定義2.1.22.1.2誤差的表示方法誤差的表示方法2.22.2測(cè)量誤差的來源測(cè)量誤差的來源2.3 2.3 誤差的分類誤差的分類2.42.4隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析2.52.5系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析2.62.6系統(tǒng)誤差合成系統(tǒng)誤差合成2.7 2.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的處理測(cè)量數(shù)據(jù)的處理玉林師院物信系玉林師院物信系第二章第二章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理1、真值（A0）: 在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測(cè)量本身所具有的真實(shí)數(shù)值。（實(shí)際中不可知）2、實(shí)際值（A）：根據(jù)測(cè)量誤差的要求，用高一級(jí)或數(shù)級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)儀器或計(jì)量器具

2、測(cè)量所得之值。（實(shí)際應(yīng)用中可代替真值） 例：微安電流表相比毫安電流表就是高一級(jí)測(cè)量?jī)x器。3、示值（x）：被測(cè)量的量值。 讀數(shù)：從儀器刻度盤、顯示器等讀數(shù)裝置上直接讀來的數(shù)字。 例：用一電流表測(cè)量某電流值，量程選擇10mA檔?？潭缺P指示如下圖所示： 其讀數(shù)為：8； 示值為：8mA2.1 2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差的定義測(cè)量誤差的定義0108第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4、標(biāo)稱值：測(cè)量器皿上標(biāo)示的數(shù)值。 例：電阻器的色環(huán)標(biāo)示其阻值；5、測(cè)量誤差：測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值之間的差異在測(cè)量工作中，由于測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器、測(cè)量

3、條件和人為的疏忽或錯(cuò)誤等原因，都會(huì)引起測(cè)量誤差。當(dāng)測(cè)量誤差超過一定限度，測(cè)量結(jié)果不但變得毫無意義，甚至?xí)o工作帶來危害。研究誤差的目的，就是要了解產(chǎn)生誤差的原因及其發(fā)生規(guī)律，在一定的測(cè)量條件下減小誤差，使測(cè)量結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠。第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 1絕對(duì)誤差 1）定義： 由測(cè)量所得到的被測(cè)量值x與其真值A(chǔ)0之差，稱為絕對(duì)誤差，即 特點(diǎn)：絕對(duì)誤差既有大小，又有符號(hào)和量綱。式中的真值A(chǔ)0是一個(gè)理想概念，無法得到，實(shí)際應(yīng)用中通常用實(shí)際值A(chǔ)來代替真值A(chǔ)0。實(shí)際值也稱為約定真值。0AxxAxx第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2.1.22.1.

4、2誤差的表示方法誤差的表示方法2）修正值與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值，稱為修正值，用C表示為 C = Ax= x 測(cè)量?jī)x器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。在日常測(cè)量中，利用其儀器的修正值C和該已檢儀器的示值，可求得被測(cè)量的實(shí)際值 A= xC 。 例：某臺(tái)電流表的修正值由以下表格給出，求示值分別為0.4mA和0.8mA時(shí)的實(shí)際值各為多少？0.02-0.04C/mA00.40.8解：A1=X1+C1=0.4+0.02=0.42mA; A2=X2+C2=0.8-0.04=0.76mA第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)

5、果處理 2 2、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差 意義：相對(duì)誤差可以更準(zhǔn)確地說明測(cè)量的準(zhǔn)確度。 例：測(cè)量?jī)蓚€(gè)頻率值：f 1=1000Hz，f 2=100000Hz,得絕對(duì)誤差分別為 f 1 =1Hz， f 2=10Hz，問那次測(cè)量的準(zhǔn)確度更高？ 解：比較絕對(duì)誤差可得： f 1 f 2，第一次測(cè)量誤差較??；但：%01. 0%10010000010%100%1 . 0%10010001%1002211ffff可見：第二次的誤差與實(shí)際值相比所占比例比第一次的小， 第二次的測(cè)量準(zhǔn)確度高些。第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 分類：分類：1)相對(duì)真誤差（或稱相對(duì)誤差）相對(duì)誤差）: 絕對(duì)誤差與被測(cè)

6、量的真值之比，稱為相對(duì)誤差，用表示 。 特點(diǎn)：只有大小和符號(hào)，沒有單位。 2)實(shí)際相對(duì)誤差 真值是不能確切得到的，通常用實(shí)際值A(chǔ)代替真值來表示相對(duì)誤差 %10000AxA%100AxA第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3)示值相對(duì)誤差 誤差較小、要求不太嚴(yán)格的場(chǎng)合，也可以用測(cè)量值x代替實(shí)際值A(chǔ)4）滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差） 實(shí)際中，也常用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差xm與該量程的滿刻度值（該量程的上限值與下限值之差）Xm之比來表示的相對(duì)誤差 。 由上式可知，通過滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值。%100 xxx%100mmxx第二章第二章

7、測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 電工儀表就是按引用誤差mm之值進(jìn)行分級(jí)的。我國(guó)電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%。 因此，在使用這類儀表測(cè)量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。 最大引用相對(duì)誤差%100maxmmmxx第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 5）分貝誤差(相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表達(dá)形式) 實(shí)質(zhì)上是相對(duì)誤差的另一種表示形式，即是用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝（dB）。)1lg(20)1lg(20)1lg

8、(20lg20)1lg(20lg20)1 (lg20)lg(20 xAdBAdBdBdBdBAAxAAxAxAxAx第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【例例1.1】測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓，分別得到它們的測(cè)量值 為U1x=103V，U2x=12V，實(shí)際值為U1=100V， U2=10V ，求兩次測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。 解：兩次測(cè)量的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差分別為 U1=U1x - U1 =103100 =3V U2=U2x U2 =1210 =2V A1 =3/100=3% A2 =2/10=20% 玉林師院物信系玉林師院物信系第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理

9、 【例例1.21.2】已知某被測(cè)電壓為8V，用1.5級(jí)10V量程的電壓表測(cè)量，若只做一次測(cè)量就把該測(cè)量值作為測(cè)量結(jié)果，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為多少？ 解：1.5級(jí)的儀表的引用相對(duì)誤差不超過1.5%。該儀表可能出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差 xmax =1.5%10=0.15V有： x xmax xms x =x/x ( xms )/x%5.1%100mmxx玉林師院物信系玉林師院物信系第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【例例1.31.3】鑒定一個(gè)1.5及100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA,其它刻度處的誤差均小于1.4mA,問這個(gè)電流表是否合格？ 解：%)5

10、 . 1%(4 . 1%1001004 . 1%100mmmmxx所以：該電流表合格。第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【例例1.41.4】某待測(cè)電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為400mA和1.5級(jí)量程為100mA的兩個(gè)電流表，問用哪一個(gè)電流表測(cè)量較好？ 解：用400mA、 0.5級(jí)電流表，可求得測(cè)量的最大誤差和相對(duì)誤差為:mAmAmx2400005 . 010020010010021用100mA、1.5級(jí)電流表，可求得測(cè)量的最大誤差和相對(duì)誤差為:mAmAm5 . 1100005 . 12005 .1001001005 .12可見應(yīng)選1.5級(jí)100 mA電流表。第

11、二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例題1.4某晶體管單管放大器的電壓增益的真值A(chǔ)O = 80倍（或?qū)嶋H值），現(xiàn)測(cè)量得到的電壓增益 x = 75 倍，求測(cè)量的相對(duì)誤差和分貝誤差是多少？解：由式（1-1）或（1-2）增益的絕對(duì)誤差為 xx- A 75 80 5由（1.3.6）式可以得到實(shí)際相對(duì)誤差為 25. 6%100805%100Xxx由式（115）可以得到分貝誤差為dB 20 lg (1+ X) = 20 lg(1-0.0625) =-0.561 （dB）第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 1、儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善

12、，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。 2、影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等）與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差。 3、理論誤差和方法誤差：由于測(cè)量原理、近似公式、測(cè)量方法不合理而造成的誤差。 4、人身誤差：由于測(cè)量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測(cè)量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。2.22.2測(cè)量誤差的來源測(cè)量誤差的來源2.3 2.3 測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差的分類根據(jù)性質(zhì)和特點(diǎn)性質(zhì)和特點(diǎn)，測(cè)量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、疏失誤差三類。 一、系統(tǒng)誤差（一、系統(tǒng)誤差（也稱為

13、確定性誤差）定義定義 在在相同的條件相同的條件下，多次測(cè)量同一量下，多次測(cè)量同一量時(shí)，時(shí)，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差測(cè)量誤差的分量稱為系統(tǒng)誤差。的分量稱為系統(tǒng)誤差。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因 測(cè)量裝置設(shè)計(jì)原理及制作上的缺測(cè)量裝置設(shè)計(jì)原理及制作上的缺陷；陷；玉林師院物信系玉林師院物信系 測(cè)量時(shí)環(huán)境條件與計(jì)量器具使用條測(cè)量時(shí)環(huán)境條件與計(jì)量器具使用條件不一致；件不一致； 采用近似測(cè)量方法或計(jì)算式；采用近似測(cè)量方法或計(jì)算式； 測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏向某一測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏向某一方向。方向。系差的系差的特點(diǎn)特點(diǎn) 產(chǎn)生在測(cè)量之前，有確定性；產(chǎn)生在測(cè)量之前，有確定性； 多

14、次測(cè)量也不能減小，不具有抵償性。多次測(cè)量也不能減小，不具有抵償性。系差的分類系差的分類 按照系差的變化規(guī)律，可分為按照系差的變化規(guī)律，可分為恒值系恒值系差差和和變值系差變值系差。恒值系差恒值系差 在多次測(cè)量過程中，在多次測(cè)量過程中，誤差的大小、方誤差的大小、方向和符號(hào)始終保持不變的誤差向和符號(hào)始終保持不變的誤差。如儀。如儀表沒有校零時(shí)帶來的零位誤差。表沒有校零時(shí)帶來的零位誤差。變值系差變值系差 多次測(cè)量過程中，多次測(cè)量過程中，誤差的大小和符號(hào)誤差的大小和符號(hào)按某一確定規(guī)律變化的誤差按某一確定規(guī)律變化的誤差。 按具體變化規(guī)律的不同，變值系差又按具體變化規(guī)律的不同，變值系差又可分為可分為 累進(jìn)性系

15、差累進(jìn)性系差、周期性系差周期性系差和和復(fù)雜系差復(fù)雜系差。測(cè)量過程中按一測(cè)量過程中按一定速率遞增或遞定速率遞增或遞減的誤差，常與減的誤差，常與時(shí)間成線性關(guān)系。時(shí)間成線性關(guān)系。在測(cè)量過程中呈在測(cè)量過程中呈周期性變化的誤周期性變化的誤差。差。在測(cè)量過程中按在測(cè)量過程中按復(fù)雜規(guī)律變化的復(fù)雜規(guī)律變化的誤差，只能用實(shí)誤差，只能用實(shí)驗(yàn)曲線或經(jīng)驗(yàn)公驗(yàn)曲線或經(jīng)驗(yàn)公式給出。式給出。系差的判斷系差的判斷(P39)(P39)理論分析法理論分析法：對(duì)于測(cè)量原理或方法帶：對(duì)于測(cè)量原理或方法帶來的系統(tǒng)誤差，可對(duì)測(cè)量方法定量分來的系統(tǒng)誤差，可對(duì)測(cè)量方法定量分析發(fā)現(xiàn)系差，并計(jì)算出大小；析發(fā)現(xiàn)系差，并計(jì)算出大?。粰z定和比對(duì)法檢定

16、和比對(duì)法：使用準(zhǔn)確度更高的計(jì)：使用準(zhǔn)確度更高的計(jì)量器具進(jìn)行重復(fù)測(cè)量；或在儀表的檢量器具進(jìn)行重復(fù)測(cè)量；或在儀表的檢定證書中給出修正值；定證書中給出修正值；改變測(cè)量條件改變測(cè)量條件：當(dāng)系差與測(cè)量條件相：當(dāng)系差與測(cè)量條件相關(guān)時(shí)，可改變測(cè)量條件，分組測(cè)量數(shù)關(guān)時(shí)，可改變測(cè)量條件，分組測(cè)量數(shù)據(jù)；據(jù)；殘差觀察法殘差觀察法： 什么是殘差什么是殘差？測(cè)量列中任一個(gè)測(cè)得值測(cè)量列中任一個(gè)測(cè)得值X X與該測(cè)量列的算術(shù)平均值之差。與該測(cè)量列的算術(shù)平均值之差。 即即XXVii 進(jìn)行進(jìn)行n n次測(cè)量，就分別對(duì)應(yīng)著次測(cè)量，就分別對(duì)應(yīng)著n n個(gè)殘差。個(gè)殘差。 將測(cè)量數(shù)列中所有的殘差一一排列起來將測(cè)量數(shù)列中所有的殘差一一排列起來

17、，通常制成曲線，如下圖所示。，通常制成曲線，如下圖所示。用此方法，可以很直觀地用此方法，可以很直觀地發(fā)現(xiàn)系差的變化規(guī)律。發(fā)現(xiàn)系差的變化規(guī)律。a：恒值系差；：恒值系差；b：累進(jìn)性系差：累進(jìn)性系差(遞增或遞減遞增或遞減)；c：周期性系差；：周期性系差；d：復(fù)雜系差：復(fù)雜系差公式法公式法：馬利科夫判據(jù)馬利科夫判據(jù)：判斷是否存在累進(jìn)性系差：判斷是否存在累進(jìn)性系差，則存在累進(jìn)性系差。；，則不存在累進(jìn)性系差若為奇數(shù)，為偶數(shù)，max2/ )3(2/ )1(112/2/1V 0 inniiniinniiniiVVnVVn 阿卑赫梅特判據(jù)阿卑赫梅特判據(jù)：判斷是否存在周期：判斷是否存在周期性系差，也可判斷累進(jìn)性系

18、差。性系差，也可判斷累進(jìn)性系差。為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)方差。式中，則存在周期性系差。，若)()(122111xxnVVniii削弱或消除系差的典型測(cè)量技術(shù)削弱或消除系差的典型測(cè)量技術(shù)零示法：消除指示儀表讀數(shù)不準(zhǔn)所造成的誤差零示法：消除指示儀表讀數(shù)不準(zhǔn)所造成的誤差。 此時(shí)此時(shí)U Ux x=U=U2 2=R=R2 2E/RE/R1 1R R2 2 故檢零計(jì)的讀數(shù)準(zhǔn)確故檢零計(jì)的讀數(shù)準(zhǔn)確與測(cè)量誤差無關(guān)，只與與測(cè)量誤差無關(guān)，只與標(biāo)準(zhǔn)量的誤差有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)量的誤差有關(guān)。E為標(biāo)準(zhǔn)電池為標(biāo)準(zhǔn)電池G為檢零計(jì)為檢零計(jì),調(diào)節(jié)分壓比，使調(diào)節(jié)分壓比，使G指示為指示為 0替代法替代法( (置換法置換法) ) 第一次測(cè)量接入第一次測(cè)量接入

19、RxRx，調(diào)，調(diào) 節(jié)節(jié)R1R1和和R2R2，當(dāng)檢零計(jì)流，當(dāng)檢零計(jì)流過的電流為零時(shí)，電橋過的電流為零時(shí)，電橋第一次平衡，則第一次平衡，則231RRRRx 第二次測(cè)量時(shí)用第二次測(cè)量時(shí)用RsRs來代替來代替RxRx，并保持，并保持R1R1和和R2R2的阻值不變，調(diào)節(jié)的阻值不變，調(diào)節(jié)RsRs使電橋再一次達(dá)到使電橋再一次達(dá)到平衡，則此時(shí)平衡，則此時(shí) 可知，此時(shí)被測(cè)電阻的可知，此時(shí)被測(cè)電阻的測(cè)量誤差主要取決測(cè)量誤差主要取決于標(biāo)準(zhǔn)量于標(biāo)準(zhǔn)量RsRs的準(zhǔn)確度和檢零計(jì)的靈敏度，的準(zhǔn)確度和檢零計(jì)的靈敏度，而與普通電阻的誤差無關(guān)。而與普通電阻的誤差無關(guān)。xsRRRRR231交換法交換法( (對(duì)照法對(duì)照法) ) 該方

20、法該方法利用交換被測(cè)量在測(cè)量系統(tǒng)中的位置利用交換被測(cè)量在測(cè)量系統(tǒng)中的位置或測(cè)量方向等方法，使誤差對(duì)被測(cè)量的作用或測(cè)量方向等方法，使誤差對(duì)被測(cè)量的作用相反。相反。對(duì)兩次測(cè)量值進(jìn)行計(jì)算，可大大減小對(duì)兩次測(cè)量值進(jìn)行計(jì)算，可大大減小系統(tǒng)誤差的影響。系統(tǒng)誤差的影響。第一次測(cè)量接線如下圖所示，則調(diào)節(jié)第一次測(cè)量接線如下圖所示，則調(diào)節(jié)RsRs至至R Rs1s1 時(shí)，電橋達(dá)到平衡，時(shí)，電橋達(dá)到平衡， 此時(shí)此時(shí) ； 第二次測(cè)量時(shí)第二次測(cè)量時(shí)交換交換 RsRs和和RxRx的位置的位置， 則調(diào)節(jié)則調(diào)節(jié)RsRs至至R Rs2s2時(shí)，時(shí)， 電橋達(dá)到平衡，則電橋達(dá)到平衡，則112RRRRsx21221ssxsxRRRRRR

21、R則可得乘，對(duì)照上式，將兩式相二、隨機(jī)誤差二、隨機(jī)誤差（又稱為偶然誤差）定義定義 在在相同的條件相同的條件下，多次測(cè)量同一量時(shí)，下，多次測(cè)量同一量時(shí)，以不可預(yù)以不可預(yù)知的方式變化的測(cè)量誤差知的方式變化的測(cè)量誤差的分量稱為隨機(jī)誤差。的分量稱為隨機(jī)誤差。 產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因 對(duì)測(cè)量值影響較微小，又互不相關(guān)的多種因素共對(duì)測(cè)量值影響較微小，又互不相關(guān)的多種因素共同造成的。同造成的。 如環(huán)境條件中溫度的微小變化、地基微振、如環(huán)境條件中溫度的微小變化、地基微振、測(cè)量人員感官的微小變化等。測(cè)量人員感官的微小變化等。 只要測(cè)量裝置的靈敏度足夠高，就會(huì)發(fā)現(xiàn)測(cè)只要測(cè)量裝置的靈敏度足夠高，就會(huì)發(fā)現(xiàn)測(cè)量值之間有微小的差

22、別。量值之間有微小的差別。特點(diǎn)特點(diǎn)在在單次測(cè)量單次測(cè)量過程中，過程中，隨機(jī)誤差的大小和方向隨機(jī)誤差的大小和方向沒有任何規(guī)律可言，帶有偶然性沒有任何規(guī)律可言，帶有偶然性；而在而在測(cè)量次數(shù)足夠多測(cè)量次數(shù)足夠多的測(cè)量中，隨機(jī)誤差具有的測(cè)量中，隨機(jī)誤差具有對(duì)稱性對(duì)稱性、有界性有界性、抵償性抵償性和和單峰性單峰性四個(gè)特點(diǎn)。四個(gè)特點(diǎn)。 有限次測(cè)量中，有限次測(cè)量中，絕對(duì)值相等的正、絕對(duì)值相等的正、負(fù)隨機(jī)誤差出現(xiàn)負(fù)隨機(jī)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；的次數(shù)大致相等；有限次測(cè)量中，隨有限次測(cè)量中，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過某一界限；會(huì)超過某一界限；隨機(jī)誤差的算術(shù)隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著平均值隨著n的的增加

23、而趨于增加而趨于0；絕對(duì)值小的隨機(jī)絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差比絕對(duì)值大誤差比絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差的隨機(jī)誤差出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)多得多。的次數(shù)多得多。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性（1）、數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：niixnx11定義n個(gè)測(cè)得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為:(2.4-1)式中x也稱作樣本平均值。 當(dāng)測(cè)量次數(shù) 時(shí)，樣本平均值的極限定義為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望n)1(lim1niinxxnE(2.4-2) 1iipixE(X)xxnxEnAEnAExnEnAxnAnxnAxnnniixxninxniinxniininiiniinii:1A0, 0)1(lim)1(lim,111)(1111

24、111111于是得到最可依賴值，足夠大時(shí)，近似認(rèn)為結(jié)論：即：數(shù)學(xué)期望時(shí)（隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值（假定只含隨機(jī)誤差）：隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值（假定只含隨機(jī)誤差）：第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (2）、剩余誤差（殘差,往往用來代替隨機(jī)誤差）001,)(1111足夠大時(shí)，殘差和為表明：當(dāng)求和區(qū)別于nxnnxxnxvExAxxxvniiniiniiniixiiiii （3）、方差與標(biāo)準(zhǔn)差（n無限大時(shí)，測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值）方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。高越小，表示精密度越開方取正值即：niinniinnixinnnExn12121221lim1l

25、im)(1lim第二章第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差用來衡量測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度用來衡量測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度。 越小，則表示測(cè)量數(shù)據(jù)越集中，隨機(jī)誤差越小，則表示測(cè)量數(shù)據(jù)越集中，隨機(jī)誤差越小，越小，它的大小由測(cè)量裝置、測(cè)量方法、環(huán)它的大小由測(cè)量裝置、測(cè)量方法、環(huán)境和人員等因素共同決定。境和人員等因素共同決定。 對(duì)于確定的測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)于確定的測(cè)量系統(tǒng)，是常數(shù)。是常數(shù)。相等的測(cè)量稱為等精相等的測(cè)量稱為等精( (密密) )度測(cè)量，度測(cè)量， 不等的不等的測(cè)量稱為不等精測(cè)量稱為不等精( (密密) )度測(cè)量。度測(cè)量。的計(jì)算：貝塞爾公式的計(jì)算：貝塞爾公式 進(jìn)行進(jìn)行n n次測(cè)量

26、，次測(cè)量， 的估計(jì)值可用下式計(jì)算：的估計(jì)值可用下式計(jì)算： )2()(11 112112nxxnVnxniinii可知，測(cè)量次數(shù)至少應(yīng)在可知，測(cè)量次數(shù)至少應(yīng)在2 2次以上。次以上。要想減小測(cè)量中的隨機(jī)誤差，可采用多次測(cè)量要想減小測(cè)量中的隨機(jī)誤差，可采用多次測(cè)量取平均值的作法。取平均值的作法。 用來描述大量平均值的離散程度用來描述大量平均值的離散程度，它與測(cè)，它與測(cè)量值量值(x)(x)的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系為：的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系為：)(xnxx)()(n(x)x(值則平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)差的估計(jì)值，利用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)由上式可知，當(dāng)由上式可知，當(dāng)測(cè)量次數(shù)逐漸增加至無窮大時(shí)測(cè)量次數(shù)逐漸增加至無窮大時(shí)，平均

27、值的標(biāo)準(zhǔn)偏差就越小，平均值的離散程，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差就越小，平均值的離散程度就越小度就越小，用，用 表示測(cè)量的結(jié)果更精密。表示測(cè)量的結(jié)果更精密。隨機(jī)誤差的分布隨機(jī)誤差的分布概率論中的中心極限定律表明：若隨機(jī)變量可概率論中的中心極限定律表明：若隨機(jī)變量可以表示成為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其以表示成為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布( (又稱為又稱為高斯分布高斯分布) )。實(shí)際測(cè)量中發(fā)現(xiàn)，在隨機(jī)誤差的影響下，測(cè)量實(shí)際測(cè)量中發(fā)現(xiàn)，在隨機(jī)誤差的影響下，測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)

28、誤差大多數(shù)都接近于數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多數(shù)都接近于正態(tài)分布。正態(tài)分布。x此時(shí)，隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)可寫為此時(shí)，隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)可寫為 ()()是隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，是隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差， 分布曲線如左圖。分布曲線如左圖。 對(duì)照此圖，聯(lián)系隨機(jī)對(duì)照此圖，聯(lián)系隨機(jī)誤差的四個(gè)特點(diǎn)。誤差的四個(gè)特點(diǎn)。)(2exp)(21)(22正態(tài)分布的置信概率與置信區(qū)間正態(tài)分布的置信概率與置信區(qū)間置信概率又稱為置信度，它用來描述測(cè)量中置信概率又稱為置信度，它用來描述測(cè)量中隨機(jī)誤差在某一范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性的大小隨機(jī)誤差在某一范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性的大小，也就是出現(xiàn)的概率的大小。，也就是出現(xiàn)的概率的大小。這個(gè)范圍就稱為置信區(qū)間

29、，通常用這個(gè)范圍就稱為置信區(qū)間，通常用的若干的若干倍來表示，如倍來表示，如-k-k，kk，其中，其中k k稱為置稱為置信因數(shù)信因數(shù)。從隨機(jī)誤差的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可知，從隨機(jī)誤差的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可知，隨隨機(jī)誤差出現(xiàn)在某個(gè)區(qū)間的可能性實(shí)際上是對(duì)概機(jī)誤差出現(xiàn)在某個(gè)區(qū)間的可能性實(shí)際上是對(duì)概率密度函數(shù)在該區(qū)間的定積分率密度函數(shù)在該區(qū)間的定積分，即：，即：。該積分可通過查表得到數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函，整理后，令，)( )(Z )( ZdZZkPdkPkkPkkkk下表為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間下表為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間-k-k，k k內(nèi)的內(nèi)的積分。根據(jù)置信因數(shù)積分。根據(jù)置信因數(shù)k k的

30、大小可查表求得相應(yīng)的的大小可查表求得相應(yīng)的置信概率。置信概率。三、疏失誤差三、疏失誤差（又稱粗大誤差或粗差）定義定義 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，簡(jiǎn)稱為粗差。差，簡(jiǎn)稱為粗差。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因 包括包括測(cè)量人員的主觀因素測(cè)量人員的主觀因素和和外界條件的客觀外界條件的客觀因素兩方面。因素兩方面。測(cè)量時(shí)疏忽，如讀數(shù)錯(cuò)、測(cè)量時(shí)疏忽，如讀數(shù)錯(cuò)、記錄錯(cuò)、操作失誤等；記錄錯(cuò)、操作失誤等；測(cè)量條件發(fā)生突變，如溫度測(cè)量條件發(fā)生突變，如溫度突然劇烈變化、電源電壓突突然劇烈變化、電源電壓突變等。變等。粗差的判斷準(zhǔn)則粗差的判斷準(zhǔn)則萊特準(zhǔn)則萊特準(zhǔn)則進(jìn)行有限次進(jìn)行有限次

31、(n(n次次) )測(cè)量，測(cè)量值測(cè)量，測(cè)量值x x1 1、x x2 2、x xn n，可求得測(cè)量值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，可求得測(cè)量值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差(x),(x), 若殘差若殘差V Vk k滿足滿足 則其對(duì)應(yīng)測(cè)量值則其對(duì)應(yīng)測(cè)量值x xk k為壞值，應(yīng)予以剔除。為壞值，應(yīng)予以剔除。)(3xxxVkk！注意！注意：萊特準(zhǔn)則作為最簡(jiǎn)便的判斷準(zhǔn)則，有萊特準(zhǔn)則作為最簡(jiǎn)便的判斷準(zhǔn)則，有它的局限性：它只適用于正態(tài)分布且測(cè)量次數(shù)它的局限性：它只適用于正態(tài)分布且測(cè)量次數(shù)較大的情況，一般當(dāng)較大的情況，一般當(dāng)n10n10，萊特準(zhǔn)則失效。，萊特準(zhǔn)則失效。格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則若若 ，其對(duì)應(yīng)測(cè)，其對(duì)應(yīng)測(cè)量值量值x xk

32、 k為壞值，應(yīng)予以剔除。為壞值，應(yīng)予以剔除。G G稱為格拉布斯稱為格拉布斯系數(shù)，它與測(cè)量次數(shù)系數(shù)，它與測(cè)量次數(shù)n n和置信概率有關(guān)。和置信概率有關(guān)。)(xGxxVkk和萊特準(zhǔn)則相比，格拉布斯準(zhǔn)則更為科學(xué)和嚴(yán)密，和萊特準(zhǔn)則相比，格拉布斯準(zhǔn)則更為科學(xué)和嚴(yán)密，當(dāng)用這兩個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行壞值判斷，結(jié)論互相矛盾時(shí)，當(dāng)用這兩個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行壞值判斷，結(jié)論互相矛盾時(shí)，應(yīng)應(yīng)以格拉布斯準(zhǔn)則為準(zhǔn)以格拉布斯準(zhǔn)則為準(zhǔn)。利用判斷準(zhǔn)則刪除壞值后，要將剩下的數(shù)據(jù)重利用判斷準(zhǔn)則刪除壞值后，要將剩下的數(shù)據(jù)重新計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，再判斷有無壞值新計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，再判斷有無壞值，直到?jīng)]有壞值為止。，直到?jīng)]有壞值為止。一般來說，當(dāng)一般來說

33、，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)中出現(xiàn)三個(gè)或三個(gè)以上測(cè)量數(shù)據(jù)中出現(xiàn)三個(gè)或三個(gè)以上的壞值的壞值時(shí)，整個(gè)測(cè)量是在不正常的情況下得時(shí)，整個(gè)測(cè)量是在不正常的情況下得到的，應(yīng)到的，應(yīng)全部拋棄，再重新進(jìn)行測(cè)量全部拋棄，再重新進(jìn)行測(cè)量。四、三類誤差的關(guān)系四、三類誤差的關(guān)系 這三類誤差的分類并不是絕對(duì)的，它們?cè)谝贿@三類誤差的分類并不是絕對(duì)的，它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以定的條件下可以相互轉(zhuǎn)換相互轉(zhuǎn)換。 較大的隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差可以按較大的隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差可以按粗差粗差來處來處理。理。 系統(tǒng)誤差也可以轉(zhuǎn)換成隨機(jī)誤差。如，系統(tǒng)誤差也可以轉(zhuǎn)換成隨機(jī)誤差。如，變值變值系差系差可以按處理可以按處理隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差的方法來處理。的方法來處理。

34、隨機(jī)誤差也可以轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)誤差。如，某標(biāo)隨機(jī)誤差也可以轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)誤差。如，某標(biāo)準(zhǔn)表的誤差，在制造時(shí)是隨機(jī)的，用該表去準(zhǔn)表的誤差，在制造時(shí)是隨機(jī)的，用該表去校準(zhǔn)一批其它的表時(shí)，這一批被校準(zhǔn)的表也校準(zhǔn)一批其它的表時(shí)，這一批被校準(zhǔn)的表也就具有標(biāo)準(zhǔn)表的系統(tǒng)誤差。就具有標(biāo)準(zhǔn)表的系統(tǒng)誤差。 對(duì)于不同性質(zhì)的誤差，我們有不同的處理方對(duì)于不同性質(zhì)的誤差，我們有不同的處理方法。對(duì)系差采取測(cè)量中的技術(shù)措施、處理時(shí)法。對(duì)系差采取測(cè)量中的技術(shù)措施、處理時(shí)進(jìn)行修正等方法；隨機(jī)誤差采用算術(shù)平均值進(jìn)行修正等方法；隨機(jī)誤差采用算術(shù)平均值的方法；的方法；粗差粗差則則剔除剔除不用。不用。問題：用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻

35、R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.6 2.6 系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的合成例：用間接法測(cè)量電阻上消耗功率。利例：用間接法測(cè)量電阻上消耗功率。利用公式用公式P=IUP=IU測(cè)量，已知測(cè)量，已知I I 、 U U ，問功率的相對(duì)誤差是多大？問功率的相對(duì)誤差是多大？解：利用公式解：利用公式UIPniiiUUIIIUUIIUPPUIIUUUPIIPxxfP 1常用函數(shù)的合成誤差：常用函數(shù)的合成誤差：321,32132121212121,:,;1;32121222112212112212112112121xxxyxxxxypnmxxynmxxyx

36、xyxxypnmpnmxxxkynmxkxyxxxxxyxxyxxxxyxxyxxxxxxxxyxxy 有有：都都有有正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)同同理理易易得得類類似似積積函函數(shù)數(shù)， 例 已知電阻上電壓及電流的相對(duì)誤差分別為 , 計(jì)算功率，則它的相對(duì)誤差是多少?解：由式(2.6-14)積函數(shù)誤差合成公式得%2%,3iUIP 用%5%)2%3(P2.7 2.7 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理 1.1.數(shù)字的舍入規(guī)則數(shù)字的舍入規(guī)則 “小于5舍，大于5入，等于5時(shí)看奇偶”?！纠?】對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行舍入處理，要求小數(shù)點(diǎn)后只保留2位。16.372 016.3732.455 032.46 4.545 24.55

37、 3.854 63.85 1.995 2.00 1.9851.98【例2】將15.4546進(jìn)行舍入處理，要求保留整數(shù)。不對(duì)的做法：15.454615.45515.4615.516正確的做法：15.4546152.7.1 2.7.1 數(shù)字的舍入規(guī)則數(shù)字的舍入規(guī)則 玉林師院物信系玉林師院物信系2.2.近似運(yùn)算法則近似運(yùn)算法則1）近似值相加減【例1.5】13.435 +20.382 + 5.63 + 4.6 =13.44 + 20.38 + 5.63 + 4.6 = 44.0544.0 2）近近似值相乘除3）近似值乘方或開方4）對(duì)數(shù)的位數(shù)與其真數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)相同。2.7.2 2.7.2 有效數(shù)字有效數(shù)字 在數(shù)字修約過程中要注意以下幾點(diǎn)。(1)“0”的意義：(2)有單位的數(shù)字更需注意記錄的方法。(3)帶有絕對(duì)誤差的數(shù)字應(yīng)和絕對(duì)誤差取齊。(4)帶有單位的測(cè)量值，有效數(shù)字應(yīng)和絕對(duì)誤差取齊。玉林師院物信系玉林師院物信系【例1.6】用一臺(tái)0.5級(jí)100V量程的電壓表測(cè)量電壓，電壓表指示值為85.35V，試確定有效數(shù)字