大學(xué)物理(上)習(xí)題講解(剛體力學(xué)部分)

1、南昌大學(xué)南昌大學(xué) 陳國(guó)云陳國(guó)云2014年年4月月5日日例題例題5-15-1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面的均勻細(xì)棒對(duì)下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn)的一點(diǎn) 并和棒垂直。并和棒垂直。xo解解:(1)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm2121ml222dllmxxlxohxodxx2dJxm20dlmxxl231mlJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布

2、、軸的位置有關(guān)與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)(2)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元（3）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm22112mlmh222dlhlhmxxl例題例題5-25-2 求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為質(zhì)量為m，密度均勻。密度均勻。rRdr解：解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為在圓盤上取一半徑為r、 寬度為寬度為d dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量

3、dm= 2 rdr ?？傻每傻?23201d2d22RRJrmrrmR例題例題5-35-3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為端分別懸有質(zhì)量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2，m1m1，物體物體1 1向上運(yùn)動(dòng)，物體向上運(yùn)動(dòng)，物體2 2向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示。可列出下列方程的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠蘆MrTrTamTGamGT12222111式中式中 是滑輪的角加速度是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；喪俏矬w的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即

4、邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即從以上各式即可解得從以上各式即可解得ra mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212mmmrMgmmmagmT21/212122111而而rmmmrMgmmra21/1212當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)量重力加速度量重力加速度g g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎暮?jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、 m2 、

5、r和和J的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通過加速度把再通過加速度把g g算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和和m2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a和速度和速度v都較小，都較小，這樣就能角精確地測(cè)出這樣就能角精確地測(cè)出a來來。例題例題5-45-4 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令令圓盤最初以角速度圓盤最初以角速度 0 0繞通過中心且垂直盤面的軸旋繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)

6、，問它經(jīng)過多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？rRdr d e解：解：由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計(jì)算要用積分整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計(jì)算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量dm= rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是22003ddddd23RMrmggrrergerrgeR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM32根據(jù)

7、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，阻力矩使圓盤減速，即根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度獲得負(fù)的角加速度. .221d32dmgRJmRt設(shè)圓盤經(jīng)過時(shí)間設(shè)圓盤經(jīng)過時(shí)間t t停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則有停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則有00021dd32tgtR由此求得由此求得043gRt 例題例題5-55-5 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可繞通過，可繞通過其端點(diǎn)其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系，它與地

8、面的摩擦系數(shù)為數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。而停止。求相撞后棒的質(zhì)心求相撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度離地面的最大高度h，并說明，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：解：這個(gè)問題可分為三個(gè)階段這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能CO零點(diǎn)，用零點(diǎn)，用 表示棒這時(shí)的角速度

9、表示棒這時(shí)的角速度, ,則則2223121212mlJlmg（1 1） 第二階段是第二階段是碰撞過程。碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，自由因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，表示物體碰撞后的速度，則則（2 2） 223131mlmvlml式中式中 為為棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。棒在碰

10、撞后的角速度，它可正可負(fù)。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的滑行過程?；羞^程。物體作勻減物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為mamg （3 3）由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得asv202gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得lgsgl233（5）亦即亦即l 66 s；當(dāng)當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為為0233 gsgl

11、亦即亦即l 6 s 棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：223121 mlmgh把式（把式（5 5）代入上式，所求結(jié)果為）代入上式，所求結(jié)果為slslh632當(dāng)當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺，其條件為0233 gsgl (6)(6)例題例題5-65-6 工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和和B兩飛輪的軸桿在同一兩飛輪的軸桿在同一中心線上，中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J

12、A=10kg m2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為JB=20kg m2 。開始時(shí)。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？ A ACBACB或共同轉(zhuǎn)速為或共同轉(zhuǎn)速為200r/ minn 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為失的機(jī)械能為22241112221.32 10 JABABABEJJJJ 例題例題5-75-7

13、恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每4545天轉(zhuǎn)一周，它天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑的內(nèi)核半徑R0約為約為2 2 10107 7m，坍縮成半徑坍縮成半徑R僅為僅為6 6 10103 3m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的中子星。試求中子星的

14、角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。解：解：在星際空間中，恒星不會(huì)受到顯著的外力矩，因在星際空間中，恒星不會(huì)受到顯著的外力矩，因此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量角動(dòng)量J0 0和和J 應(yīng)相等。因應(yīng)相等。因22052520mRJmRJ，代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得2003r/sRR 由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng)，并沿著磁軸的方向發(fā)出星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng)，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波、光或很強(qiáng)的無線電

15、波、光或X X射線。當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地射線。當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地球時(shí)，就能檢測(cè)到脈沖信號(hào)，由此，中子星又叫脈球時(shí)，就能檢測(cè)到脈沖信號(hào)，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測(cè)到的脈沖星超過沖星。目前已探測(cè)到的脈沖星超過300300個(gè)。個(gè)。例題例題5-8 圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=2 103kg m2 ，它以它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸旋的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴兩噴管的噴氣流量恒

16、定，共是氣流量恒定，共是 =2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對(duì)廢氣的噴射速率（相對(duì)于飛船周邊）于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u u L0Lg解：解：把飛船和排出的把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為廢氣質(zhì)量為m。可以?？梢哉J(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量飛船的質(zhì)量，所以原來系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等所以原來系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即于飛船自身的角動(dòng)量，即 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dmr(u+v)，方方向與飛船的角動(dòng)量相同。因向與飛船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的遠(yuǎn)大于飛船的速率速率v(= r) ，所以此角動(dòng)量近似地等于所以此角動(dòng)量近似地等于dmru。在在整個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量整個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為