容斥原理公式及運(yùn)用

1、容斥原理公式及運(yùn)用在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意無(wú)一重復(fù)，無(wú)一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，研究 出一種新的計(jì)數(shù)方法。這種方法的基本思路是：先不考慮重疊的情況，把包含于 某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)LI先計(jì)算出來(lái)，然后再把訃數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)LI排斥出 去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏乂無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。一、容斥原理1：兩個(gè)集合的容斥原理如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，先把A、B兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，發(fā) 現(xiàn)既是A類乂是B類的部分重復(fù)計(jì)算了一次，所以要減去。如下圖所示。公式二 AUB=A-B-AnB【示例1】一次期末考試，某班有13人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語(yǔ)文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那

2、么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？ 數(shù)學(xué)得滿分人數(shù)一A,語(yǔ)文得滿分人數(shù)一B,數(shù)學(xué)、語(yǔ)文都是滿分人數(shù)一AQB,至 少有一門得滿分人數(shù)-AUBc AUB二13+12-4二23,共有23人至少有一門得滿分。二、容斥原理厶三個(gè)集合的容斥原理如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，將A、B、C三個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加 后發(fā)現(xiàn)兩兩重疊的部分重復(fù)計(jì)算了 1次，三個(gè)集合公共部分被重復(fù)計(jì)算了 2次。 如下圖所示，灰色部分AQBAQBCC、BnCAQBQC、CQAAQBQC都被重復(fù) 計(jì)算了 1次，黑色部分AABAC 被重復(fù)計(jì)算了 2 次,因此總數(shù) AUBUC二A+B+C- (AAB-AABAC) - (BA

3、C-AABAC) - (CAA-AABAC) -2AnBClC=A+B+C-AnB-BClC-CnA+AABACo 即 得到：公式二 AUBU C=A-B-C An B-BAC-CnA-AA BAC總數(shù)= 三個(gè)勺的蓮合兩次的-重合三次的【示例2】 某班有學(xué)生45人，每人都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的 有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的 有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問(wèn)：三項(xiàng) 都參加的有多少人？參加足球隊(duì)一A,參加排球隊(duì)一B,參加游泳隊(duì)一C,足球、排球都參加的一AQB, 足球、游泳都參加的一CQA,排球、游泳都參加的一BQC,三項(xiàng)都參加的一AQB n Co 三項(xiàng)都參加的有 AQ B Q OAU B U C-A-B-C+A nB+B n