2011屆高三數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)04 第四編 三角函數(shù)及三角恒等變換（共46頁(yè)）教學(xué)案 新人教版

1、第四編 三角函數(shù)及三角恒等變換§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1.A=小于90°的角，B=第一象限的角，則AB= （填序號(hào)）.小于90°的角0°90°的角第一象限的角以上都不對(duì)答案 2.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是 .答案 3.已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是 .答案 1或44.已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2sin2,-2cos2)，則sin= .答案 -cos25. 是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)，且cos=,則sin= .答案 更多成套系列資源請(qǐng)您訪問(wèn)：謝謝您

2、對(duì)我們的幫助支持！例1 若是第二象限的角，試分別確定2, ,的終邊所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）k·180°+45° k·180°+90°（kZ），當(dāng)k=2n（nZ）時(shí)，n·360°+45°n·360&

3、#176;+90°；當(dāng)k=2n+1（nZ）時(shí)，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.（3）k·120°+30°k·120°+60°（kZ），當(dāng)k=3n（nZ）時(shí)，n·360°+30°n·360°+60°；當(dāng)k=3n+1（nZ）時(shí)，n·360°+150°n·360°+180°；當(dāng)k=3n+2（nZ）時(shí)，n·36

4、0°+270°n·360°+300°.是第一或第二或第四象限的角.例2 （1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面積是多少？（2）一扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解 （1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是r,所以扇形的周長(zhǎng)是2r+r.依題意，得2r+r=r,=-2=(-2)×1.142×57.30°65.44°65°26,扇形的面積為S=r2=（-2）r2.（2）設(shè)扇形的半徑為r，

5、弧長(zhǎng)為l，則l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面積S=lr，將代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25.此時(shí)l=20-2×5=10,=2.所以當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值.例3 （14分）已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解 角的終邊在直線3x+4y=0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P（4t,-3t） (t0),2分則x=4t,y=-3t,r=, 4分當(dāng)t0時(shí)，r=5t,sin=,cos=,tan=;8分當(dāng)t0時(shí)，r=-5t,sin=,cos=,tan=.12分綜上可知

6、，t0時(shí)，sin=,cos=,tan=;t0時(shí)，sin=,cos=-,tan=.14分例4 在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫(xiě)出角的集合:(1)sin;(2)cos.解 （1）作直線y=交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k+2k+，kZ .（2）作直線x=交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為|2k+2k+，kZ .1.已知是第三象限角，問(wèn)是哪個(gè)象限的角？解 是第三象限角，180°+k·360°27

7、0°+k·360°（kZ），60°+k·120°90°+k·120°.當(dāng)k=3m(mZ)時(shí)，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的終邊在第一象限.當(dāng)k=3m+1 (mZ)時(shí)，可得180°+m·360°210°+m·360°（mZ).故的終邊在第三象限.當(dāng)k=3m+2 （mZ）時(shí)，可得300°+m·360°330°+m·

8、360°（mZ）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6,（1）求 的弧長(zhǎng)；（2）求弓形OAB的面積.解 （1）=120°=rad，r=6， 的弧長(zhǎng)為l=×6=4.(2)S扇形OAB=lr=×4×6=12，SABO=r2·sin=×62×=9，S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-9.3.已知角的終邊在y軸上，求sin、cos、tan的值.解 角的終邊在y軸上，可在的終邊上任取一點(diǎn)（0,t)(t0),即x=0，y=t.r=|t|.

9、當(dāng)t0時(shí)，r=t,sin=1,cos=0,tan=不存在；當(dāng)t0時(shí)，r=-t，sin=-1,cos=0,tan=不存在.綜上可知：sin=±1,cos=0,tan不存在.4.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解 （1）2cosx-10，cosx.由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如右圖陰影),x（k-,k+）（kZ).一、填空題1.已知cos·tan0,那么角是第 象限角.答案 三或四2.若0x，則sinx x2（用“”

10、,“”或“=”填空）.答案 3.與610°角終邊相同的角表示為 .答案 k·360°+250°(kZ)4.已知（）sin21,則所在象限為第 象限.答案 一或三5.已知點(diǎn)P（tan，cos）在第三象限，則角的終邊在第 象限.答案 二6.已知且sin+cos=a，其中a(0，1），則關(guān)于tan的值，以下四個(gè)答案中，可能正確的是 （填序號(hào)）.-33或-3或-答案 7.已知角的終邊落在直線y=-3x (x0)上，則 .答案 28.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A、B兩點(diǎn)間的距

11、離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d= ,其中t0,60.答案 10sin二、解答題9.已知sin=,cos=,若是第二象限角，求實(shí)數(shù)a的值.解 是第二象限角，sin0,cos0,，解得0a.又sin2+cos2=1,解得a=或a=1(舍去），故實(shí)數(shù)a的值為.10.（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解 設(shè)扇形半徑為R，中心角為，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.（1）依題意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周長(zhǎng)為40,R+2R=40，S=lR=R2=R·2

12、R.當(dāng)且僅當(dāng)R =2R,即R=10, =2時(shí)面積取得最大值，最大值為100.11.設(shè)為第三象限角，試判斷的符號(hào).解 為第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ (kZ).當(dāng)k=2n (nZ)時(shí)，2n+,此時(shí)在第二象限.sin0,cos0.因此0.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí)，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ)此時(shí)在第四象限.sin0,cos0,因此0,綜上可知：0.12.角終邊上的點(diǎn)P與A（a，2a）關(guān)于x軸對(duì)稱（a0），角終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求sin·cos+sin·cos+tan·tan的值.解 由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a

13、,-2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2a，a）.sin=,cos=,tan=,sin=,cos=,tan=,故有sin·cos+sin·cos+tan·tan=-1.§4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)自測(cè)1.（2008·常州模擬）sin2(+)-cos(+)·cos(-)+1的值為 .答案 22.sin210°= .答案 3.已知tan=,且，則sin的值是 .答案 4.若=2,則sin(-5)·sin= .答案 5.已知sin=，則sin4-cos4的值為 .答案 例1 已知f()=;(1)化簡(jiǎn)f();(2)若

14、是第三象限角，且cos，求f()的值.解 （1）f（）=-cos. (2)cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.例2 （14分）已知-x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；（2）求的值.解 （1）方法一 聯(lián)立方程： 2分由得sinx=-cosx,將其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.4分-x0,所以sinx-cosx=-.7分方法二 sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.2分(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 4分

15、又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0由可知：sinx-cosx=-. 7分(2)由已知條件及（1）可知,解得,9分tanx=-. 11分又= 13分=.14分例3 已知tan=2,求下列各式的值：（1）;(2) ;(3)4sin2-3sincos-5cos2.解 （1）原式=.（2）.(3)sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.1.化簡(jiǎn).解 原式=-1.2.已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sinco

16、s=-0.由根與系數(shù)的關(guān)系知，sin,cos是方程x2-x-=0的兩根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos=-.(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos=1-2×=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.3.已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:(1);(2)sin2+cos2.解 由已知得cos(+k)0,tan(

17、+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.(2) sin2+cos2=.一、填空題1.是第四象限角，tan=，則sin= .答案 2.（2008·浙江理）若cos+2sin=-,則tan= .答案 23.（2008·四川理）設(shè)02,若sincos,則的取值范圍是 .答案 4. 是第四象限角，cos=，則sin= .5.sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值為 .答案 26.若sin+cos=tan ，則的取值范圍是 .答案 7.如果cos=,且是第四象限的角,那么cos= .答案 8.化簡(jiǎn):= .答案 1二、解答題9.已知cos(+)=-,且是第四象限角，計(jì)算

18、：(1)sin(2-);(2) (nZ).解 cos(+)=-,-cos=-,cos=,又是第四象限角，sin=-.（1）sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.（2）=-4.10.化簡(jiǎn)：.解 方法一 原式=.方法二 原式=解 方法一 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2m (mZ),則方法二 由(k+)+(k-)=2k,(k-1)-+(k+1)+=2k,得sin(k-)=-sin(k+),cos(k-1)-=cos(k+1)+=-cos(k+),sin(k+1) +=-sin(k+).12.已知sin(-)-cos(+)=.求下列各式的值：（1）sin-cos;1. 在(0,)上遞減；

19、以2為周期；是奇函數(shù).寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足上述條件的函數(shù) （寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）.答案 y=-sinx2.（2009·東海高級(jí)中學(xué)高三調(diào)研）將函數(shù)y=sin的圖象先向左平移,然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 .答案 y=sin3.設(shè)函數(shù)y=acosx+b（a、b為常數(shù))的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 .答案 54.函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 （寫(xiě)出一個(gè)即可）.答案 5.（2008·全國(guó)理）若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N

20、兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為 .答案 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解 （1）要使函數(shù)有意義，必須使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖得知定義域?yàn)閤|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上，其定義域?yàn)?（2）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx0.方法一 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出0,2上y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.在0，2內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域?yàn)?方法二 利用三角函數(shù)線，如

21、圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinxcosx,即MNOM，則x（在0，2內(nèi)）.定義域?yàn)榉椒ㄈ?sinx-cosx=sin0，將x-視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定義域?yàn)?例2 求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-時(shí)取得.故函數(shù)值域?yàn)?（2）令t=sinx+cosx,則有t2=1+2sinxcosx,即si

22、nxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),從而知：f(-1)yf(2),即-1y+.即函數(shù)的值域?yàn)?（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1該函數(shù)值域?yàn)?2，2.例3 （14分）求函數(shù)y=2sin的單調(diào)區(qū)間.解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的遞增、遞減區(qū)間分別為（kZ), (kZ),4分函數(shù)y=-2sin的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定2k+x-2k+（kZ),即2k+x2k+（kZ),8分2k-x-2k+（k

23、Z),即2k-x2k+（kZ).12分函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞減區(qū)間、單調(diào)遞增區(qū)間分別為（kZ),（kZ).14分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu與u=復(fù)合而成的.2分又u=為減函數(shù)，由2k-u2k+（kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即（kZ）為y=2sin的遞減區(qū)間.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k-x-2k- (kZ),即（kZ)為y=2sin的遞增區(qū)間.12分綜上可知：y=2sin的遞增區(qū)間為（kZ）；遞減區(qū)間為（kZ）. 14分 1.求f(x)=的定義域和值域.解 由函數(shù)1-cos0,得sinx,利用單位圓或三角函數(shù)的圖象，易得所求函數(shù)

24、的定義域是Z .當(dāng)sinx=cos=時(shí)，ymin=0;當(dāng)sinx=cos=-1時(shí)，ymax=.所以函數(shù)的值域?yàn)?，.2.已知函數(shù)f(x)=,求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性.解 由題意知cos2x0，得2xk+，解得x（kZ）.所以f(x）的定義域?yàn)镽 Z .又f（x)= =cos2x-1=-sin2x.又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）是偶函數(shù).顯然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函數(shù)的值域?yàn)?3.（1）求函數(shù)y=sin的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求y=3tan的周期及單調(diào)區(qū)間.解 （1）方法一 令u=,y=sinu，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，由2k-2x+2k+(kZ),得2k

25、-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (kZ).方法二 由已知函數(shù)y=-sin,欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期為4.由k-k+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的單調(diào)增區(qū)間是(kZ）y=3tan的單調(diào)遞減區(qū)間是 (kZ).一、填空題1.已知函數(shù)y=tanx在內(nèi)是減函數(shù),則的范圍是 .答案 -102.（2009·徐州模擬）函數(shù)f(x)=sinx-cosx

26、 (x-，0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .答案 3.函數(shù)f(x)=tanx (0)的圖象的相鄰的兩支截直線y=所得線段長(zhǎng)為,則f（）的值是 .答案 04.函數(shù)y=2sin（-2x）(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是 .答案 5.函數(shù)f(x)=lg(sin2x+cos2x-1)的定義域是 .答案 6.給出下列命題：函數(shù)y=cos是奇函數(shù)；存在實(shí)數(shù),使得sin+cos=;若、是第一象限角且,則tantan;x=是函數(shù)y=sin的一條對(duì)稱軸方程；函數(shù)y=sin的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.其中命題正確的是 （填序號(hào)）.答案 7.（2008·江蘇，1）f(x)=cos(x-)最小正周期為，其中0，則= .答案

27、 108.（2009·東海高級(jí)中學(xué)高三調(diào)研）定義在R上的函數(shù)f(x):當(dāng)sinxcosx時(shí)，f(x)=cosx;當(dāng)sinxcosx時(shí)，f(x)=sinx.給出以下結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)f(x)的最小值為-1當(dāng)且僅當(dāng)x=2k (kZ)時(shí)，f(x)取最大值當(dāng)且僅當(dāng)2k-x(2k+1)(kZ)時(shí)，f(x)0f(x)的圖象上相鄰最低點(diǎn)的距離是2.其中正確命題的序號(hào)是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)答案 二、解答題9.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，試求參數(shù)m的取值范圍.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函數(shù)y=cosx的圖象（如圖所示），由圖象可得1,

28、解得m-3.10.設(shè)a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）已知常數(shù)0，若y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（3）設(shè)集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 （1）f(x)=sin2·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=4sinx·+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x)的增區(qū)間是,kZ.f（x）在上是增函數(shù)，.

29、-且,.（3）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，當(dāng)x時(shí)，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f（x）max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.11.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x時(shí)，f（x）=sinx.（1）求當(dāng)x-，0時(shí)，f(x)的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)f(x)在-，上的函數(shù)簡(jiǎn)圖；（3）求當(dāng)f(x)時(shí)，x的取值范圍.解 （1）f(x)是偶函數(shù)，f（-x）=f（x）.而當(dāng)x時(shí)，f(x)=sinx.當(dāng)x時(shí)，f(x)=f(-x)=sin(-

30、x)=-sinx.又當(dāng)x時(shí)，x+，f（x）的周期為，f（x）=f(+x)=sin(+x)=-sinx.當(dāng)x-,0時(shí)，f(x)=-sinx.（2）如圖：（3）由于f(x）的最小正周期為,因此先在-，0上來(lái)研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，當(dāng)x,kZ時(shí)，f(x).12.已知a0，函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x時(shí)，-5f(x)1.（1）求常數(shù)a,b的值；(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.解 （1）x，2x+.sin，-2asin-2a,a.f(x)b,3a+b,又-5f(x)1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（

31、2）由（1）知a=2,b=-5,f（x）=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)0得g(x)1,4sin-11,sin,2k+2x+2k+,kZ.由2k+2x+2k+(kZ),得g(x)的單調(diào)增區(qū)間為：（kZ）由2k+2x+2k+,得g(x)的單調(diào)減區(qū)間為（kZ）.§4.4 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.（2008·天津理，3）設(shè)函數(shù)f（x）=sin，xR，則f（x）是 （填序號(hào)）.最小正周期為的奇函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)答案 2.（2008· 浙江理，5）

32、在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=cos(x0,2)的圖象和直線y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 個(gè).答案 23.為了得到函數(shù)y=2sin，xR的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx，xR的圖象上所有的點(diǎn)向 平移 單位，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍.答案 左 34.下面有五個(gè)命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是|=,kZ.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).把函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象向右平移得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.函數(shù)y=sin(x-)在0,上是減函數(shù).其中，真命題的編號(hào)是 .答案 5.已知函數(shù)f(x)=2sinx (0)在區(qū)

33、間上的最小值是-2，則的最小值等于 .答案 例1 已知函數(shù)y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說(shuō)明y=2sin的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,則y=2sin=2sinX.列表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象：（3）方法一 把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin的圖象，再把y=sin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin的圖象，最后把y=sin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=2sin的圖象

34、.方法二 將y=sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位；得到y(tǒng)=sin2=sin的圖象；再將y=sin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)=2sin的圖象.例2 如圖為y=Asin（x+）的圖象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N為第一個(gè)零點(diǎn)，則A=-，T=2=，=2，此時(shí)解析式為y=-sin（2x+）.點(diǎn)N，-×2+=0，=，所求解析式為y=-sin.方法二 由圖象知A=，以M為第一個(gè)零點(diǎn)，P為第二個(gè)零點(diǎn).列方程組 解之得.所求解析式為y=sin.例3 （14分）已知函

35、數(shù)f(x)=- cos(2x+2) (A0, 0,0),且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰 兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)（1，2）.（1）求;(2)計(jì)算f(1)+f(2)+f(2 008).解 （1）y=- cos(2x+2),且y=f(x)的最大值為2，A0,+=2,A=2.又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,0,=2, =.4分f(x)= -cos=1-cos.y=f(x)過(guò)(1,2)點(diǎn)，cos=-1. 6分=2k+,kZ.=k+,kZ.又0，=. 8分(2)=,f(x)=1-cos=1+sin.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 12分又y=f(x)的周期為4

36、，2 008=4×502,f（1）+f（2）+f（2 008）=4×502=2 008. 14分1.已知函數(shù)y=3sin（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象；（2）說(shuō)明此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎么樣的變化得到的；（3）求此函數(shù)的振幅、周期和初相；（4）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心.解 （1）列表：描點(diǎn)、連線,如圖所示：（2）方法一 “先平移，后伸縮”.先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin的圖象；再把y=sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin的圖象，最后將y=sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)

37、不變），就得到y(tǒng)=3sin的圖象.方法二 “先伸縮，后平移”先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sinx的圖象；再把y=sinx圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x-)=sin的圖象，最后將y=sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin的圖象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此為對(duì)稱軸方程.令x-=k (kZ)得x=+2k(kZ).對(duì)稱中心為(kZ).2.函數(shù)y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá) 式為 .答案 y=-4

38、sin3.已知函數(shù)f(x)=Asinx+Bcosx (其中A、B、是實(shí)常數(shù)，且0)的最小正周期為2,并當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值2.（1）函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對(duì)稱軸?如果存在,求出其對(duì)稱軸方程;如果不存在,說(shuō)明理由.解 （1）f(x)=Asinx+Bcosx=由T=2知=，又因?yàn)閒（x）最大值為2，所以f（x）=2sin（x+）.由x=時(shí)f（x）max=2，得sin=1，=.f（x）=2sin.（2）令x+=k+（kZ）得對(duì)稱軸方程為x=k+，由對(duì)稱軸滿足k+（kZ）即k且kZ，k=5.故在上f（x）只有一條對(duì)稱軸.x=5+=，即對(duì)稱軸方程為x=.一、填空

39、題1.某三角函數(shù)圖象的一部分如下圖所示，則該三角函數(shù)為 .答案 y=cos2.（2008·全國(guó)理，8）為得到函數(shù)y=cos的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度.答案 左 3.（2008·湖南理，6）函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx在區(qū)間上的最大值是 .答案 4.（2008·四川理，10）設(shè)f（x）=sin（x+），其中0,則f(x)是偶函數(shù)的充要條件是 .答案 f(0)=05.函數(shù)y=3sin的周期、振幅依次是 答案 4、36.若函數(shù)f(x)=2sin()對(duì)任意x都有f=f，則f= .答案 -2或27.（2008·遼寧理，

40、16）已知f(x)=sin(0),f=f,且f(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則= .答案 8.函數(shù)y=|sinx|cosx-1的最小正周期與最大值的和為 .答案 2-二、解答題9.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+a-在閉區(qū)間上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，說(shuō)明理由.解 y=1-cos2x+acosx+a-=當(dāng)0x時(shí)，0cosx1，若1,即a2,則當(dāng)cosx=1時(shí)ymax=a+-=1,a=2(舍去).若01，即0a2,則當(dāng)cosx=時(shí),ymax=1,a=或a=-4(舍去).若0,即a0時(shí),則當(dāng)cosx=0時(shí),ymax=1,a=0(舍去).綜上所述,存在a

41、=符合題設(shè).10.已知函數(shù)f(x)=sin（x+）+sin（x-）-2cos2,xR(其中0).(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若對(duì)任意的aR，函數(shù)y=f(x),x(a,a+的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定的值（不必證明），并求函數(shù)y=f(x),xR的單調(diào)增區(qū)間.解 （1）f(x)= =2-1=2sin -1.由-1sin1,得-32sin-11.可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3，1.（2）由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y=f(x)的周期為,又由0,得=,即得=2.于是有f(x)=2sin-1,再由2k-2x-2k+(kZ)，解得k-xk+(kZ).所以y=f(x)的單調(diào)

42、增區(qū)間為(kZ).11.（2008·安徽理，17）已知函數(shù)f(x)=cos+2sin·sin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.解 （1）f（x）=cos+2sin·sin=cos2x+sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin.周期T=.由=k+(kZ),得x=(kZ).函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=(kZ).(2)x，.f（x）=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最大值1,又f

43、=-f=,當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最小值-.函數(shù)f(x)在上的值域?yàn)?12.（2008·湖北理，16）已知函數(shù)f(t)=，g(x)=cosx·f(sinx)+sinx·f(cosx),x.（1）將函數(shù)g(x)化簡(jiǎn)成Asin(x+)+B(A0, , 0，2)）的形式；（2）求函數(shù)g(x)的值域.解 (1)g(x)=cosx·=cosx·=cosx·+sinx·.x，|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx.g（x）=cosx·+sinx·=sinx+cosx-2=sin-2.（2）由x，得x+.si

44、nt在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，sinsin,sinsinsin即-1sin-,-2sin-2-3,故g（x）的值域?yàn)?2，-3）.§4.5兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)自測(cè)1.已知sin=,且，那么的值等于 .答案 2.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan2= .答案 -3. 設(shè)（0，），若sin=，則cos（+）= .答案 4.（2008·山東理）已知cos+sin=,則sin的值是 .答案 5.函數(shù)y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期為 .答案 例1 求2sin50°+sin10°(1+tan10°)·的

45、值.例2 已知cos()=-,sin(-)=,且，求cos的值.解 ,0-,- -.sin=,cos=cos=coscos+sinsin=.例3 (14分)若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.解 A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，6分cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×=10分又A, B,12分A+B2由知，A+B=.14分例4 化簡(jiǎn)sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解 方法一 （復(fù)角單角，從“角”入手）原式=sin2·sin

46、2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2- (4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （從“名”入手，異名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2&

47、#183;cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三 （從“冪”入手，利用降冪公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=（1+cos2·cos2-cos2-cos2）+ (1+cos2·cos2+cos2+cos2)- ·cos2·cos2=.方法四 （從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos

48、3;cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)- ·2cos2(+)-1=.1.不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.解 sin220°+cos280°+sin20°cos80°= (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1-cos40°+cos160

49、6;+sin20°cos(60°+20°)=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°=1-cos40°- (1-cos40°）=.2.求值：（1）已知cos =-,sin=,且,0,求cos的值；（2）已知tan=4,c

50、os(+)=-, 、均為銳角，求cos的值.解 （1）+ =,0.,sin=,cos=,cos=cos=coscos-sinsin=×-×=-.(2)tan=4,且為銳角， ,即sin=4cos,又sin2+cos2=1,sin=,cos=.0,0+,sin(+)=.而=(+)-,cos=cos（+）-=cos(+)cos+sin(+)sin=×+×=.3.在ABC中，角A、B 、C滿足4sin2-cos2B=,求角B的度數(shù).解 在ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B