復(fù)合函數(shù)的定義域和解析式

1、 .wd.復(fù)合函數(shù)的定義域和解析式1、復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當(dāng)取遍中的元素時(shí)，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱(chēng)為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。 說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍。稱(chēng)為直接變量，稱(chēng)為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復(fù)合函數(shù)。例1設(shè)函數(shù)，求假設(shè)的定義域?yàn)?，那么?fù)合函數(shù)中，注意：的值域例2課時(shí)練 2 例1假設(shè)函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；假設(shè)的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；定義域是，求定義域點(diǎn)評(píng)：解決復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的解答： 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函

2、數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1，B=0,1，即函數(shù)的值域?yàn)?，1，即，函數(shù)的定義域0， 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1點(diǎn)評(píng)：假設(shè)的定義域?yàn)?，那么的定義域就是不等式的的集合；假設(shè)的定義域?yàn)?，那么的定義域就是函數(shù)的值域。 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，例3函數(shù)定義域是a,b，求的定義域解：由題， 當(dāng)，即時(shí)，不表示函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，表示函

3、數(shù)，其定義域?yàn)檎f(shuō)明： 的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是中間變量的的取值范圍，即，。通過(guò)解不等式求得的范圍，即為的定義域。的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：假設(shè)的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，那么的范圍即是的定義域。2求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式例4求；，求例5 ，求；，求點(diǎn)評(píng)：求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出即用表示，再把關(guān)于的式子直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得。例6是

4、一次函數(shù)，滿(mǎn)足，求；，求點(diǎn)評(píng)： 當(dāng)函數(shù)的類(lèi)型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。 假設(shè)抽象的函數(shù)表達(dá)式，那么常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出。三、課堂練習(xí)：，求和解：令，設(shè)，令，設(shè)，求分析：是用替換中的而得到的，問(wèn)題是用中的替換呢，還是用替換呢？所以要按、分類(lèi)；注：是用替換中的而得到的，問(wèn)題是用替換中的呢，還是替換呢？所以要看還是，故按、分類(lèi)。Key:；注：。四、課堂小結(jié)：復(fù)合函數(shù)的定義；設(shè)函數(shù)，那么我們稱(chēng)是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中被稱(chēng)為直接變量，被

5、稱(chēng)為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量的取值范圍，即是的值域，是外函數(shù)的定義域。有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式由解；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍由求的值域。一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法五、附錄：求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)有： 當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R； 當(dāng)為偶次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)不小于0即0； 當(dāng)為分式時(shí)，分母不為0；當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)大于0； 當(dāng)為指數(shù)式時(shí)，對(duì)零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0如

6、，中。 當(dāng)是由一些根本函數(shù)通過(guò)四那么運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求各局部定義域集合的交集。 分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)際意義對(duì)自變量的要求對(duì)于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時(shí)一般要對(duì)字母的取值情況進(jìn)展分類(lèi)討論，并要注意函數(shù)的定義域?yàn)榉强占稀?對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。例說(shuō)函數(shù)值域求法 在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法那么共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法那么的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定

7、函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，假設(shè)方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 1、直接觀察法 對(duì)于一些比擬簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。例1 求函數(shù)y=的值域解：x0，0顯然函數(shù)的值域是： -，00，+。 例2 求函數(shù)y=3-的值域。 解：0 - 0 3- 3故函數(shù)的值域是：-，3 2、配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例3、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。解：將函數(shù)配方得：y=x-1+4，

8、x-1，2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，y =4當(dāng)x=-1，時(shí)=8故函數(shù)的值域是：4，8 3、判別式法例4 求函數(shù)y=的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)x的一元二次方程y-1)+y-1x=01當(dāng)y1時(shí)，xR,=(-1)-4(y-1)(y-1)0解得：y2當(dāng)y=1，時(shí)，x=0,而1,故函數(shù)的值域?yàn)椋? 求函數(shù)y=x+的值域。 解：兩邊平方整理得：2-2y+1x+y=01xR，=4y+1-8y0解得：1-y1+但此時(shí)的函數(shù)的定義域由x2-x0，得：0x2。由0，僅保證關(guān)于x的方程：2-2y+1x+y=0在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程1有實(shí)根，由0求出的范圍可能比y的

9、實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)椋?。可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程1，解得：=0，2，即當(dāng)=時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋?，1+。注：由判別式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，假設(shè)原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的局部剔除。 4、反函數(shù)法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。 例6 求函數(shù)y=值域。 解：由原函數(shù)式可得：x=那么其反函數(shù)為：y=其定義域?yàn)椋簒故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。例7 求函數(shù)y=的值域。解：由

10、原函數(shù)式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1,1).例8 求函數(shù)y=的值域。 解：由原函數(shù)式可得：ysinx-cosx=3y 可化為：sinxx+=3y 即 sinxx+=xR，sinxx+-1，1。即-11解得：-y 故函數(shù)的值域?yàn)?，。6、函數(shù)單調(diào)性法例9 求函數(shù)y= 2x10的值域解：令y=，=，那么 y ，在2，10上都是增函數(shù)。所以y= y +在2，10上是增函數(shù)。當(dāng)x=2時(shí)，y =+=，當(dāng)x=10時(shí)，= +=33。故所求函數(shù)的值域?yàn)椋海?3。例10 求函數(shù)y=-的值域。解：原函數(shù)可化為： y=令y =，= ，顯然y，在1，+上為無(wú)上界的增函數(shù)，所以y= y +在

11、1，+上也為無(wú)上界的增函數(shù)。 所以當(dāng)x=1時(shí)，y=y +有最小值，原函數(shù)有最大值=。顯然y0，故原函數(shù)的值域?yàn)?0,。 7、換元法 通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11 求函數(shù)y=x+的值域。解：令x-1=t，t0那么x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t=0時(shí)，y=1，當(dāng)t0時(shí)，y+。 故函數(shù)的值域?yàn)?，+。例12 求函數(shù)y=x+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin+/4+10，

12、0+/45/4 -sin+/41 0sin+/4+11+。 故所求函數(shù)的值域?yàn)?，1+。例13 求函數(shù) y=的值域解：原函數(shù)可變形為：y=- 可令x=tg，那么有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4當(dāng)=k/2-/8時(shí)，=。當(dāng)=k/2+/8時(shí)，y=-而此時(shí)tg有意義。 故所求函數(shù)的值域?yàn)?，。例14 求函數(shù)y=sinx+1cosx+1，x-/12/2的值域。解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，那么sinxcosx=-1 y=-1+t+1=由t=sinx+cosx=sinx+/4且x-/12，/2可得：t當(dāng)t=時(shí)

13、，=+，當(dāng)t=時(shí)，y=+故所求函數(shù)的值域?yàn)?，+。例15 求函數(shù)y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x故可令x=cos，0， y=cos+4+sin=sin+/4+40， /4+/45/4 當(dāng)=/4時(shí)，=4+，當(dāng)=時(shí)，y=4-。故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?-，4+。8 數(shù)形結(jié)合法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目假設(shè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。 例16 求函數(shù)y=+的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)Px到定點(diǎn)A2，B-8間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=x-2+x+8=AB

14、=10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，y=x-2+x+8AB=10 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0，+例17 求函數(shù)y=+ 的值域解：原函數(shù)可變形為：y=+上式可看成x軸上的點(diǎn)Px，0到兩定點(diǎn)A3，2，B-2，-1的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)， y=AB=， 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?。 例18 求函數(shù)y=-的值域 解：將函數(shù)變形為：y=-上式可看成定點(diǎn)A3，2到點(diǎn)Px，0的距離與定點(diǎn)B-2，1到點(diǎn)Px，0的距離之差。即：y=AP-BP由圖可知：1當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P¹，那么構(gòu)成ABP¹，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 AP

15、¹-BP¹AB= 即：-y2當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)， 有 AP-BP=AB= 。 綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?，-。 注：由例17，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，那么要使兩點(diǎn)A，B在x軸的同側(cè)。 如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：3，2，-2，-1，在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：3，2，2，-1，在x軸的同側(cè)。9 、不等式法利用根本不等式a+b2，a+b+c3a，b，c，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。10、多種方法綜合運(yùn)用例21 求函數(shù)y=的值域解：令t= t0，那么x+3=+11 當(dāng)t0時(shí)，y=， 當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=-1時(shí)取等號(hào)所以0y。2 當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?，。注：先換元，后用不等式法。 例 22 求函數(shù)y=的值域。解：y=+=+令x=tg，那么=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+當(dāng)sin=時(shí)，=。當(dāng)sin=-1時(shí)，y=