醫(yī)用高等數(shù)學(xué)-教案 第章ppt課件

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 教案教案 第四章多元函數(shù)微積分第四章多元函數(shù)微積分第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)多元函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值第五節(jié)第五節(jié) 二重積分二重積分第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)多元函數(shù) 一、空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間解析幾何簡(jiǎn)介二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)一、空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間解析幾何簡(jiǎn)介1. 右手法則右手法則2. 點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) P(x, y, z)3. 任意兩點(diǎn)之間的距離任意兩點(diǎn)之間的距離P1(x1, y1, z1) ,

2、P2(x2, y2, z2)那那么么21221221221)()()(|zzyyxxPP 幾類常見(jiàn)的方程幾類常見(jiàn)的方程4. Ax + By + Cz + D = 0(平面方程平面方程)(x x0) 2 + (y y0) 2 + (z z0) 2 = R 2 (球面方程球面方程)x 2 + y 2 = R 2(柱面方程柱面方程)z = x 2 + y 2 (橢圓拋物面橢圓拋物面)z 2 = x 2 + y 2 (圓錐面圓錐面)見(jiàn)圖見(jiàn)圖 4-3見(jiàn)圖見(jiàn)圖 4-4見(jiàn)圖見(jiàn)圖 4-5見(jiàn)圖見(jiàn)圖 4-6圖形圖形:球球面面方方程程柱柱面面方方程程橢橢圓圓拋拋物物面面圓圓錐錐面面二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概

3、念定義定義4-1 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集， 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量 z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為 ),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 其中其中x、y 稱為自變量稱為自變量, z 稱為因變量稱為因變量 .函數(shù)值函數(shù)值 z0 = f (x0, y0) . )(|0,000yxfzyyxx 或或 在在 xOy 平面上使函數(shù)平面上使函數(shù) f (x, y) 有定義的有定義的一切點(diǎn)的集合叫做函數(shù)的定義域一切點(diǎn)的集合叫做函數(shù)的定義域 .多

4、元函數(shù)多元函數(shù).(補(bǔ)充補(bǔ)充): 鄰域鄰域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP距距離離小小于于 的的點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的全全體體，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為 多元函數(shù)中同樣有多元函數(shù)中同樣有定義域定義域、 值域值域、 自變量自變量、因變量因變量等概念等概念. . 補(bǔ)充例補(bǔ)充例求求 的定義域的定義域. .222)3

5、arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y) 的圖形的圖形（如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖） 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù)),(yxfz 的的 定定 義義 域域 為為 D，對(duì)對(duì) 于于 任任 意意 取取 定定 的的DyxP ),(， 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 的的函函 數(shù)數(shù) 值值 為為),(yxfz ， 這這 樣樣 ， 以以x為為 橫橫坐坐 標(biāo)標(biāo) 、y為為 縱縱 坐坐 標(biāo)標(biāo) 、z為為 豎豎 坐坐 標(biāo)標(biāo) 在在 空空 間間就就 確確 定定 一一 點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM， 當(dāng)當(dāng)x取取 遍遍D上上一

6、一 切切 點(diǎn)點(diǎn) 時(shí)時(shí) ， 得得 一一 個(gè)個(gè) 空空 間間 點(diǎn)點(diǎn) 集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ， 這這個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn) 集集 稱稱 為為 二二 元元 函函 數(shù)數(shù) 的的 圖圖 形形 . 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. . 例如例如, ,例如例如, ,xyzoxyzsin 圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 右下圖球面右下圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1. 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限定義定義4-2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) P

7、0 (x0, y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義, P(x, y) 是定義域內(nèi)任是定義域內(nèi)任一點(diǎn)一點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) P(x, y) 以任何路徑無(wú)限接近于點(diǎn)以任何路徑無(wú)限接近于點(diǎn) P0(x0, y0) 時(shí)時(shí), f (x, y)無(wú)限接近于一個(gè)定數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)定數(shù) A, 則稱則稱 A 是函數(shù)是函數(shù) f (x, y) 當(dāng)當(dāng) xx0、 yy0 或或 P(x, y) P0(x0, y0) 時(shí)的極限時(shí)的極限, 也稱為也稱為二重極限二重極限 (double limit) . 記作記作Ayxfyyxx ),(lim00Ayxfpp ),(lim0或或說(shuō)明說(shuō)明:確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法

8、：(1) 定義中定義中 P P0 的方式是任意的；的方式是任意的；(2) 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似.（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨向于趨向于),(000yxP，若，若極限值與極限值與 k有關(guān)，則可斷言極限不存在；有關(guān)，則可斷言極限不存在； （2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時(shí)時(shí)也也可可斷斷言言),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP處處極極限限不不存存在在補(bǔ)充例補(bǔ)充例. )0, 0(),(, 0lim22200 yxyxyxyx證證明明證證|222222y

9、yxyxyxyx 因?yàn)橐驗(yàn)閨 y 22yx 又又當(dāng)當(dāng) x0, y0 時(shí)時(shí),022 yx.0lim22200 yxyxyx故故例例4-9.lim2200不不存存在在證證明明yxyxyx 證證,),(22yxyxyxf 設(shè)設(shè)1o 當(dāng)當(dāng)(x, y)沿沿 x 軸趨于軸趨于( 0, 0)時(shí)時(shí), 2o 當(dāng)當(dāng)(x, y)沿直線沿直線 y = kx 趨于趨于( 0, 0)時(shí)時(shí), 222202200limlimxkxxkyxyxxkxyx 21kk f (x, y) = 0;其值隨其值隨 k 值的不同而變化值的不同而變化, 故故 f(x, y) 的極限不存在的極限不存在.補(bǔ)充例補(bǔ)充例:求證求證 證證01sin)

10、(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立補(bǔ)充例補(bǔ)充例:證證證明證明 不存在不存在. . 26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，故故 極限不存在極限不存在 觀察觀察不存在不存在. . 26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放2. 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性定義定義4-

11、3 如果二元函數(shù)如果二元函數(shù) z = f (x, y) 滿足滿足:(1) 在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0, y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義;(2) 極限極限 存在存在;),(lim0yxfPP. ),(),(lim)3(000yxfyxfPP 則稱函數(shù)則稱函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) P0 (x0 , y0) 處連續(xù)處連續(xù). 如果函數(shù)如果函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一內(nèi)的每一點(diǎn)上都連續(xù)點(diǎn)上都連續(xù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做間斷點(diǎn)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做間斷點(diǎn). 補(bǔ)充例補(bǔ)充例:討論函數(shù)討

12、論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性. .解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k k的不同而變化的不同而變化, , 極限不存在極限不存在.故故 函數(shù)在函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù).多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切

13、多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域或閉區(qū)域 一般地一般地, 補(bǔ)充例補(bǔ)充例:.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果求求第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的概念一、偏導(dǎo)數(shù)的概念二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、高階偏導(dǎo)數(shù)三

14、、高階偏導(dǎo)數(shù)四、全微分四、全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的概念一、偏導(dǎo)數(shù)的概念定義定義4-4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的某的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x 處有處有增量增量x 時(shí)，相應(yīng)地時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)函數(shù)有有增量增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則存在，則稱此稱此極限極限為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì)x的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(partial derivative)， 記為記為:同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處

15、對(duì)對(duì)y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記記為為 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. . 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù), 常簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)常簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在在區(qū)域區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的的函數(shù)函數(shù)，它就稱為函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自變量自變量x的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作 xz ，xf ，xz或或),(

16、yxfx. 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作 yz ，yf ，yz或或),(yxfy. 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例4-16 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求證求證 zyzxxzyx2ln1 . 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx l

17、n1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例4-18 已知已知理想氣體的狀態(tài)方程理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，為常數(shù)） ，求證求證：1 pTTVVp. . 證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)、(2)、例如偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個(gè)個(gè)整整體體記記號(hào)號(hào)，不不能能拆拆分分; ; ).0, 0(),0, 0(,),(yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè) 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；

18、用定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf (3)、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依定義知在依定義知在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). .偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖如圖,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為

19、曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 幾何意義幾何意義: : 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在所截得的曲線在點(diǎn)點(diǎn)0M處的切線處的切線xTM0對(duì)對(duì)x軸的斜率軸的斜率. . 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)0M處處的的切切線線yTM0對(duì)對(duì)y軸軸的的斜斜率率. . 三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)定義定義:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù) ),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 純偏導(dǎo)

20、純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .補(bǔ)充例補(bǔ)充例設(shè)設(shè) 13323 xyxyyxz， 求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及 33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx定理定理4-1 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩

21、個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等 問(wèn)題問(wèn)題: 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？件才相等？四、全微分四、全微分),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得全增量的概念全增量的概念 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一

22、一點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)P P對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量, ,記記為為z ， 即即 z = =),(),(yxfyyxxf 全微分的定義全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在

23、點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .習(xí)慣上習(xí)慣上, 記全微分為記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例.arctan的全微分的全微分求函數(shù)求函數(shù)xyz 解解)()(1122xyxyxz ,22yxy )1()(

24、112xxyyz ,22yxx 所以所以dxyxyzd22 .22dyyxx 補(bǔ)充例補(bǔ)充例計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù) xyez 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(處處的的全全微微分分. . 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分可微的條件可微的條件:定理定理(1)（必要條件）（必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù) ),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx 的全微分為的全微分為 yyzxxzdz

25、說(shuō)明：說(shuō)明：定理定理(2)（充分條件）（充分條件）多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，全微分存在，如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法定理定理4-2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (u,

26、v) 是變量是變量 u, v 的函數(shù)的函數(shù), 而而 u 和和 v 又是變量又是變量 x, y 的函數(shù)的函數(shù), u = u(x, y), v = v(x, y), 那么那么 如果如果),(yxuu 及及),(yxvv 都在都在點(diǎn)點(diǎn)),(yx具有具有對(duì)對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 且函數(shù)且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)),(),(yxvyxufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的的兩個(gè)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在存在, 且可用下列公式且可用下列公式計(jì)算計(jì)算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . z = f u(x, y), v(x

27、, y) 是自變量是自變量x, y 的二元復(fù)合函數(shù)的二元復(fù)合函數(shù).函數(shù)變量之間的復(fù)合關(guān)系圖函數(shù)變量之間的復(fù)合關(guān)系圖:uvxzy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣類似地再推廣:設(shè)設(shè) ),(yxuu 、),(yxvv 、),(yxww 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì) x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)),(),(),(yxwyxvyxufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx特例特例:如如果果函函數(shù)數(shù))(

28、tuu 及及)(tvv 都都在在點(diǎn)點(diǎn)t可可導(dǎo)導(dǎo)，函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(),(tvtufz 在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) t可可導(dǎo)導(dǎo)，且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)可可用用下下列列公公式式計(jì)計(jì)算算： dtdvvzdtduuzdtdz 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況情況. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz例例4-25,23,ln2yxvyxuvuz 而而設(shè)設(shè).,yzxz 求求解解xvvzxuuzxz 31ln22

29、vuyvu)23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx 補(bǔ)充例補(bǔ)充例分析分析,1222wvuz 設(shè)設(shè),22yxu 其中其中,22yxv ,2xyw .yzxz 及及求求z 是以是以 x, y 為自變量為自變量, 以以u(píng), v 為中間變量為中間變量的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù), 其復(fù)合關(guān)系圖示意如下其復(fù)合關(guān)系圖示意如下: uvwxzy解解,222wvur 設(shè)設(shè),1rz 則則而而333,rwwzrvvzruuz 因而因而xwwzxvvzxuuzxz )(2)(2)(2333rwyrvxrux )

30、(23ywxvxur 222)(2yxx 同理同理222)(2yxyyz 例例4-26分析分析,)(),(為可微函數(shù)為可微函數(shù)設(shè)設(shè)ufxyfz 證明證明:.0 yzyxzxz 是以是以 x, y 為自變量的抽象函數(shù)為自變量的抽象函數(shù). 那么那么 z = f (u) 是以是以 u 為中間變量為中間變量, x、y 為自變量的復(fù)合函數(shù)為自變量的復(fù)合函數(shù), 其復(fù)合關(guān)系圖示意其復(fù)合關(guān)系圖示意如下如下:,xyu 令令uxzy證證知知 f (u) 為可微函數(shù)為可微函數(shù), .dd存在存在則則uf于是于是xuufxz dd)(dd2xyuf ufxydd2 yuufyz ddxuf1dd ufx dd1 故故y

31、zyxzx ufxyufxydddd 0 例例4-28 設(shè)設(shè)z = arctan (xy), 而而 y = e x,xzdd求求解解xyyzxzxzdddd xeyxxyxy 222211xxexxe221)1( 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxuu 即即,),(yxyxufz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxufz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的

32、區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似補(bǔ)充補(bǔ)充(例例4-25)-1,ln42xvuz 設(shè)設(shè).,yzxz 求求解解xfxvvzxuuzxz 32431ln2xvuyvu )23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx ,23,yxvyxu 而而34x 多元函數(shù)多元函數(shù) (一階一階) 微分形式不變性微分形式不變性全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)全微分形式不變性的實(shí)質(zhì): 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ),(vufz 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分有全微分 dvvzduuzdz ; ; 當(dāng)當(dāng) ),(yxuu 、),(yxv

33、v 時(shí)，時(shí)， 有有 dyyzdxxzdz . . 無(wú)論無(wú)論 z z 是自變量是自變量 x x、y y 的函數(shù)或中間的函數(shù)或中間變量變量u u、v v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的. .二、隱函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法(1) 假設(shè)假設(shè) F(x, y) = 0, 其中其中 y = f (x).由全導(dǎo)數(shù)公式由全導(dǎo)數(shù)公式:0dddd xyyFxFxF0dd xyyFxF即即,0 yF若若則有則有yFxFxy ddyxFF (2) F(x, y, z) = 0, 其中其中 z = f (x, y).,0 zF若若那那么么zFxFxz zxFF zFyFyz zyFF 例例

34、4-30 求由方程求由方程 y xe y+x = 0 所確定的所確定的 y 作為作為 x 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解 令令,1 yexF由由01 yexyF得得yyexexy 11dd.11yyexe 0),( xexyyxFy例例4-31 求由方程求由方程 e z - xyz = 0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) z 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解令令 F (x, y, z) = e z - xyz , 那那么么,yzFx ,xzFy 0 xyeFzz于是于是zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值二、

35、條件極值二、條件極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 播放播放定義定義4-6極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf

36、，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；二元函數(shù)極值的定義二元函數(shù)極值的定義補(bǔ)充例補(bǔ)充例: :例例(3)(3)(1)(2)(3)例例(1)(1)處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例(2)(2)處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 定理定理4-3 (4-3 (極值存在的必要條件極值存在的必要條件) )證證設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零 0),(

37、00 yxfx，0),(00 yxfy. . 不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,類似地可證類似地可證推廣推廣 故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf, 說(shuō)明一元函數(shù)說(shuō)明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx; 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的

38、必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. .0),(00 yxfy駐點(diǎn)駐點(diǎn).定理定理4-4 (極值存在的充分條件極值存在的充分條件)例例如如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)， 但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)，

39、有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 注意:又又那那么么 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00， ),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的處是否取得極值的條件條件如下：如下： （1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； （2 2）02 BAC時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值； （3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒(méi)有極值，也可能沒(méi)有極值， 還需另作討論還需另作討論 求函數(shù)求函數(shù) z = f (x, y)

40、極值的一般步驟極值的一般步驟:第第一一步步 解解方方程程組組 , 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn). . 第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx， 求求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號(hào)號(hào), ,再再判判定定是是否否是是極極值值. . 多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在 D D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在值及在 D D 的邊界上的最大值和最小值相的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小互比較，其中最

41、大者即為最大值，最小者即為最小值者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值. .例例4-32 求函數(shù)求函數(shù) f (x, y)=x3 - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x 的極值的極值 . 解解解方程組解方程組 063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) ,66),( xyxfxx,0),( yxfxy.66),( yyxfyy列表討論如下列表討論如下: (x0 , y0) ABCB2AC

42、f ( x0 , y0 ) (1 , 0)120672極小值極小值 5(1 , 2)120672不是極值不是極值(-3 , 0)120672不是極值不是極值(-3 , 2)120672極大值極大值 31例例4-33在在求求函函數(shù)數(shù)224),(yxyxf .122上上的的最最大大值值圓圓域域 yx解解 顯然顯然, 函數(shù)在圓周函數(shù)在圓周 x2 + y2 = 1 上的值到處上的值到處是是.3為求駐點(diǎn)為求駐點(diǎn), 令令,0422 yxxxf0422 yxyyf解得解得 x = 0, y = 0 .這是函數(shù)在圓內(nèi)的唯一駐點(diǎn)這是函數(shù)在圓內(nèi)的唯一駐點(diǎn), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 f (0, 0) = 2

43、, )3( 所以函數(shù)在點(diǎn)所以函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處取得最大值處取得最大值 2 .二、條件極值二、條件極值( 注：此小節(jié)內(nèi)容不講注：此小節(jié)內(nèi)容不講, 略略 )第五節(jié)第五節(jié) 二重積分二重積分一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的計(jì)算二、二重積分的計(jì)算一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂.),(yxfz D播放播放: :播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示、取極限的方法，如

44、下動(dòng)畫演示步驟如下：步驟如下：2. 用若干個(gè)小平頂用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近柱體體積之和近似表示曲頂柱體似表示曲頂柱體的體積的體積.xzyoD),(yxfz i),(ii1. 先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域并取典型小區(qū)域;.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積* 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分

45、割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo2. 二重積分的概念二重積分的概念定義定義4-7 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域D任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，個(gè)小閉區(qū)域，也表示它也表示它的面積，在每個(gè)的面積，在每個(gè)i 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(ii ， 作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并作和并作和

46、iiniif ),(1， (續(xù)上頁(yè)定義續(xù)上頁(yè)定義)如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定定義義中

47、中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在.當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值直角坐標(biāo)系中的面積元素直角坐標(biāo)系中的面積元素 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為3. 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)性質(zhì)4-1性質(zhì)4-2當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)，k.),(),( DD

48、dyxfkdyxkf Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）性質(zhì)性質(zhì)4-3性質(zhì)性質(zhì)4-5對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì)4-4 假設(shè)假設(shè) 為為D D的面積，的面積，.1 DDdd 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有性質(zhì)性質(zhì)4-64-6性質(zhì)性質(zhì)4-7 設(shè)設(shè)M、m分別是分別是),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的最大

49、值和最小值，最大值和最小值， 為為 D 的面積，則的面積，則 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域D上上連連續(xù)續(xù)， 為為D的的面面積積，則則在在 D 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),( 使使得得（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）二、二重積分的計(jì)算二、二重積分的計(jì)算1. 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy

50、 Dba)(2xy )(1xy (Y型).),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域?yàn)槿绻e分區(qū)域?yàn)?,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D討論討論:為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積的方法體求體積的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得區(qū)域的特點(diǎn)區(qū)域的特點(diǎn) X X型

51、區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). . Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn). .若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.例例4-36 計(jì)計(jì)算算 Dyxyxdd)(22，其其中中 D 是是由由2xy 以以及及 2yx 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域. . 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)

52、 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Dyxyxdd)(22 10222d)(dxxyyxxxyyxxxd)3(21032 2xy 2yx 2xy 2yx xxxxxxd)33)(643102 10752527755272xxxx .3512 ,)(,)(212xxxx 由圖知由圖知, 例例 Dyxyx,dd)2(23積分區(qū)域積分區(qū)域D由由 y =x+2,y =x, y =0, y =2 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.解解,)(2yy 由由 D 的圖可知的圖可知, ,20,2)(1 yyy Dyxyxdd)2(23 20223d)2(dyyxyxy 20y224d)24(yxxyxy

53、 202434d)2(2)2(4)2(24yyyyyyyy2035543220)2(20yyyy 203283162032 15816 例例4-38解法解法1 ,dd22 Dyxyx計(jì)算計(jì)算其中其中D是由雙曲線是由雙曲線 x y =1,直線直線 y = x 和和 y = 2 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.先積先積 y 后積后積 x .由圖可知上曲線為由圖可知上曲線為 y =2, 下曲線下曲線是由是由 y = 和和 y = x 共同構(gòu)成的共同構(gòu)成的,x1將將D分割成兩個(gè)區(qū)域分割成兩個(gè)區(qū)域 D1= (x, y)| y2, x1 x121D2= (x, y)| xy2, 1x2 ( (續(xù)上頁(yè)解法續(xù)上頁(yè)解

54、法1)1) 212215 . 0212ddxyxxyxxx 21215 . 032d)2(d)2(xxxxxx212315 . 043)26()46(xxxx 21612686414814161 .6427 Dyxyxdd22 21dddd2222DDyxyxyxyx 22221212215 . 0ddddxxyyxxyyxx解法解法2先積先積 x 后積后積 y .由圖可知右曲線由圖可知右曲線 x右右= y , 左曲線左曲線 x左左= , 1 y2y1 Dyxyxdd22 yyxyxy12221dd 21123d3yyxyy 215d)313(yyy2142)1216(yy 121611921

55、32 6427 例例4-39如先對(duì)如先對(duì) y y 后對(duì)后對(duì) x x 積積分分, ,dd2y- Dyxe計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分其中其中D是由是由 y = x,y = 1 與與 y 軸軸 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.解解由圖可知由圖可知, ,上曲線為上曲線為 y上上=1, 下曲線為下曲線為 y下下= x ,于是于是,dddd1y-10y-22 xDyexyxe由于函數(shù)由于函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù), 通常稱通常稱2ye yeyd2是積不出的是積不出的, 因此二重積分因此二重積分 Dyxedd2y-化為先對(duì)化為先對(duì) y 后對(duì)后對(duì) x x 的二次積分的二次積分, ,計(jì)算不出計(jì)算不出

56、. .考慮先對(duì)考慮先對(duì) x x 后對(duì)后對(duì) y y 的積的積分分, ,左曲線為左曲線為 x左左= 0 , 右曲線為右曲線為 x右右= y ,因而因而 yyDxeyyxe0-10y-dddd22 100-d2yxeyy 10-d2yyey 102-)d(-212yey10-221ye .2121e 由圖可知由圖可知, ,補(bǔ)充例補(bǔ)充例1xy 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖補(bǔ)充例補(bǔ)充例2xy 222xxy 改變積分改變積分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序

57、的次序. 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖補(bǔ)充例補(bǔ)充例3 改改變變積積分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序. axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a補(bǔ)充例補(bǔ)充例4 計(jì)算積分計(jì)算積分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 12

58、1)(dxeexx.2183ee 2xy xy 2. 極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 r

59、drrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0補(bǔ)例補(bǔ)例 1,dd22 Dyxyx計(jì)算計(jì)算其中區(qū)域其中區(qū)域D =(x, y) |1x 2

60、 + y 2 4解解如圖如圖,sin,cos yx令令對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的因此因此,ddddd yx積分區(qū)域積分區(qū)域D為為: 12, 02. 2122022dddd Dyxyx 20213d3 20d37.314 補(bǔ)例補(bǔ)例 2,dd22 Dyxyxe計(jì)計(jì)算算(x, y) |1x 2 + y 2 9 且且 y x 解解如圖如圖,sin,cos yx令令對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的因此因此,ddddd yx積分區(qū)域積分區(qū)域D為為: 13, 312454dddd22 eyxeDyx. )(29ee 其中區(qū)域其中區(qū)域D =.454 454312d21 e補(bǔ)例補(bǔ)例 3,d)d543( Dyxyx計(jì)計(jì)算算其中區(qū)域其中區(qū)域D =(