高等數(shù)學(xué)第11章 概率論ppt課件

1、第十一章第十一章 概率論概率論11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率11.2 事件的獨立性事件的獨立性11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征11.6 應(yīng)用與實踐應(yīng)用與實踐11.7 拓展與提高拓展與提高 一 知識結(jié)構(gòu)圖 第十一章第十一章 概率論概率論第十一章第十一章 概率論概率論二二 教學(xué)基本要求和重點、難點教學(xué)基本要求和重點、難點第十一章第十一章 概率論概率論1. 教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求 (1) 隨機事件、古典概型、伯努里概型、條件 概率、事件的獨立性的概念；(2) 隨機事件之間的關(guān)系和運算；

2、古典概型的 計算；概率的加法、乘法、及全概率公式。(3) 隨機變量及隨機變量函數(shù)的概念，離散型 隨機變量及連續(xù)型隨機變量的概念分布函 數(shù)的概念；兩點分布、二項分布、泊松分 布、均勻分布。第十一章第十一章 概率論概率論(4) 離散型隨機變量概率分布及性質(zhì)；兩點分 布、二項分布、泊松分布的概率分布及性 質(zhì)，利用概率分布求隨機變量的概率。(5) 連續(xù)型隨機變量概率密度及性質(zhì),均勻分布、 正態(tài)分布概率密度及性質(zhì)。利用概率密度會 求隨機變量概率。(6) 數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)及計算；二項分布、 泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期 望與方差。第十一章第十一章 概率論概率論2 教學(xué)重點與難點教學(xué)重點與難點(

3、1)(1)重點重點 掌握隨機事件之間的關(guān)系和運算；古典概型 的計算；概率的加法、乘法、及全概率公式。掌握二項分布、泊松分布的概率分布及性質(zhì)， 會利用概率分布求隨機變量的概率。掌握均勻分布、正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望與方差的 概念及性質(zhì)。會利用概率密度會求隨機變量 概率。掌握數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)及計算。第十一章第十一章 概率論概率論 (2) (2)難點難點 隨機事件之間的關(guān)系、運算和全概率隨機事件之間的關(guān)系、運算和全概率公公式，利用二項分布求隨機變量概率。式，利用二項分布求隨機變量概率。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率第十一章第十一章 概率論概率論11.1.1 隨機試驗和隨機事件隨機試驗和隨機事件

4、客觀世界中存在著各種現(xiàn)象，其中一類現(xiàn)象是在相同條件下進行的試驗或觀察(簡稱為試驗)中，其可能結(jié)果不止一個，而且事先無法確定。 例如：拋硬幣；燈泡壽命值抽檢。例如：拋硬幣；燈泡壽命值抽檢。這類現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象。 11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 在概率論中，將具有如下兩個特點的試驗在概率論中，將具有如下兩個特點的試驗叫做隨機試驗叫做隨機試驗(簡稱試驗簡稱試驗)，記作，記作E。 (1) (1)可以在相同條件下重復(fù)進行可以在相同條件下重復(fù)進行, , 每次試驗的每次試驗的可能結(jié)果不止一個；可能結(jié)果不止一個； (2)(2)每次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出每次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)現(xiàn),

5、, 但事先明確試驗的所有可能結(jié)果。但事先明確試驗的所有可能結(jié)果。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率隨機事件，簡稱事件，用字母隨機事件，簡稱事件，用字母A, B, C等表示。等表示?；臼录涀骰臼录?，記作12，必然事件，用符號必然事件，用符號 表示。表示。不可能事件，用符號不可能事件，用符號 表示。表示。 樣本空間樣本空間 11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 例例 1 袋中有袋中有3個紅球個紅球a1,a2,a3和一個白球和一個白球b，從中每次任取兩個，寫出該試驗的樣本空間，并從中每次任取兩個，寫出該試驗的樣本空間，并指出下列事件指出下列事件A：“取出的兩球中有一個是白球取出的兩球中

6、有一個是白球”，B：“取出的兩個球都是白球取出的兩個球都是白球”，C：“取出的兩取出的兩球中紅球數(shù)不少于一個所包含多少基本事件。球中紅球數(shù)不少于一個所包含多少基本事件。 11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率解：樣本空間：解：樣本空間： )(),(),(),(),(),(321323121bababaaaaaaa事件事件A: )(),(),(321bababa事件事件B: 該事件是不可能事件，即該事件是不可能事件，即 ；B事件事件C： )(),(),(),(),(),(321323121bababaaaaaaaC11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率2. 事件間的關(guān)系與運算事件間的關(guān)系與運算(

7、1)(1)包含關(guān)系包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即屬于A的每一個基本事件也都屬于B，則稱事件B包含事件A，記作 。AB 顯然，對于任一事件A，有A11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(2)(2)相等關(guān)系相等關(guān)系 如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A與事件B相等。 即A與B中包含的基本事件完全相同, 記作A=B。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(3)(3)和事件和事件 如果兩個事件中至少有一個事件發(fā)生，則該事件叫做事件A與B的和。和事件是由屬于的所有基本事件構(gòu)成的集合, 記作A+B。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(4)(4)積事件積事件 如果兩個事件

8、A與B同時發(fā)生，則該事件叫做事件A與B的積。積事件是由既屬于A又屬于B的所有公共基本事件構(gòu)成的集合, 記作AB。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(5)(5)互斥關(guān)系互斥關(guān)系 如果事件A與B不能同時發(fā)生，則稱事件A與B互斥(或稱互不相容), 即A與B沒有公共基本事件。(6)(6)互逆關(guān)系互逆關(guān)系 如果事件A與B滿足： ，那么稱事件A與B 互逆(或稱事件A與B對立)，記作ABAB ，AB 11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(7) (7) 差事件差事件 如果事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則該事件叫做事件A與B的差。差事件是由屬于A但不屬于B的那些基本事件構(gòu)成的集合， 記作A-B。摩根律摩根律

9、BABABAAB11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 例例2 從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行檢驗檢驗(每次取出的產(chǎn)品不放回每次取出的產(chǎn)品不放回)，事件，事件Ai表示第表示第i次取到合格品次取到合格品(i =1，2，3)。試用事件。試用事件Ai(i =1，2，3)表示下列事件：表示下列事件：(1)三次都取到合格品；三次都取到合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中三次中恰有兩次取到合格品。恰有兩次取到合格品。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率解：解：(1)三次都取到合格品：三次都取到合格品： 123A A A；(2

10、)三次中至少有一次取到合格品： 321AAA(3)三次中恰有兩次取到合格品： 321321321AAAAAAAAA11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率11.1.2 事件的概率事件的概率1. 頻率與概率頻率與概率 定義定義11.1 在在n次重復(fù)試驗中，若事件次重復(fù)試驗中，若事件A發(fā)生發(fā)生了了m次，則把次，則把m/n叫做事件叫做事件A發(fā)生的頻率。發(fā)生的頻率。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率定義定義11.2 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義 在相同條件下，重復(fù)進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近。且n越大，擺動幅度越小，則把常數(shù)p稱為事件A的概率。記作 P(A)。11.1 隨機事件

11、的概率隨機事件的概率事件概率具有的基本性質(zhì)：事件概率具有的基本性質(zhì)： (1)任意事件的概率都在0與1之間，即0( )1P A 。(2)必然事件的概率為1，即 ( )1P 。(3)不可能事件的概率為0，即 ()0P 。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率2古典概型古典概型 (1)拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果，并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。 (2)200個同型號產(chǎn)品有6個廢品，從中每次抽取3個進行檢驗，共有 種不同的可能抽取結(jié)果，并且任意3個產(chǎn)品被取到的機會相同。 3200C 這兩個試驗都具有兩個共同的特點：這兩個試驗都具有兩個共同的特點： (1)試驗的樣本空間的元素只有有限個；試

12、驗的樣本空間的元素只有有限個； (2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。具有上述特點的試驗叫做古典概型。具有上述特點的試驗叫做古典概型。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率定義定義11.3 概率的古典定義概率的古典定義 在古典概型中，如果試驗的基本事件總數(shù)為n，事件A中包含的基本事件個數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為 ( )mP An。11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 例例3 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共200個，有個，有6個廢品，從這個廢品，從這產(chǎn)品中任取產(chǎn)品中任取3個，求：個，求：(1)恰有恰有1個是廢品的概個是廢品的概率；率；(2)3個全是正品的概率。個

13、全是正品的概率。 解：設(shè)事件解：設(shè)事件A表示從這批產(chǎn)品中任取表示從這批產(chǎn)品中任取3個，個， 恰有恰有1個是廢品個是廢品, 事件事件B表示從這批產(chǎn)品中任取表示從這批產(chǎn)品中任取3個全是正品，基本事件總數(shù)：個全是正品，基本事件總數(shù)： 3200Cn 11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率(1)事件A包含的基本事件個數(shù)： 2194161CCm 1261943200( )0.0855C CP AC(2)事件B包含的基本事件個數(shù)：31942Cm 31943200( )0.9122CP BC11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率11.1.3 概率的加法概率的加法1互斥事件概率的加法公式互斥事件概率的加法公式定

14、理定理11.1 如果事件如果事件A與與B互斥，即互斥，即那么那么 AB ，()( )( )P ABP AP B。推論推論1 假設(shè)假設(shè) 兩兩互斥，那么兩兩互斥，那么 nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP推論推論2 )(1)(APAP11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 例例4 袋中有袋中有20個球個球, 其中有其中有3個白球、個白球、17個個黑球，從中任取黑球，從中任取3個，求至少有一個白球的概率。個，求至少有一個白球的概率。 分析分析 用用Ai表示取到表示取到i個白球，用個白球，用A表示至表示至少有一個白球。少有一個白球。解法一解法一 利用古典定義利用古典定義572

15、3)(320017331172321713CCCCCCCAP11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率解法二解法二 利用概率的加法公式利用概率的加法公式 由于A1，A2，A3兩兩互斥 )()()()(321APAPAPAP1221303173173173332020202357C CC CC CCCC解法三解法三 利用互逆事件的概率公式利用互逆事件的概率公式 A的逆事件表示沒有取到白球，故 57231)(1)(32031703CCCAPAP11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率2任意事件概率的加法公式任意事件概率的加法公式 定理定理11.2 對于任意兩個事件對于任意兩個事件A、B，有，有()( )

16、( )()P ABP AP BP AB。推論推論1 A、B 、C為任意三個事件，那么為任意三個事件，那么()P ABC( )( )( )()P AP BP CP AB()()()P ACP BCP ABC11.1 隨機事件的概率隨機事件的概率 例例5 如下圖，電路中元件如下圖，電路中元件a、b發(fā)生故發(fā)生故障的概率分別為障的概率分別為0.05、0.06， a、b同時發(fā)生同時發(fā)生故障的概率為故障的概率為0.003，求該電路斷路的概率。，求該電路斷路的概率。解解: 設(shè)設(shè)A=元件元件a發(fā)生故障發(fā)生故障， B=元件b發(fā)生故障，C=電路斷路， 由電學(xué)知識，可得C=A+B，所以)()()()()(ABPBP

17、APBAPCP0.050.060.0030.10711.2 事件的獨立性事件的獨立性第十一章第十一章 概率論概率論11.2.1 條件概率條件概率 1條件概率條件概率 定義定義11.4 在事件在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件發(fā)生的概率，稱為事件A在事件在事件B下的條件概率，下的條件概率，簡稱為簡稱為A對對B的條件概率，記作的條件概率，記作 (|)P A B 。11.2 事件的獨立性事件的獨立性 例例6 甲、乙兩廠生產(chǎn)同類產(chǎn)品，如下表所示。甲、乙兩廠生產(chǎn)同類產(chǎn)品，如下表所示。從中任取一件產(chǎn)品，試求從中任取一件產(chǎn)品，試求 (1)取得甲廠產(chǎn)品的概率；取得甲廠產(chǎn)

18、品的概率； (2)取得的產(chǎn)品是次品的概率；取得的產(chǎn)品是次品的概率； (3)取得甲廠產(chǎn)品且是次品的概率。取得甲廠產(chǎn)品且是次品的概率。11.2 事件的獨立性事件的獨立性 解：設(shè)解：設(shè)A表示取一件是甲廠產(chǎn)品，表示取一件是甲廠產(chǎn)品，B表示取表示取一件是次品，一件是次品，AB表示取一件是甲廠產(chǎn)品且是次表示取一件是甲廠產(chǎn)品且是次品。這樣基本事件總數(shù)是品。這樣基本事件總數(shù)是100，顯然，顯然7071( )10010P A （ ） 2512( )1004P B （ ） 2013()1005P AB （ ） 11.2 事件的獨立性事件的獨立性由于甲廠產(chǎn)品有由于甲廠產(chǎn)品有70件，其中次品有件，其中次品有20件，故

19、件，故727020)|(ABP類似地類似地 542520)|(BAP從上例可引出求條件概率的計算方法，即從上例可引出求條件概率的計算方法，即()(|)( )0( )P ABP A BP BP B，()(|)( )0( )P ABP B AP AP A，11.2 事件的獨立性事件的獨立性2乘法公式乘法公式 定理定理11.3 兩個事件兩個事件A、B乘積的概率等于乘積的概率等于其中任一個事件其中任一個事件(其概率不為零其概率不為零)的概率乘以另的概率乘以另一個事件在已知前一個事件發(fā)生下的條件概率。一個事件在已知前一個事件發(fā)生下的條件概率。()( ) (|)( )0P ABP A P B AP A，(

20、)( ) (|)( )0P ABP B P A BP B，推論推論 A、B、C為任意三個事件，那么為任意三個事件，那么 )|()|()()(ABCPABPAPABCP11.2 事件的獨立性事件的獨立性 例例7 一批產(chǎn)品中有一批產(chǎn)品中有3%的廢品，而合格品的廢品，而合格品中一等品占中一等品占45%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求，從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率。該產(chǎn)品是一等品的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A=取出一等品取出一等品，B=取出合格品取出合格品，C=取出廢品取出廢品，那么，那么( )0.03(|)0.45P CP A B，)|()()()(BAPBPABPAP1( ) (|)(10.0

21、3)0.450.4365P C P A B11.2 事件的獨立性事件的獨立性11.2.2 事件的獨立性事件的獨立性 定義定義11.5 如果兩個事件如果兩個事件A和和B，其中任何，其中任何一個事件是否發(fā)生，都不影響另一個事件發(fā)生一個事件是否發(fā)生，都不影響另一個事件發(fā)生的概率，即的概率，即或或則稱事件與相互獨立。則稱事件與相互獨立。 )()|(APBAP)()|(BPABP11.2 事件的獨立性事件的獨立性獨立性的幾個性質(zhì)：獨立性的幾個性質(zhì)： (1)事件A與B獨立的充分必要條件是 )()()(BPAPABP(2)若事件A與B獨立，那么 與B 、 A與 、 與 都相互獨立。 ABAB11.2 事件的

22、獨立性事件的獨立性(3) 若事件 相互獨立，那么 nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP(4) 若事件 相互獨立，那么 nAAA,21)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP11.2 事件的獨立性事件的獨立性 例例8 甲、乙兩人向目標(biāo)各射擊一次，甲甲、乙兩人向目標(biāo)各射擊一次，甲擊中目標(biāo)的概率為擊中目標(biāo)的概率為0.4，乙擊中目標(biāo)的概率為，乙擊中目標(biāo)的概率為0.3，求甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率。求甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率。 解一設(shè)解一設(shè)A表示甲擊中目標(biāo)，表示甲擊中目標(biāo)，B表示乙擊中表示乙擊中目的。那么，目的。那么， 表示甲沒有擊中目標(biāo)，表示甲

23、沒有擊中目標(biāo)， 表示乙表示乙沒有擊中目標(biāo)。依題意知沒有擊中目標(biāo)。依題意知AB11.2 事件的獨立性事件的獨立性( )0.4( )1( )0.6P AP AP A ，( )0.3( )1( )0.7P BP BP B ， 由于甲乙射擊相互獨立，所以甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率()1( ) ( )1 0.420.58P ABP A P B 解二解二 ()( )( )( ) ( )P ABP AP BP A P B= 0.4 + 0.3 - 0.40.3 = 0.58 11.2 事件的獨立性事件的獨立性11.2.3 全概率公式全概率公式 定義定義11.6 如果事件如果事件 兩兩互斥，兩兩互斥

24、，并且并且 ，則稱，則稱 構(gòu)成一完備事件組。構(gòu)成一完備事件組。 nAAA,21nAAA21nAAA,211.完備事件組完備事件組11.2 事件的獨立性事件的獨立性2. 全概率公式全概率公式定理定理11.4 全概率公式全概率公式 假設(shè)假設(shè) 為一完備事件組，為一完備事件組，則對于任意事件則對于任意事件B，有，有 nAAA,21()0(1,2, )iP Ain，)|()()(1niiiABPAPBP11.2 事件的獨立性事件的獨立性 例例9 設(shè)袋中共有設(shè)袋中共有10個球，其中個球，其中2個帶有個帶有中獎標(biāo)志，兩人分別從袋中任取一球，中獎標(biāo)志，兩人分別從袋中任取一球，求第二個人中獎的概率。求第二個人中

25、獎的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A表示表示“第一個人中獎第一個人中獎”， 表示表示“第一個人不中獎第一個人不中獎”，則它們構(gòu)成一個完備，則它們構(gòu)成一個完備事件。于是事件。于是 A28( )( )1010P AP A，設(shè)B表示“第二個人中獎”，由全概率公式，得2 18 21( )( ) (|)( ) (|)10 910 95P BP A P B AP A P B A11.2 事件的獨立性事件的獨立性11.2.4 伯努利概型伯努利概型 定義定義11.7 若試驗若試驗E單次試驗的結(jié)果只有兩單次試驗的結(jié)果只有兩個個A、B，且，且P(A)=p保持不變，將試驗在相同條保持不變，將試驗在相同條件下重復(fù)進行件下重復(fù)進

26、行n次，若各次試驗的結(jié)果互不影響，次，若各次試驗的結(jié)果互不影響，則稱該則稱該n次試驗為次試驗為n重獨立試驗，這種試驗稱為重獨立試驗，這種試驗稱為n重獨立試驗，或稱為重獨立試驗，或稱為n重伯努利概型。重伯努利概型。11.2 事件的獨立性事件的獨立性定理定理11.5 伯努利定理伯努利定理 若單次試驗中事件A 發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n重獨立試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)為( )(1;0,1,2, )kkn knnP kC p qqp kn 11.2 事件的獨立性事件的獨立性 例例10 一條自動生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率一條自動生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率為為0.6，現(xiàn)檢查了，現(xiàn)檢查了10件

27、，求件，求(1)有兩件一級品的概有兩件一級品的概率；率；(2)至少有兩件一級品的概率。至少有兩件一級品的概率。 解：解：(1)由題意知，每次抽取一件產(chǎn)品，由題意知，每次抽取一件產(chǎn)品，A表示表示“一級品一級品”； 所以所以P(A)=0.6。 于是，于是，“一級品恰好一級品恰好有兩件的概率為有兩件的概率為2281010(2)0.6 0.40.0106PC(2)設(shè)B表示“至少有兩件一級品”，由伯努利定理，有) 1 ()0(1)()(101010210PPkPBPk998. 04 . 06 . 04 . 01911010C11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布第十一章第十一章 概率論概

28、率論11.3.1 隨機變量隨機變量 一般地，對于隨機試驗，若其試驗結(jié)果可以用一個變量的取值表示，這個變量取值帶有隨機性，并且取這些值的概率是確定的，則稱這樣的變量為隨機變量。 11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例11 投擲一枚均勻硬幣一次，有兩個試投擲一枚均勻硬幣一次，有兩個試驗結(jié)果：驗結(jié)果：A表示出現(xiàn)正面，表示出現(xiàn)正面， 表示出現(xiàn)反面。表示出現(xiàn)反面。若用若用X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則有兩種可能值，表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則有兩種可能值，即即X = 1表示事件出現(xiàn)；表示事件出現(xiàn)； X = 0表示事件表示事件 出現(xiàn)。出現(xiàn)。所以，隨機變量所以，隨機變量X的取值描述了隨機試驗的結(jié)的

29、取值描述了隨機試驗的結(jié)果，其概率為果，其概率為AA11(1)(0)22P XP X，。11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例12 某選手射擊的命中率為某選手射擊的命中率為p=0.4，現(xiàn)射，現(xiàn)射擊擊5次，用次，用X表示命中的次數(shù)，由于隨機變量的表示命中的次數(shù)，由于隨機變量的取值是隨機的，可能的結(jié)果有取值是隨機的，可能的結(jié)果有0，1，2，3，4，5。顯然。顯然X=i表示表示5次射擊恰有次射擊恰有i次命中次命中(i=0,1,2,3,4,5)。又各次射擊是獨立進行的，由伯努利定。又各次射擊是獨立進行的，由伯努利定理得理得55()0.4 0.60,1,2,3,4,5iiiP XiC

30、i，（）11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例13 在在10件同類型產(chǎn)品中，有件同類型產(chǎn)品中，有3件次品，件次品，先任取先任取2件，用隨機變量表示件，用隨機變量表示2件中的次品數(shù)，件中的次品數(shù)，由于的取值是隨機的，可能的結(jié)果有由于的取值是隨機的，可能的結(jié)果有0，1，2。顯然顯然Y=i表示表示2件中有件中有i件次品，由古典定義得件次品，由古典定義得237210()(0,1,2)iiC CP YiiC， 11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布11.3.2 離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布 若隨機變量X的所有可能取值可以一一列舉(可能取值是有限個或無限可

31、列個)，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量。 11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布1. 離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布 定義定義11.8 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的所有取值的所有取值為為 并且并且X取各個可能值的概率取各個可能值的概率分別為分別為 12,kxxx， ， ，()1,2,kkP Xxpk，（）則把 稱為離散型隨機變量的概率分布，簡稱分布列。 kkpxXP)(11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量的概率分布的表示法有兩種：離散型隨機變量的概率分布的表示法有兩種：(1)(1)公式法公式法()12kkP Xxpk，

32、（， ， ）(2)(2)列表法列表法Xx1xnPp1 pn 11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量的概率分布滿足如下性質(zhì)：離散型隨機變量的概率分布滿足如下性質(zhì)：kp1012kpk（ ），（， ， ）21kkp （ ）11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例 14 某人投擲一枚骰子直到出現(xiàn)某人投擲一枚骰子直到出現(xiàn)6點點為止。用為止。用X表示投擲的次數(shù)，求表示投擲的次數(shù)，求X的概率分布。的概率分布。解：解： 由題意知，各次試驗是相互獨立的。由題意知，各次試驗是相互獨立的。當(dāng)X=1表示第一次投擲就出現(xiàn)6點，其概率為 61) 1(XP當(dāng)X=2表示第二次

33、投擲才出現(xiàn)6點(第一次投擲不是6點)，其概率為3656165)2(XP11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布當(dāng)當(dāng)X=k表示第表示第k次投擲才出現(xiàn)次投擲才出現(xiàn)6點，其概率為點，其概率為61)65()(1kkXP所以，所以，X的概率分布為的概率分布為 151()( )(1,2,)66kP Xkk， 11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布2幾種常見離散型隨機變量的概率分布幾種常見離散型隨機變量的概率分布(1)(1)兩點分布兩點分布若隨機變量X的概率分布為) 1 , 0()1 ()(1kppkXPkk其中p滿足0p1，則稱服從兩點分布。 11.3 離散型隨機變量及其分布

34、離散型隨機變量及其分布兩點分布的特點：一次試驗只有兩種結(jié)果兩點分布的特點：一次試驗只有兩種結(jié)果A， A(1)檢驗產(chǎn)品的“合格與“不合格”；(2)登記新生兒的性別“男與“女”；(3)投擲硬幣的“正面與“反面等等。隨機變量X表示為 10AXA，出現(xiàn)， 出現(xiàn)11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例 15 一批產(chǎn)品的廢品率為一批產(chǎn)品的廢品率為5%。從中任。從中任取一個進行檢驗，用隨機變量取一個進行檢驗，用隨機變量X來描述廢品出來描述廢品出現(xiàn)的個數(shù)，并寫出現(xiàn)的個數(shù)，并寫出X的概率分布。的概率分布。 解：設(shè)解：設(shè)X表示廢品的個數(shù)，顯然表示廢品的個數(shù)，顯然X只可能取只可能取0和和1。即。

35、即X =0表示產(chǎn)品為合格品，其概率為表示產(chǎn)品為合格品，其概率為 ； X =1表示產(chǎn)品為廢表示產(chǎn)品為廢品，其概率品，其概率 。于是分布列如下表。于是分布列如下表 %95%51)0(XP%5) 1(XPX01P0.950.0511.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布(2)(2)二項分布二項分布 在n次獨立試驗中，每次試驗時事件A出現(xiàn)的概率為p。若隨機變量X為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，它的概率分布為( )()(1)(0,1,2, )kkn knnP kP XkC ppkn，其中0p1，則稱隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作 ( , )XB n p 。11.3 離散型隨機變量及

36、其分布離散型隨機變量及其分布 例例16 設(shè)設(shè)100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有10件次品，每次隨件次品，每次隨機地抽取一件，檢驗后放回去，連續(xù)抽三次，機地抽取一件，檢驗后放回去，連續(xù)抽三次，求最多取到一件次品的概率。求最多取到一件次品的概率。 解：設(shè)隨機變量解：設(shè)隨機變量X為三次取到的次品的件數(shù)。為三次取到的次品的件數(shù)。由于有放回地抽取，每次取到次品的概率相同，由于有放回地抽取，每次取到次品的概率相同，若若A表示抽到次品，那么表示抽到次品，那么 并且各次抽取結(jié)果互不影響。于是，并且各次抽取結(jié)果互不影響。于是，1( )10P A 。(3,0.1)XB972. 0)9 . 0() 1 . 0()9 . 0

37、() 1 . 0() 1 ()0() 1(2113300333CCPPXP11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布(3)(3)泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布若隨機變量X的概率分布為()0120!kP Xkekk，（， ， ， ；）則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布，記作 ( )XP11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布 例例17 電話交換臺每分鐘收到的電話的呼叫電話交換臺每分鐘收到的電話的呼叫次數(shù)次數(shù)X為隨機變量，設(shè)為隨機變量，設(shè)X P(3)，求在一分鐘內(nèi)，求在一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過呼叫次數(shù)不超過1的概率。的概率。解：因為解：因為X P(3) ，即

38、，即 33()012!kP Xkekk，（， ， ， ）333(1)(0)(1)340.199P XP XP Xeee若隨機變量X，對任意實數(shù)x )()(xXPxF該函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布11.3.3 離散型隨機變量的函數(shù)的分布離散型隨機變量的函數(shù)的分布 定義定義11.9 若離散型隨機變量若離散型隨機變量X的取值為的取值為x時，時，隨機變量隨機變量Y的取值由函數(shù)的取值由函數(shù)y=f(x)確定，則隨機變確定，則隨機變量量Y就叫做隨機變量就叫做隨機變量X的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作 ()Yf X11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及

39、其分布例例18 已知隨機變量的概率分布為已知隨機變量的概率分布為X-1012P0.2 0.3 0.4k(1)求參數(shù)k； (2)求 和 的概率分布。 21YX221YX11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布解：解：(1)根據(jù)分布列的性質(zhì)可知根據(jù)分布列的性質(zhì)可知(2)因為X的取值分別為-1，0，1，2，所以Y1的取值分別為0，1，4，并且11.3 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布即即 的概率分布為的概率分布為21YXY1010.4P0.30.60.1同理，Y2的取值分別為-3，-1，1，3，概率分布為Y2-3-113P0.20.30.40.111.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)

40、型隨機變量11.4.1 連續(xù)型隨機變量的概率密度連續(xù)型隨機變量的概率密度 定義定義11.10 對連續(xù)型隨機變量對連續(xù)型隨機變量X，如果在實，如果在實數(shù)集上存在非負(fù)可積函數(shù)數(shù)集上存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對于任意實數(shù)，使對于任意實數(shù)a,b(ab)都有都有 ()( )dbaP aXbf xx則X稱為連續(xù)型隨機變量。函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量由定義知道，概率密度由定義知道，概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：1( )0f xx（ ），(- ,+ )2( )d1f xx（ ） 11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量兩個結(jié)論：兩個結(jié)論

41、： (1)連續(xù)型隨機變量X取區(qū)間內(nèi)任一值的概率為零，即 (2)連續(xù)型隨機變量X在任一區(qū)間上取值的概率與是否包含區(qū)間端點無關(guān)，即11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量例例19 設(shè)隨機變量的概率密度為設(shè)隨機變量的概率密度為2,01( )0,Axxf x其他求 (1)系數(shù)A；(2)X落在區(qū)間(-1,0.5)內(nèi)的概率。解：解：(1)由概率密度的性質(zhì)由概率密度的性質(zhì)2，得，得 1)()()(1010dxxfdxxfdxxf1021dxAx3A(2) 5 . 002125. 03)5 . 01(dxxXP11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量11.4.2 常見的連續(xù)型隨機變量的分布常見的連續(xù)型隨機變量的分

42、布1均勻分布均勻分布 定義定義11.11 如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X的概率的概率密度是密度是 1,( )0,axbf xba其他則稱X在區(qū)間a，b上服從均勻分布，記作 , .XU a b11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量在區(qū)間在區(qū)間a，b上服從均勻分布，則對任意滿足上服從均勻分布，則對任意滿足ac0有)()(hXPXhP(2)當(dāng) 時取到最大值，即 11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量當(dāng) 時，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 分布函數(shù)記為分布函數(shù)記為( )()xP Xx11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量是偶函數(shù) 對于任意對于任意ab，有，有)()(ab=-11.4 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型

43、隨機變量定理定理11.6 假設(shè)假設(shè) 2( ,)XN 那么 (0,1)XYN于是， 假設(shè) ，那么 2( ,)XN 對于任意區(qū)間(x1,x2，有=11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征第十一章第十一章 概率論概率論11.5.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念 例例20 設(shè)一盒產(chǎn)品共設(shè)一盒產(chǎn)品共10件，其中件，其中1件次品，件次品，3件二等品已知次品、二等品和一等品每件件二等品已知次品、二等品和一等品每件售價分別為售價分別為5元、元、8元、元、10元，求這盒產(chǎn)品的元，求這盒產(chǎn)品的平均售價。平均售價。 11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字

44、特征解：設(shè)產(chǎn)品的平均售價為解：設(shè)產(chǎn)品的平均售價為 ，那么，那么x9 . 81061010381015)6103815(101x單價單價( (xk) )5 58 81010件數(shù)件數(shù)( (nk) )1 13 36 6P1/101/103/103/106/106/10 即平均售價等于各可能價格即平均售價等于各可能價格xk與產(chǎn)品概率與產(chǎn)品概率pk的乘積之和。的乘積之和。 11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征定義定義11.14 設(shè)設(shè)X的概率分布為的概率分布為()kkP Xxpk，( =1,2)若級數(shù) 絕對收斂，則級數(shù) 稱為離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作E(X)，即1kkkpx1

45、kkkpx1()kkkE Xx p11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征2. 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義定義11.15 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度的概率密度是是f(x)，若積分，若積分 絕對收斂，則該積分絕對收斂，則該積分叫做連續(xù)型隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作E(X) ，即即 ( )xf x dx()( )E Xxf x dx11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 定理定理11.8 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度的概率密度 是是f(x)，若連續(xù)型隨機變量，若連續(xù)型隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)Y

46、=g(x)相應(yīng)相應(yīng)的的 絕對收斂，則有絕對收斂，則有( ) ( )g x f x dx( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 例例21 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從均勻分布，服從均勻分布， X的概的概率密度為率密度為1,0( )0,xaf xa其他求 2()(5)E XEX，。解：解： 01()( )2aaE Xxf x dxxdxa2222015(5)5( )53aEXx f x dxxdxaa11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征3. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C； (2)設(shè)X是一

47、個隨機變量，C是常數(shù)，那么 E(CX)=CE(X) ； (3)設(shè)X是一個隨機變量，a，b是常數(shù)，那么 E(aX+b)=aE(X)+b ；(4)設(shè)X,Y是任意兩個隨機變量，那么 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征11.5.2 方差方差1.方差的概念方差的概念 定義定義11.16 設(shè)設(shè)X是一個隨機變量，假設(shè)是一個隨機變量，假設(shè)存在，則稱其為存在，則稱其為X的方差，記作的方差，記作D(X)，即，即2)(XEXE2()()D XE XE X。而 稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差。 )(XD11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征常用的隨機變量的概率分布及數(shù)字特征常用

48、的隨機變量的概率分布及數(shù)字特征 11.5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征2. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1)常數(shù)C的方差等于零，即D(C)=0；(2) (C為常數(shù))；)()(2XDCCXD(3) (C為常數(shù))；)()(XDCXD(4)若X，Y獨立，那么 。)()()(YDXDYXD11.6 應(yīng)用與實踐應(yīng)用與實踐第十一章第十一章 概率論概率論11.6.1 運用運用 例例22已知導(dǎo)致出現(xiàn)的各種原因的概率已知導(dǎo)致出現(xiàn)的各種原因的概率求出現(xiàn)的概率）求出現(xiàn)的概率） 某大型水電站工程，根據(jù)長某大型水電站工程，根據(jù)長期觀測的數(shù)據(jù)，得到出現(xiàn)低強度混凝土的各期觀測的數(shù)據(jù)，得到出現(xiàn)低強度混凝土的各種原因的概率數(shù)值如表所示：種原因的概率數(shù)值如表所示： 11.6 應(yīng)用與實踐應(yīng)用與實踐其中A1=“水泥質(zhì)量差”， A2= “水泥用量缺乏”， A3=“水過量”， A4=“雜質(zhì)過多”，A5=“沙石配料比例失當(dāng)”， A6= “成份及配比合乎標(biāo)準(zhǔn)”， B= “出現(xiàn)低強度混凝土”。求該工程工地，出現(xiàn)低強度混凝土的概率P(B)。 解：出現(xiàn)低強度混凝土的各種可能因素解：出現(xiàn)低強度混凝土的各種可能因素是是兩兩互不相容的，且兩兩互不相容的，且 621AAA61( )() (|)0.170iiiP BP A P B A11.6 應(yīng)用與實踐應(yīng)用與實踐 例例23已知各開關(guān)閉合的概率求電路不已知各開關(guān)閉合的概率求