大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五章1多元函數(shù)微積分

1、編輯ppt多 元 函 數(shù) 微 積 分 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏導(dǎo)數(shù)和全微分 第五章第五章多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 二重積分二重積分 編輯ppt 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念幾個(gè)概念：鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、邊界。幾個(gè)概念：鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、邊界。 鄰域鄰域：平面點(diǎn)集：平面點(diǎn)集 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)P0 (x0 , y0) 的的鄰域，記做鄰域，記做 U(P U(P0 0 ，) )。2200( , )()()x yxxyy內(nèi)點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P是平面點(diǎn)集是平面點(diǎn)集E上的點(diǎn)，如果存在點(diǎn)上的點(diǎn)，如

2、果存在點(diǎn)P的某一鄰域的某一鄰域U(P) 使得使得U(P) E,則稱則稱P為為E的內(nèi)點(diǎn)。的內(nèi)點(diǎn)。邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)：設(shè)有平面點(diǎn)集設(shè)有平面點(diǎn)集E，如果點(diǎn)，如果點(diǎn)P的任意鄰域的任意鄰域U(P)，都有屬于，都有屬于 E中的點(diǎn)，也有不屬于中的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，則稱的點(diǎn)，則稱P為為E的邊界點(diǎn)。的邊界點(diǎn)。邊界：邊界：點(diǎn)集點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為點(diǎn)集E的邊界。的邊界。邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)U(P0 ，)邊界邊界 P0內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) E 編輯ppt開(kāi)集：開(kāi)集：如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集E中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集E為開(kāi)集。為開(kāi)集。 連通集：連通集：如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集E中的任意兩點(diǎn)，中

3、的任意兩點(diǎn)， 都可以用完全屬于都可以用完全屬于E中的折中的折 線段將它們連接起來(lái)，則線段將它們連接起來(lái)，則 稱稱E為連通集。為連通集。區(qū)域：區(qū)域：連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域。連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域。閉區(qū)域：閉區(qū)域：區(qū)域連同它的邊界，稱為閉區(qū)域。區(qū)域連同它的邊界，稱為閉區(qū)域。 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念 幾個(gè)概念：開(kāi)集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。幾個(gè)概念：開(kāi)集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。 例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為一開(kāi)集。即為一開(kāi)集。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為區(qū)域。即為區(qū)域。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為閉區(qū)域。即為閉區(qū)域。 22

4、( , )1Ex y xy連通連通 不連通不連通 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念定義：定義：設(shè)設(shè)D是平面上的非空點(diǎn)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則是平面上的非空點(diǎn)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f，使，使得對(duì)集合得對(duì)集合D中的每一個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)(x , y)，按法則，按法則 f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值值 z 與之對(duì)應(yīng)，則稱此與之對(duì)應(yīng)，則稱此對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 f 為集合為集合D上的上的二元函數(shù)二元函數(shù)，記為：，記為： f ：(x, y) z 或或 z=f (x , y)，(x , y) D稱稱 x , y 為函數(shù)為函數(shù) f 的的自變量自變量，z 為函數(shù)為函數(shù) f 的的因變量因變量；集合；集合

5、D為函數(shù)為函數(shù)f 的的定義域定義域，記作，記作 D ( f ) 或或 Df。( , ) ( , )zf x yx yD稱實(shí)數(shù)集稱實(shí)數(shù)集 為函數(shù)為函數(shù) f 的的值域值域。約定：約定：函數(shù)函數(shù) z=f (x , y) 的定義域約定為的定義域約定為使得式子有意義使得式子有意義的所有的所有的實(shí)數(shù)對(duì)（的實(shí)數(shù)對(duì)（x , y）。）。例如：函數(shù)例如：函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閘nzxy,0Dx y xy它表示如右圖所示的無(wú)界區(qū)域。它表示如右圖所示的無(wú)界區(qū)域。 編輯ppt二元函數(shù)的圖像二元函數(shù)的圖像 空間點(diǎn)集空間點(diǎn)集 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的圖像圖像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x

6、yx yD( , )zf x y它表示它表示空間曲面空間曲面。 :, ,0F x y zzxy一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)一元函數(shù) 二元函數(shù)二元函數(shù) 定義域定義域 數(shù)軸上的區(qū)間數(shù)軸上的區(qū)間 平面中的區(qū)域平面中的區(qū)域 圖像圖像 平面中的曲線平面中的曲線 空間中的曲面空間中的曲面 極限極限 單極限單極限 二重極限二重極限 微分學(xué)微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 積分學(xué)積分學(xué) 定積分定積分 二重積分二重積分 編輯ppt二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限 定義：定義：設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) z=f (x , y)在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0 ,y0)的鄰域內(nèi)有定義

7、的鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)（點(diǎn)P0可以除外），如果當(dāng)點(diǎn)可以除外），如果當(dāng)點(diǎn) P (x , y)無(wú)論以何種方式無(wú)論以何種方式趨向于點(diǎn)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值 f (x , y)可以無(wú)限逼近可以無(wú)限逼近常數(shù)常數(shù)A，則稱，則稱A為函數(shù)為函數(shù) f (x ,y) 在在PP0時(shí)的時(shí)的極限極限，記作，記作00lim( , )xxyyf x yA( , )(,)lim( , )oox yxyf x yA或或 或或 0( , ) ()f x yAPP當(dāng)時(shí)二重極限二重極限 00,P xyxyz 二元函數(shù)的極限計(jì)算二元函數(shù)的極限計(jì)算計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限 sin2limxyyxy0 24323lim

8、 12xyxyy12232lim12xyyxyy34e 222200ln 14limxyxyx y222200limxyxyx y220011limxyyx 220221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx0ln 1lim1uuu等價(jià)無(wú)窮等價(jià)無(wú)窮小的替換小的替換計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限 223600sin5limxyxyxyx y230sinlimzzzzxyz201 coslim3zzz0sin1lim66zzz00,P xy換元時(shí)換元時(shí) 與與 不能相互制約不能相互制約xy因?yàn)槎貥O限值不受因?yàn)槎貥O限值不受動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)的方式動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)的方式的影響！的影響！ 二元函

9、數(shù)的極限計(jì)算二元函數(shù)的極限計(jì)算 006limxyxyxy00,P xy換元時(shí)換元時(shí) 與與 不能相互制約不能相互制約xy2xy事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè)1xkyk011lim11yy kky kk00limxyxyxy則則結(jié)果與結(jié)果與 有關(guān)，故原極限不存在。有關(guān)，故原極限不存在。k03lim3yyy若若0000lim,xxyyf x yf xy則稱函數(shù)則稱函數(shù),f x y在點(diǎn)在點(diǎn)00,P xy處處連續(xù)。連續(xù)。若函數(shù)在某區(qū)域上點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，則稱函數(shù)在該若函數(shù)在某區(qū)域上點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)域上連續(xù)區(qū)域上連續(xù)。 直觀上來(lái)看，若函數(shù)在區(qū)域直觀上來(lái)看，若函數(shù)在區(qū)域 D 上連續(xù)，則其對(duì)應(yīng)的上連續(xù)，則其對(duì)應(yīng)的空間曲面沒(méi)有裂縫，沒(méi)有洞，是一個(gè)空間曲面沒(méi)有裂縫，沒(méi)有洞，是一個(gè)連續(xù)曲面連續(xù)曲面。初等二元函數(shù)在其定義區(qū)域上都是連續(xù)的。初等二元函數(shù)在其定義區(qū)域上都是連續(xù)的。例如：例如：lnzxy在在:,0Dx y xy上連續(xù)。上連續(xù)。 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性編輯ppt閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)