角函數公式Word版

1、第一部分 三角函數公式tan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan) ·和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 ·積化和差公式： sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-) cos·cos=(1/2)cos(+)

2、+cos(-) sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-) ·倍角公式： sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) sec(2)=sec2/(1-tan2) csc(2)=1/2*sec·csc ·三倍角公式： sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sin·sin(60°+)sin(60°-) cos(3) = 4

3、cos3-3cos = 4cos·cos(60°+)cos(60°-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan2) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1) ·n倍角公式： sin(n)=ncos(n-1)·sin-C(n,3)cos(n-3)·sin3+C(n,5)cos(n-5)·sin5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)·sin2+C(n,4)cos(n-4)·sin4- ·半角公式： si

4、n(/2)=±(1-cos)/2) cos(/2)=±(1+cos)/2) tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=±(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=±(2sec/(sec+1) csc(/2)=±(2sec/(sec-1) 2 / 13·輔助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+）（tan=B/A） Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B）

5、83;萬能公式 sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) ·降冪公式 sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) ·三角和的三角函數： sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·si

6、n·sin cos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·cos tan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan) ·其它公式 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=s

7、in60 sin30=cos60 ·推導公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=sin60 sin30=cos60 ·推導公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)

8、+cos(/2)2轉洛必達公式+泰勒公式+柯西中值定理+羅爾定理 來源： 王藝璇的日志 洛必達法則洛必達法則(L'Hospital法則)，是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。 設 (1)當xa時，函數f(x)及F(x)都趨于零； (2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)0； (3)當xa時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么 xa時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再設 (1)當x時，函數f(x)及F(x)都趨于零； (2)當|x

9、|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)0； (3)當x時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么 x時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意： 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或/型未定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時（不包括情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。 若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。 洛必達法則是求未定式極限

10、的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函數f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區(qū)間內時，可以展開為一個關于（x-x.)多項式和一個余項的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)3+f(n)(x.)/n!*(x-x.)n+Rn 其中Rn=f(n+1

11、)()/(n+1)!*(x-x.)(n+1),這里在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。） 證明我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+（根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有l(wèi)imx0 f(x.+x)-f(x.)=f'(x.)x），其中誤差是在limx0 即limxx.的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)2+An(x-x.)n 來近似地表示函數f(x)且要寫出其

12、誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f&

13、#39;'(x.)/2!?(x-x.)2+f(n)(x.)/n!?(x-x.)n. 接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)(n+1)-0）=Rn'(1)/(n+1)(1-x.)n(注：(x.-x.)(n+1)=0),這里1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn'(1)-Rn'(

14、x.)）/（(n+1)(1-x.)n-0）=Rn''(2)/n(n+1)(2-x.)(n-1)這里2在1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)(n+1)=Rn(n+1)()/(n+1)!，這里在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1)。一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為R

15、n。 麥克勞林展開式：若函數f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區(qū)間內時，可以展開為一個關于x多項式和一個余項的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f'''(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+Rn 其中Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!?x(n+1),這里0<<1。 證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x2+Anxn來近似表示函數f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式： f(x)=f(0

16、)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f'''(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+f(n+1)()/(n+1)!?x(n+1) 由于在0到x之間，故可寫作x，0<<1。 麥克勞林展開式的應用： 1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。 解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx 于是得出了周期規(guī)律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f

17、9;'(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0 最后可得：sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+x9/9!-（這里就寫成無窮級數的形式了。） 類似地，可以展開y=cosx。 2、計算近似值e=lim x (1+1/x)x。 解：對指數函數y=ex運用麥克勞林展開式并舍棄余項： ex1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n! 當x=1時，e1+1+1/2!+1/3!+1/n! 取n=10,即可算出近似值e2.7182818。 3、歐拉公式：eix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位） 證明：這個公式把復數寫為了冪指數形式，其

18、實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函數ez，然后把各項中的z寫成ix。由于i的冪周期性，可已把系數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩余的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然后讓sinx乘上提出的i，即可導出歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。 泰勒展開式原理e的發(fā)現(xiàn)始于微分,當 h 逐漸接近零時,計算 之值,其結果無限接近一定值 2.71828.,這個定值就是 e,最早發(fā)現(xiàn)此值的人是瑞士著名數學家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數. 計算對數函數 的導數,得 ,當 a=e 時, 的導數為 ,因而有理由使

19、用以 e 為底的對數,這叫作自然對數. 若將指數函數 ex 作泰勒展開,則得 以 x=1 代入上式得 此級數收斂迅速,e 近似到小數點后 40 位的數值是 將指數函數 ex 擴大它的定義域到復數 z=x+yi 時,由 透過這個級數的計算,可得 由此,De Moivre 定理,三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面, 所以, 我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何一個整系數多項式的根,這個結果是 Hermite 在1873年得到的. 甲)差分. 考慮一個離散函數(即數列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記

20、成 un,通常我們就把這個函數書成 或 (un).數列 u 的差分 還是一個數列,它在 n 所取的值以定義為 以后我們干脆就把 簡記為 (例):數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, . 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 . 注:我們說數列是定義在離散點上的函數如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續(xù)型的函數具有完全平行的類推. 差分算子的性質 (i) 合稱線性 (ii) (常數) 差分方程根本定理 (iii) 其中 ,而 (n(k) 叫做排列數列. (iv) 叫做自然等比數列. (iv)' 一般的指數數列(幾何數列)rn 之差分數列(即導

21、函數)為 rn(r-1) (乙).和分 給一個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎么算呢 我們有下面重要的結果: 定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數列 (vn),使得 ,則 和分也具有線性的性質: 甲)微分 給一個函數 f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數,記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即 若 f 在定義區(qū)域上每一點導數都存在,則稱 f 為可導微函數.我們稱 為 f 的導函數,而 叫做微分算子. 微分算子的性質: (i) 合稱線性 (ii) (常數) 差分方程根本定理 (iii) Dxn=nxn-1 (iv

22、) Dex=ex (iv)' 一般的指數數列 ax 之導函數為 (乙)積分. 設 f 為定義在 a,b 上的函數,積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 a,b 作分割: ;其次對每一小段 xi-1,xi 取一個樣本點 ;再求近似和 ;最后再取極限 (讓每一小段的長度都趨近于 0). 若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積. (事實上,連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.) 積分算子也具有線性的性質: 定理2 若 f 為一連續(xù)函數,則 存在.(事實上,連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.) 定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數,

23、我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數 g,使得 g'=f,則 注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心! 上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣. 我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那么對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是&qu

24、ot;以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此. 甲)Taylor展開公式 這分別有離散與連續(xù)的類推.它是數學中逼近這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個函數 f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復雜而不易對付,于是我們就想法子去找一個較簡單的函數 g,使其跟 f 很靠近,那么我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現(xiàn).由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清 兩個問題:即如何選取簡單函數及逼近的尺度. (一) 對于連續(xù)世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數作為簡單函數,并且用局部的切近作為逼近尺度.說得更明白一

25、點,給一個直到到 n 階都可導微的函數 f,我們要找一個 n 次多項函數 g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的切近,即 ,答案就是 此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式. g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,于是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數,即是所謂解析的函數時,則 f可展成 Taylor 級數,而且這個 Taylor 級數就等于 f 自身. 值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的

26、圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0) 而且切于 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化用平直取代彎曲的精神,是微分學的精義所在. 利用 Taylor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數表(如三角函數表,對數表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分一以貫之. 復次我們注意到,我們選取多項函數作為逼近的簡單函數,理由很簡單:在眾多初等函數中,如三角函數,指數函數,對數函數,多項函數等,從算術的觀點來看,以多項函

27、數最為簡單,因為要計算多項函數的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函數就沒有這么簡單. 當然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數.例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級數展開,這在應用數學上占有舉足輕重的地位.(事實上,Fourier 級數展開是采用最小方差的逼近尺度,這在高等數學中經常出現(xiàn),而且在統(tǒng)計學中也有應用.) 注:取 x0=0 的特例,此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數代換)就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylo

28、r 展式. (二) 對于離散的情形,Taylor 展開就是: 給一個數列 ,我們要找一個 n 次多項式數列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的差近.所謂在 0 點具有 n 階差近是指: 答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式. 乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推 (一) 分部積分公式: 設 u(x),v(x) 在 a,b 上連續(xù),則 (二) Abel分部和分公式: 設(un),(v)為兩個數列,令 sn=u1+.+un,則 上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到,這兩個萊布尼慈

29、公式,一個很對稱,另一個則不然. (丁)復利與連續(xù)復利 (這也分別是離散與連續(xù)之間的類推) (一) 復利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復利一次,要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r) 根據(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復利的公式. (二) 若考慮每年復利 m 次,則 t 年后的本利和應為 令 ,就得到連續(xù)復利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert 換句話說,連續(xù)復利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答. 由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述,而連續(xù)復利的問題由

30、微分方程來描述.對于常系數線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推. (戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續(xù)之間的類推) (一) Fubini 重和分定理:給一個兩重指標的數列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).亦即我們有 (二)Fubini 重積分定理:設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數,則 當然,變數再多幾個也都一樣. (己)Lebesgue 積分的概念 (一) 離散的情形:給一個數列 (

31、an),我們要估計和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數據指標的順序,我們只按數值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取一個數值,乘以該堆的個數,整個作和起來,這就得到總和. (二)連續(xù)的情形:給一個函數 f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積. Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割: 函數值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 于是 a,b 就相應分割成 ,取樣本點 ,作近似和 讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 a,b 上的 Lebesgue 積分. 余項泰勒公式的余項f(x)=f(

32、a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)2/2! + + f(n)(a)(x-a)n/n! + Rn(x) 其中f(n)是f的n階導數 泰勒余項可以寫成以下幾種不同的形式： 1.佩亞諾(Peano)余項： Rn(x) = o(x-a)n) 2.施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項： Rn(x) = f(n+1)(a+(x-a)(1-)(n+1-p)(x-a)(n+1)/(n!p) f(n+1)是f的n+1階導數，(0,1) 3.拉格朗日(Lagrange)余項： Rn(x) = f(n+1)(a+(x-a)(x-a)(n+1)/(n+1)! f(n+1)是f的n+1階導數，(0,1) 4.柯西(Cauchy)余項： Rn(x) = f(n+1)(a