解析幾何-知識點總結(jié)-大量練習

1、解析幾何知識點一、基本內(nèi)容（一）直線的方程  1、 直線的方程 確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件，而其中一個必不可少的條件是直線必須經(jīng)過一已知點確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍2、兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的夾角，當兩直線的斜率k1，k2都存在且k1·k2-1時，當直線斜率不存在時，應結(jié)合圖形判斷，另外注意到角公式與夾角公式的區(qū)別(2)判斷兩直線是否平行，或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可用斜率的關(guān)系來判斷但若直線斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷3、在學習中注意應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，即將對幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對代

2、數(shù)式的研究，同時又要理解代數(shù)問題的幾何意義（二）圓的方程 (1)圓的方程1、 掌握圓的標準方程及一般方程，并能熟練地相互轉(zhuǎn)化，一般地說，具有三個條件(獨立的)才能確定一個圓方程在求圓方程時，若條件與圓心有關(guān)，則一般用標準型較易，若已知圓上三點，則用一般式方便，注意運用圓的幾何性質(zhì)，去簡化運算，有時利用圓系方程也可使解題過程簡化2、 圓的標準方程為(xa)2+(yb)2r2；一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心坐標，半徑為。3、 在圓(xa)2+(yb)2r2，若滿足a2+b2 = r2條件時，能使圓過原點；滿足a=0，r0條件時，能使圓心在y軸上；滿足時，能使圓與x軸相切；滿

3、足條件時，能使圓與xy0相切；滿足|a|=|b|=r條件時，圓與兩坐標軸相切4、 若圓以A(x1，y1)B(x2，y2)為直徑，則利用圓周上任一點P(x，y)， 求出圓方程(xx1)(xx2)+(yy1)(yy 2)0(2) 直線與圓的位置關(guān)系在解決的問題時，一定要聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)，利用有關(guān)圖形的幾何特征，盡可能簡化運算，討論直線與圓的位置關(guān)系時，一般不用0，=0，0，而用圓心到直線距離dr，d=r，dr，分別確定相關(guān)交相切，相離的位置關(guān)系涉及到圓的切線時，要考慮過切點與切線垂直的半徑，計算交弦長時，要用半徑、弦心距、半弦構(gòu)成直角三角形，當然，不失一般性弦長式已知O1：x2+y2 = r2，O

4、2：(x-a)2+(y -b)2r2；O3：x2+y2+Dx+Ey+F=0則以M(x0，y0)為切點的O1切線方程為xx0+yy0r2；O2切線方程條切線，切線弦方程：xx0+yy0=r2(三)曲線與方程(1)在平面內(nèi)建立直角坐標系以后，坐標平面內(nèi)的動點都可以用有序?qū)崝?shù)對x、y表示，這就是動點的坐標(x，y)當點按某種規(guī)律運動而形成曲線時，動點坐標(x，y)中的變量x，y存在著某種制約關(guān)系這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中，就是含有變量x，y方程F(x，y)0曲線C和方程F(x，y)0的這種對應關(guān)系，還必須滿足兩個條件：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，這

5、時，我們才能把這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線這時曲線與方程就成為同一關(guān)系下的兩種不同表現(xiàn)形式曲線的性質(zhì)完全反映在它的方程上；方程的性質(zhì)又完全反映在它的曲線上這樣，我們便可以利用方程來研究曲線，構(gòu)成解析幾何中解決問題的基本思想曲線與方程對應應滿足的兩個條件，其中條件(1)說明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，即曲線上所有點都適合這個條件而毫無例外，也說成曲線具有純粹性；條件(2)說明適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏，也就是說曲線具有完備性(2)求曲線方程的五個步驟：(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；建標(2)寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(

6、M)； 設點(3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0 列式(4)化方程f(x，y)=0為最簡方程 化簡(5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是這條曲線上的點除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，步驟(5)可以不寫，也可以省略步驟(2)，直接列出曲線方程（3）求曲線方程主要有四種方法：(1)條件直譯法：如果點運動的規(guī)律就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單、明確，易于表達，我們可以把這些關(guān)系直譯成含“x，y”(或，)的等式，我們稱此為“直譯法”(2)代入法(或利用相關(guān)點法)：有時動點所滿足的幾何條件不易求出，但它隨另一動點的運動而運動，稱之為相關(guān)點如果相關(guān)點滿足的條件簡明、明確

7、，就可以用動點坐標把相關(guān)的點的坐標表示出來，再用條件直譯法把相關(guān)點的軌跡表示出來，就得到原動點的軌跡(3)幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律(4)參數(shù)法：有時很難直接找出動點的橫縱坐標之間關(guān)系如果借助中間參量(參數(shù))，使x，y之間的關(guān)系建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，這便可得動點的軌跡方程（四）圓錐曲線（1）橢圓(1)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距這里應特別注意常數(shù)大于|F1F2|因為，當平面內(nèi)的動點與定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于|F1F2|時

8、，其動點軌跡就是線段F1F2；當平面內(nèi)的動點與定點F1,F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在（2）橢圓的標準方程之所以稱它為標準方程，是因為它的形式最簡單，這與利用對稱性建立直角坐標系有關(guān)同時，還應注意理解下列幾點， 1)標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件2)焦點F1，F(xiàn)2的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標準方程的類型也就是說，知道了焦點位置，其標準方程只有一種形式，不知道焦點位置，其標準方程具有兩種類型3)任何一個橢圓，只需選擇適當?shù)淖鴺讼?，其方程均可以寫成標準形式，當且僅當橢圓的中心在原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才具有標準形式1)范圍

9、：焦點在x軸時，橢圓位于直線x±a和y±b所圍成的矩形里2)對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點都是對稱的，這時坐標軸為橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心橢圓的對稱中心叫做橢圓中心3)頂點：橢圓與對稱軸的交點為橢圓的頂點A1(a，0)A2(a，0)B1(0，b)B2(0，b)線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸，短軸，長分別為2a，2b1e越接近于1，則橢圓越扁，反之，e越接近于0，橢圓越接近于圓5)焦半徑：橢圓上任一點到焦點的距離為焦半徑如圖所示，當焦點在x軸上時，任一點到左焦點的焦半徑為r1a+ex06)|A1F1|=a-c  |A1F1|=a+c 

10、10)橢圓的第二定義：平面內(nèi)的點到定點的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)e(e1的點的軌跡（三）圓錐曲線名稱橢 圓雙 曲 線圖象定義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓即 當22時，軌跡是橢圓， 當2=2時，軌跡是一條線段 當22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線即當22時，軌跡是雙曲線當2=2時，軌跡是兩條射線當22時，軌跡不存在標準方程焦點在軸上時： 焦點在軸上時：焦點在軸上時：焦點在軸上時：常數(shù)的關(guān)系 ， 最大，可以，最大，可以漸近線焦點在軸上時： 焦點在軸上時：拋物線：圖形方程焦點準線【典型例題】例1、過點P（2，1）

11、的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A、B兩點求取得最小值時直線的方程解：設直線的方程為., ，即的最小值為8當且僅當a=2b，即a=4，b=2時取得等號。故所求直線的方程為：x+2y-4=0變式：過點P（2，1）的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A、B兩點求取得最小值時直線的方程解：顯然直線的斜率存在，設其方程為：y-1=k（x-2）,則A由，=當且僅當時取等號，的最小值為4時直線的方程為x+y-3=0例2、已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生

12、素B.甲乙丙維生素A（單位/千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （）用x，y表示混合食物成本c元； （）確定x，y，z的值，使混合物的成本最低解：（）由題，又，所以（）由得，所以所以當且僅當，即時等號成立所以，當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低，為850元點評：本題為線性規(guī)劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由四條直線所圍成的區(qū)域上使得最大的點不難發(fā)現(xiàn)，應在點M（50，20）處取得例3、如圖，一列載著危重病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA的方向行駛，其中.在距離O地（為正常數(shù)）千米、北偏東角的N處住有一位醫(yī)學

13、專家，其中.現(xiàn)120指揮中心緊急調(diào)離O地正東p千米B處的救護車，先到N處載上醫(yī)學專家，再全速趕往載有危重病人的火車，并在C處相遇。經(jīng)測算，當兩車行駛的路線與OB所圍成的面積S最小時，搶救最及時（1）在以O為原點，正北方向為軸的平面直角坐標系中，求射線OA所在的直線方程；（2）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；（3）當p為何值時，搶救最及時？解：（1）由得，所以直線的方程為（2）設，則 ，所以又，所以直線的方程為由得C的縱坐標所以的面積（3）由（2），因為，所以所以時，所以當千米時，搶救最及時例4、某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框

14、放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為（90°180°）的鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,（ab）.問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C（x,0）（x0）,欲使看畫的效果最佳，應使ACB取得最大值.由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點坐標分別為（acos,asin）、（bcos,bsin）,于是直線AC、BC的斜率分別為：kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB為銳角，且x0,則tanACB,當且僅當=x，即x=時，等號成立，此時A

15、CB取最大值，對應的點為C（,0）,因此，學生距離鏡框下緣cm處時，視角最大，即看畫效果最佳例5、在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示）將矩形折疊，使A點落在線段DC上. （）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程； （）求折痕的長的最大值解：（I）（1）當時，此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程y（2）當時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a,1）所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有故G點坐標為，從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為，折痕所在的直線方程，即由（1）（

16、2）得折痕所在的直線方程為（II）折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為，解得；解得，當A與D重合時，k= -2（1）當時，直線交BC于， （2）當時，令解得, 此時，（3）當時，直線交DC于所以折痕的長度的最大值為例6、如圖所示，是通過城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連接兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧若點M在點O正北方向，且，點N到的距離分別為4km,5km（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求鐵路線所在圓弧的方程（2）若該城市的某中學擬在點O正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能少于，求該校址距點O的最近距離（校址視為一個點）解：（

17、1）分別以為軸和軸建立坐標系，由已知得，故，又線段的中點為，所以線段MN的垂直平分線的方程為，令得，故圓心的坐標為，半徑，因此所求的圓的方程為，故有所求圓弧的方程為.（2）設校址選在，則對恒成立，即對恒成立，整理得對恒成立，令，由可得，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，要使得，當且僅當和，即和，解之得，即校址應選在距點最近的地方。例7、已知拋物線，作直線與拋物線交于兩點如圖所示，過兩點的圓與拋物線在點處有相同的切線，求圓的方程點撥：兩曲線的交點能求出來，同時點處的切線也可以應用導數(shù)求解，圓心在過點垂直于此切線的直線上，并且也在弦的垂直平分線上，故圓心和半徑均亦確定。解：由可得或者即，再由得，所以有，設圓的

18、方程：，圓的圓心為，則，解得，所以所求的圓的方程為例8、已知在平面直角坐標中，向量的面積為，且，已知P點在第一象限內(nèi) （）設求向量與的夾角的取值范圍； （）設以原點為中心，對稱軸在坐標軸上，以為右焦點的橢圓經(jīng)過點，且當取最小值時，求橢圓方程解析：（）由得得，又，故夾角的取值范圍為 （）設則由（）知又，得 當且僅當，即c=2時，此時、故所求橢圓方程為例9、橢圓的兩個焦點為、，M是橢圓上一點，且滿足（）求離心率的取值范圍；（）當離心率取得最小值時，點到橢圓上的點的最遠距離為求此時橢圓G的方程；設斜率為的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問：A、B兩點能否關(guān)于過點、Q的直線對稱？

19、若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由解析：（）設點M的坐標為，則，由得，即 又由點M在橢圓上，得，代入得，即 ， 即，解得又， （）當離心率取最小值時，橢圓方程可表示為設點是橢圓上的一點，則 若0<b<3，則當時，有最大值，由題意知：，或，這與0<b<3矛盾.若，則當時，有最大值由題意知：，符合題意所求橢圓G的方程為設直線l的方程為，代入中，得由直線l與橢圓G相交于不同的兩點知<1> 要使A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱，必須設、，則，<2>由<1>、<2>得，又，或故當時，A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱例10、已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F，P是雙曲線右支上一點，且的面積為（）若點P的坐標為，求此雙曲線的離心率；（）若，當取得最小值時，求此雙曲線的方程解析：（）設所求的雙曲線的方程為，由 由點在雙曲線上，解得， 離心率 （）設所求的雙曲線的方程為，則OFP的面積為 解得 ，當且僅