清華大學(xué)課件信號(hào)

1、信號(hào)陸 建 華工程系2004年春季學(xué)期第三章葉變換上節(jié)課回顧¥工程系葉級(jí)數(shù)f (t) =ån=-¥F (nw1)e jnw1tF (nw ) =1T1f (t )e - jnw1 t dtF1Tò0簡(jiǎn)記 n1F= Et Saæ nw1t öT周期矩形：n1ç÷è2øf (t )E- T- T1- t 0 tT1Tt122221- 2pt02p4pttw1第三章葉變換§3.4 變換級(jí)數(shù)周期信號(hào)變換非周期信號(hào)把非周期信號(hào)的情況作為周期信號(hào)的一種極限來(lái)處理，可 由級(jí)數(shù)推演出變換，而進(jìn)一步借助

2、奇異函數(shù)， 可以求得周期信號(hào)的變換。Recall 上節(jié)課周期脈沖的頻譜分析2工程系§3.4變換工程系T1 = 2tT1 = 4tf (t)f (t)0.50t00.50t0T1 = 8tf (t)T1 ® ¥Þw1 ® 00.5t00譜線高度03從數(shù)學(xué)上看，當(dāng)T1小，仍有意義® ¥時(shí)，譜線高度雖很小，但其相對(duì)大從物理上看，各頻譜分量仍然，且相對(duì)大小有實(shí)際意義ï¥ì f (t) = å F (nw1)e jnw1tò T由ïn=-¥í1T1演變&#

3、239;F (nw ) =1î1T2f (t)e - jnw1t dt- 12將F (nw1) 除以w1Þ 2pF (nw1 )w1定義為頻譜密度（Spectrum Density）4§3.4變換工程系F (nw )1T1- jnw 1=2f (t)e1t dt 為一定值，令w= nw1w12pò-T12w ®02pF (nw )T1T ®¥ ò-T1- jnw記F (w ) =lim11= limw112f (t)e21t dt為譜密度函數(shù)，¥= ò-¥f (t)e - jwt dt

4、 w =nw1Þ Dw= D(nw1 )= w1¥ f (t) = åF (nw) × 1 e jnw t D(nw ) =¥1 F (w)e jwt Dwn=-¥111å1w =-¥w2pDw ® 0 1 ò¥F (w )e jwt dw2p-¥5§3.4變換¥因此得到變換對(duì)：工程系ïìF (w)= F f(t) =ò-¥f (t)e- jwt dt正變換íï f (t)= F -1F (w)

5、= 1 ò¥F (w )e jwt dw逆變換î2p-¥F (w )為復(fù)函數(shù)，可以寫作F (w) =F (w) e jj (w )F (w)為頻譜函數(shù)的模，代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大??；j (w ) 為F (w )的相位函數(shù)，表示信號(hào)中各頻率分量之間的相位。6§3.4變換討論： f (t)反映信號(hào)的時(shí)域特征，F(xiàn) (w ) 反映信號(hào)的頻域特征，F(xiàn) 變換之本質(zhì)。非周期信號(hào)同周期信號(hào)類似，可以分解為不同的頻率分量； 所不同的是，周期信號(hào)的頻譜為離散線譜，非周期信號(hào)的 頻譜為連續(xù)譜，以密度函數(shù)表示。 具有離散頻譜的信號(hào)，其能量集中在一些諧波分量之中。

6、具有連續(xù)頻譜的信號(hào)，其能量分布在所有頻率之中，每一頻率分量之能量®0。7工程系§3.4變換工程系變換的條件：什么樣的f(t)可以取F (w ) ？¥充分條件：ò-¥f (t) dt < ¥類似于級(jí)數(shù)的Dirichlet條件，但不是必要條件。借助奇異函數(shù)，周期信號(hào)、階躍信號(hào)雖不滿足以上條件，但可以變換。8第三章葉變換§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)ç÷(一) 矩形脈沖信號(hào)wt工程系F (w ) =f (t)e -jwt dt =t2 Ee - jwt dt= Etsin×2 =Et &

7、#215; Saæ wt ö¥ò-¥ò-t2wtè 2 ø2f (t)Et 0 tF(w)Et- 2pt2pt0t-229§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)2210工程系給定f(t) ÞF (w )確定，若f(t)是某一周期信號(hào)的一個(gè)周期，則其離散譜有相同的。(二) 升余弦Raised Cosinoidal Signalf (t) =E æ1 +ç¥2 ècos pttöu(t÷ø+ t ) - u(t- t )Ef (t

8、)F (w) =ò-¥f (t)e- jwt dtt= ò-tE æ1 + cos pt öçe÷2 èt ø- jwt dtE / 20-t0t2t§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)工程系tE= 2 ò-te - jwt dt +4 ò-tj pttEe te - jwt dt +4 ò-t- j pttEete - jwt dt(公式)= EtSa(wt ) + Et Sa éæw - pöt ù + EtSa 

9、33;æw + p öt ùêç2ëè÷út ø û2ç÷êtúëèø û=E sinwt=EtSa(wt )éæ wt ö2 ùæ wt ö2w ê1 - ç p ÷ ú1 - ç p ÷êèø úûèø11f (t)

10、EE / 20注意：-t0t22F(w)EtEt / 202t- 3pt- 2p - ptt0p2p3pttt(1) 隨增長(zhǎng)，諧波與w 3成反比(減小)，因此升余弦脈沖能量更集中。一個(gè)解釋是升余弦函數(shù)沒有跳變，有跳變者高頻分量多，無(wú)跳變者高頻分量少，關(guān)于這一現(xiàn)象有如下規(guī)律：12§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)函數(shù) f (t)本身有不連續(xù)點(diǎn)，幅度增與成反比16工程系d dtf (t)有不連續(xù)點(diǎn)，幅度譜與w 2成反比d 23 dt 2f (t)有不連續(xù)點(diǎn)，幅度譜與w成反比(1)(3)(2)(2) 升余弦的寬度定義在E 處，而不是在底端，這樣以便2與矩形比較，二者頻譜的第一個(gè)零點(diǎn)一改

11、。0wp2TpT3p2T(3) 升余弦信號(hào)在數(shù)字通信中被廣泛采用(能量集中)， 但形式略有不同。H (w )1.舉例：實(shí)用升余弦濾波器0.80.60.40.2(a = 0.5)升余弦滾降濾波器的頻域表示ì H0T ìé T æp öùüp (1 - a )p (1 + a )ï2í1 - sin ê 2a çw - T÷úý,£ w £TTïîëïèøûþp

12、 (1 - a )H (w ) = íïïïïîH0T ,0 £ w0,w£T> p (1 + a )T升余弦滾降濾波器的時(shí)域表示h( t T )1.0-3-2-10123tTsin p tcos ap th(t) =H0TT2p t T思考題14：4a 2t21 -T 2(a = 0.5)如何據(jù)此波形通過時(shí)域的辦法實(shí)現(xiàn)升余弦濾波器？§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)信號(hào)經(jīng)過升余弦滾降濾波后的時(shí)域波形Amplitude10t-117工程系f (t)0(三) 單邊指數(shù)信號(hào) p20-p218f (t

13、)= e-atu(t)| F(w) |1/ a0t¥F (w ) = ò0e-at e- jwt dt =1a + jwj(w)a2 + w 2F (w) =1j (w ) =-tg-1 waf (t)eate-at(四) 偶對(duì)稱雙邊指數(shù)信號(hào)f (t)= e- a|t| F (w ) |2 / a1 / aò0t0F (w) =ò-¥eate- jwt dt +¥10e-ate- jwt dt1= a - jw+ a + jw=2aa 2 + w 20a19(五) 奇對(duì)稱雙邊指數(shù)信號(hào)f (t)e-atf (t) =-eatu(-t)

14、+ e-atu(t)- eat| F (w ) |0t1 / a0F (w ) =ò-¥(-eat )e - jwt dt +¥ e -at e - jwt dtò0j (w )p20- p2- a0 a= -1+1=- 2 jwa - jwa + jwa 2 + w 22F (w ) =ì p2 wípj (w ) = ï 22w < 0a+ wï-w > 0î220§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)+ 10- 1t(六) 符號(hào)函數(shù)f ( t )工程系| F(w) |sgn(t

15、 ) =u(t ) -u(-t )取雙邊奇對(duì)稱指數(shù)信號(hào)極限Þ sgn(t )因此，F(xiàn) (w )= lim - 2 jw=2a®0 a 2+ w 2jw0Þ F (w )= 2 wìp+p2íj (w ) = ïï-î2(w < 0)j(w)p20-p221(w > 0)§3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜(變換)(七) ()信號(hào)什么信號(hào)其頻譜仍與原信號(hào)形式相同？信號(hào)æ t ö2-ç t ÷f (t) = Ee è øæ wt &#

16、246;2pÞF (w ) =Ete-ç 2 ÷èøf (t) 、F (w )都是()函數(shù)。(頻譜圖略)22工程系第三章葉變換§3.6 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換23工程系(一)F d (t)F d (t) =¥ò-¥d (t)e- jwt dt = 1沖激函數(shù)之頻譜覆蓋所有頻段，各種工業(yè)中產(chǎn)生的瞬間電火花，其造成的干擾是全頻段的。F 1 =2pd(w )(利用逆變換)§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換(二)F d ¢(t)24工程系¥F d ¢(t) =ò-

17、¥d ¢(t)e- jwt dt= e- jwt d¥(t)+-¥jw ¥ò-¥e- jwt d(t)dt = jwÞ思考題15：利用分步積分法證明F d(n) (t)=( jw )nn ³ 1§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換工程系(三)F u(t)u(t) =1 + 1 sgn(t)22F u(t) = F é 1 ù + F é 1 sgn(t)ù = pd (w ) +1êë 2 úûêë

18、2úûjw注意：d (w )的出現(xiàn)是因?yàn)閡(t)中含有直流分量。由于時(shí)間，§3.6不進(jìn)一步細(xì)講，建議課后閱讀， 希望也能掌握書中提到的。25¥小結(jié)：ìF (w ) =ò-¥f (t)e - jwt dt F 變換定義í1ï f (t) =î2pò-¥F (w )ejwt dwï¥典型非周期信號(hào)的變換，注意其集中能量的特點(diǎn)：EtSaæ wt öµ 12wE-t / 2t / 2E-E-本身不連續(xù)ç÷èødEtSa 2 æ wt ö12dt 不連續(xù)ç÷µèøw 2d 2EtSa(wt )不連續(xù)21µ3 (很