周期函數(shù)傅里葉級數(shù)

1、Fourier series周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù)上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù): :冪級數(shù)冪級數(shù). . 下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù)下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù): :這種級數(shù)是由于這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生產(chǎn)生的的.它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用重要的應(yīng)用.傅里葉傅里葉級數(shù)級數(shù). .傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 1757年年, 法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時時,

2、 大膽地采用了大膽地采用了三角級數(shù)三角級數(shù)表示函數(shù)表示函數(shù):,cos2)(10 nnnxAAxf 1759年年, 拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用了拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用了三三角級數(shù)角級數(shù). 1777年年, 歐拉在研究天文學(xué)的時候歐拉在研究天文學(xué)的時候, 用三角用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角級數(shù)時的系函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角級數(shù)時的系數(shù)數(shù), 也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)系數(shù)也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)系數(shù).歷史朔源歷史朔源 20dcos)(21xnxxfAn 在歷史上在歷史上, 三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程是分不開的程是分不開的.

3、 1753年年, 丹丹 貝努利首先提出將弦振動貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為三角級數(shù)的形式方程的解表示為三角級數(shù)的形式, 這為函數(shù)的傅里葉這為函數(shù)的傅里葉展開這個純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ)展開這個純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ), 促進(jìn)了分析學(xué)促進(jìn)了分析學(xué)的發(fā)展的發(fā)展. 1822年年, 傅里葉在傅里葉在熱的解析理論熱的解析理論一書中對一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用于歐拉和貝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理, 發(fā)展成一般理論發(fā)展成一般理論.傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)在自然界和人類的生產(chǎn)實踐中在自然界和人類的生

4、產(chǎn)實踐中, 周期運動很常見周期運動很常見.如行星的飛轉(zhuǎn)如行星的飛轉(zhuǎn), 飛輪的旋轉(zhuǎn)飛輪的旋轉(zhuǎn), 蒸氣機活塞的往復(fù)運動蒸氣機活塞的往復(fù)運動,數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上, 用周期函數(shù)來描述它們用周期函數(shù)來描述它們. 最簡單最基本最簡單最基本的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是)sin( tA諧函數(shù)諧函數(shù)周期周期 2振幅振幅時間時間角頻率角頻率初相初相 簡諧波簡諧波 簡諧振動簡諧振動正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)物體的振動物體的振動, 聲、光、電的波動等聲、光、電的波動等.問題的提出問題的提出如矩形波如矩形波 tttu0 , 10 , 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是常遇到的是

5、非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 tusin4 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)11 Otu 2 22 2 23 23 Otu11 )3sin31(sin4ttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )5sin513sin31(sin4tttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )9sin91

6、7sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 12)9sin917sin715sin513sin31(sin4 ttttt )0 ,( tt 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 tttu0 , 10 , 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 把一個周期運動把一個周期運動 (如矩形波如矩形波) 分解為簡諧振動的分解為簡諧振動的迭加迭加, 反映在數(shù)學(xué)上反映在數(shù)學(xué)上, 是把一個周期函數(shù)是把一個周期函數(shù) f(t) 表示為表示為各類正弦函數(shù)的迭加各類正弦函數(shù)的迭加, 即即 10)sin()(nnntnAAtf

7、諧波分析諧波分析即即 10)sincoscossin()(nnnnntnAtnAAtf 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù),200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb . xt 三角級數(shù)三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 函數(shù)函數(shù) f (t) 滿足什么條件滿足什么條件,系數(shù)系數(shù)nnbaa,0才能展為才能展為如何確定如何確定?).( 2 ,xf為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)考考慮慮以以為為簡簡便便計計 1 三角級數(shù)三角級數(shù)?傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù), 1基本三角函數(shù)系的正交性基本三角函數(shù)系的正交性

8、的的正交性正交性是指是指:其中任何兩個其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積不同的函數(shù)的乘積,上的積分為零上的積分為零 在一個周期長的區(qū)間在一個周期長的區(qū)間 而任而任一個函數(shù)的自乘一個函數(shù)的自乘 (平方平方) 在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx . ,上的積分非零上的積分非零 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)(orthogonality)基本三角函數(shù)系基本三角函數(shù)系nmxnxmx , 0dsinsin 0dcossin xnxmx , 2 , 1 , nm其中其中 xnxdcos2 xnxdsin2 xnxmxdcoscos傅里葉傅里葉(Fourie

9、r)級數(shù)級數(shù), 1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx0dsin1dcos1 xnxxnx,2d12 x傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf設(shè)設(shè)有有. )1(0a求求 0a xxfad)(10 xad20三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性兩邊積分兩邊積分 1)dsindcos(kkkxkxbxkxa 0 0 xkxbkxaxaxxfkkkd )sincos(d2d)(10傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù). )2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcosc

10、os1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na ) , 3 , 2 , 1( dcos)(1 nxnxxfan 逐逐項項積積分分得得到到并并從從兩兩邊邊同同時時乘乘以以 cos nx xnxadcos20時非零時非零 nk 0 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性19. )2(nb求求 xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxbndsin2 nb ) , 3 , 2 , 1( d

11、sin)(1 nxnxxfbn 逐項積分得逐項積分得到到并從并從兩邊同時乘以兩邊同時乘以 in nxs xnxadsin200 0 時非零時非零 nk 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)設(shè))( ,)(2 xxxxf則則展開式為展開式為)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系數(shù)系數(shù) 32 xnxxfbndsin)(1解解由由傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)0 )

12、 , 2 , 1(,dsin)(1) , 2 , 1 , 0( ,dcos)(1 nxnxxfbnxnxxfann其其中中函數(shù)函數(shù) f (x) 的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù). 2/3 , 2/ ,2 0, , 2 等等例例如如的的值值不不變變與與的的區(qū)區(qū)間間任任一一個個長長度度為為定定積積分分的的積積分分區(qū)區(qū)間間換換成成 nnba注注稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x) 的的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù).函數(shù)函數(shù) f (x)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)常記為常記為f (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa注注f (x) 的傅

13、里葉級數(shù)不見得收斂；的傅里葉級數(shù)不見得收斂； 即使收斂，即使收斂，級數(shù)的和也不一定是級數(shù)的和也不一定是 f (x).不能無條件的不能無條件的傅里葉級數(shù)收斂定理傅里葉級數(shù)收斂定理解決了這些問題解決了這些問題.所以所以,把符號把符號“ ”它的傅里葉級數(shù)收斂，它的傅里葉級數(shù)收斂，當(dāng)當(dāng) f (x) 滿足什么條件時，滿足什么條件時，并收斂于并收斂于 f (x) 本身本身.換為換為“=”.傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)狄利克雷狄利克雷 (Dirichlet) 收斂定理收斂定理滿滿足足為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以設(shè)設(shè) , 2 )( xf;)1(有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點在在一一個個

14、周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只.)2(在一個周期內(nèi)逐段單調(diào)在一個周期內(nèi)逐段單調(diào)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) , )( ,2)()( )( ),()(的第一類間斷點的第一類間斷點為為若若的連續(xù)點，的連續(xù)點，為為若若xfxxfxfxfxxfxs, )( 的傅里葉級數(shù)處處收斂的傅里葉級數(shù)處處收斂則則xf且且. )( )( 的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為為其中其中xfxs(1) 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成(2) 周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的, 就是就是(3) 要注明要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)

15、與函數(shù) f (x) 相等相等注注冪級數(shù)的條件低得多冪級數(shù)的條件低得多;其傅里葉級數(shù)其傅里葉級數(shù);傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)的的 x 的取值范圍的取值范圍.解解, )( 滿足狄利克雷條件滿足狄利克雷條件函數(shù)函數(shù)xf因為因為)( f)( f收收斂斂于于的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)在在點點所所以以 )( xxf2)()( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 , 0 ,1, 0 , 1)( 2 2時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡暮瘮?shù)數(shù)周周期期為為 xxxxf_. 處處收收斂斂于于的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)在在 x傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù))( f周期函數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉

16、級數(shù)解題程序傅里葉級數(shù)解題程序并驗證是否滿足狄氏條件并驗證是否滿足狄氏條件(畫圖目的畫圖目的: 驗證狄氏條件驗證狄氏條件;由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);(3) 寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于 f (x).傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)(1) 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形,解解u(t) 的圖象的圖象 計算傅里葉系數(shù)計算傅里葉系數(shù) tnttudcos)(1) , 2 , 1 , 0( n奇奇0 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù).例例傅里葉傅里葉(Fou

17、rier)級數(shù)級數(shù)OtumEmE 0 ,0 ,)( 2 tEtEtumm 的矩形脈沖波的矩形脈沖波求周期為求周期為 xnxxfandcos)(1 tnttubndsin)(1)cos1(2 nnEm )1(1 2nmnE 偶偶 tntEmdsin 0cos2ntnEm ,4 nEm, 0 , 5 , 3 , 1 n , 6 , 4 , 2 n02 tnnEtunm)12sin(1214)(1 )5sin513sin31(sin4 tttEm 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)故故 u(t) 的傅里葉級數(shù)為的傅里葉級數(shù)為時時當(dāng)當(dāng) kt 由于由

18、于u(t)滿足狄利克雷條件滿足狄利克雷條件,), 2, 1, 0(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkt 2mmEE 收斂于收斂于2)(mmEE 0 所以所以tnnEnm)12sin(12141 ),(tu時時當(dāng)當(dāng) kt , 0tnnEtunm)12sin(1214)(1 ),2, 0;( tt傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)u(t)的圖象的圖象OtumEmE 和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象OtumEmE 且且為周期為周期以以函數(shù)函數(shù) , 2 )( xf ,0, 0, 0,)( xxxxf解解 計算傅里葉系數(shù)計算傅里葉系數(shù) xxfad)(10 0d1 xx2 例例傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)

19、2 3 2 3Oxy將將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù). f (x) 的圖象的圖象 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 112sin)1(cos)1(114nnnnxnnxn )(xf傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)故故 f (x) 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級

20、數(shù) ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 nna.)1(1nbnn )3sin313cos32(2xx x2sin21 x4sin41 )5sin515cos52(2xx )sincos2(4xx 由于由于 f (x) 滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件, ) , 2 , 1 , 0( )12( 處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkx 2)()( ff收收斂斂于于).( )12( xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點點 220 由收斂定理由收斂定理得得傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 3 2 3Oxy的圖象的圖象)(xf和和函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象2 2

21、 3 2 3Oxy )(xf)3sin313cos32(2xx x2sin21 x4sin41 )5sin515cos52(2xx ). ,3 , ;( xx)sincos2(4xx 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù):)( )( )1(xFxf作周期延拓得周期函數(shù)作周期延拓得周期函數(shù)對函數(shù)對函數(shù)(2) F(x) 展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù);注注, ; )( , )()3(的傅里葉級數(shù)展開式的傅里葉級數(shù)展開式內(nèi)便是內(nèi)便是的傅里葉級數(shù)限制在的傅里葉級數(shù)限制在xfxF , )4(處處 x作作 法法傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù),如果如果 f (x)只在

22、區(qū)間只在區(qū)間上有定義上有定義, 并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可展開成也可展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù).).()(21 ff級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于 2 )( ),()( ), 周周期期為為且且內(nèi)內(nèi)在在xFxfxF 解解, 例例 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0 ,0 ,)(展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù).延拓后的周期函數(shù)延拓后的周期函數(shù)連續(xù)連續(xù), 其傅氏級數(shù)展開式在其傅氏級數(shù)展開式在 xxfad)(10 0d2xx下面計算傅里葉系數(shù)下面計算傅里葉系數(shù).傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 收斂于收斂于 f (x). xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(

23、22 nn |x|x|xf ,)( 0dcos2xnxx偶函數(shù)偶函數(shù) , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為)5cos513cos31(cos4222 xxx 利用傅氏展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和, 0)0( , 0 fx時時當(dāng)當(dāng) 222513118 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) |x|x|xf ,)(,4131211222 設(shè)設(shè)8513112221 ,6141

24、212222 22234131211 42 ,242 21 ,62 .122 ,421 312 3 21 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 )( 2 ,2 ,)( 以以寫寫出出設(shè)設(shè)xf|x|/x/|x|xxf 為周期的傅氏級數(shù)的為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) s(x) 在在 上的上的, 解解s(x) =, x 2 x, x x2, 0 ,2x傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)表達(dá)式表達(dá)式. 由由 f (x) 周期延拓后的函數(shù)圖像可知周期延拓后的函數(shù)圖像可知,61212 nn 已知級數(shù)已知級數(shù) 則級數(shù)則級數(shù) 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn

25、1212141)12(1nnnn解解641)12(1212 nn 222241312111 12)2(1nn8)12(1212 nn所以所以,傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉和傅里葉 na nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( (sine series)正弦級數(shù)正弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)

26、sine series and cosine series四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,)( 2 . 1展展成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)時時的的奇奇函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)周周期期為為xf nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)先要考查函數(shù)這是非常有用的這是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine

27、 series)余弦級數(shù)余弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,)( 2 . 2展成傅里葉級數(shù)時展成傅里葉級數(shù)時的偶函數(shù)的偶函數(shù)當(dāng)周期為當(dāng)周期為xf xxxxxf0,0,)(2 的函數(shù)的函數(shù)試將周期為試將周期為解解 函數(shù)的圖形如圖函數(shù)的圖形如圖,電學(xué)上稱為電學(xué)上稱為 偶函數(shù)偶函數(shù) 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的的圖圖象象)(xf例例展為傅里葉級數(shù)展為傅里葉級數(shù).鋸齒波鋸齒波.傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 3 , 6 , 4 ,

28、 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(處處連續(xù)處處連續(xù)由于由于xf所所以以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos513cos31cos4222 0 nbnxaann 10cos2余弦級數(shù)余弦級數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 3解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.為為周周期期的的是是以以時時 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 2 3 3xyO設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在例例 2上上

29、), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,)(xxf 將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkx 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)的圖形的圖形)(xf 2 2 3 3xyO和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 2 2 3 3xyO)3sin312sin21(sin2)( xxxxf

30、 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)例例 在無線電設(shè)備中在無線電設(shè)備中,常用電子管整流器將交流電常用電子管整流器將交流電轉(zhuǎn)換為直流電轉(zhuǎn)換為直流電.已知電壓已知電壓t為時間為時間試將試將E(t)展為傅氏級數(shù)展為傅氏級數(shù).|sin|)(ttE 解解為為)(tE, 0 nb), 2 , 1( n在整個數(shù)軸上連續(xù)在整個數(shù)軸上連續(xù).ttad |sin|200 04dsin2tt偶函數(shù)偶函數(shù), ,傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 21tEO所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，

31、所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件， 0dcossin2tnttan 01)1cos(1)1cos(1 ntnntn)1( nn為奇數(shù)為奇數(shù)n為偶數(shù)為偶數(shù) 01dcossin2ttta0 0d)1sin()1sin(1ttntn , 0.)1(42 n )( t (n=1時也對時也對)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù))6cos3514cos1512cos31(42 ttt )(tE上上函函數(shù)數(shù)定定義義在在, 0 上上函數(shù)延拓到一個周期函數(shù)延拓到一個周期, 數(shù)數(shù)軸軸上上函函數(shù)數(shù)按按周周期期延延拓拓到到整整個個級級數(shù)數(shù)上上的的函函數(shù)數(shù)展展開開成成傅傅立立葉葉定定義義在在, 0 傅里葉傅里葉(Fou

32、rier)級數(shù)級數(shù)上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 1 上上有有上上的的函函數(shù)數(shù)延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓兩種兩種:正弦級數(shù)正弦級數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級數(shù)余弦級數(shù);傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)因而展開成因而展開成因而展開成因而展開成上有定義上有定義., 0 作法作法3. F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是這個級數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 的展開式的展開式.上，上，在在限制限制, 0(. 4 x,( (偶函數(shù)偶函數(shù))的的奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù)余弦級數(shù))(余弦級數(shù)余弦級數(shù))注注其實也不必真正實施這一手續(xù)其實也不必真正實施這一手續(xù).傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件1. f (x)在在 2. 在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)補充定義內(nèi)補充定義,得到定義在得到定義在上的函數(shù)上的函數(shù)F(x),),( 使它成為使它成為 在上在上)0 ,( 解解(1) 求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .進(jìn)行進(jìn)行對對)(xf 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)分別展開