物理現(xiàn)實的量子力學(xué)描述能否認為是完備的

1、物理現(xiàn)實的量子力學(xué)描述能否認為是完備的？著愛因斯坦、波多爾斯基和羅森譯 07046007 杜雪在一個完備的理論中， 每一個物理實體的要素都要有與之相對應(yīng)的要素。 一 個物理參量客觀存在的充分條件是在不會干擾系統(tǒng)的情況下， 能夠準確預(yù)計 其值。量子力學(xué)中， 在由不可對易的算符所描述的兩個物理要素的情況下， 知道 其中一個物理量的準確知識將排除對另外一個的準確知識。那么就會有這兩種可能：（1） 由量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的實體是不完備的；（2） 這兩個物理實體要素不能夠同時客觀存在。 在預(yù)測一個系統(tǒng)時，我們是基于另一個先前與其相互作用的系統(tǒng)得出的測量 法則。出于對這個問題的考慮會導(dǎo)致這樣的結(jié)果：如

2、果第（ 1）種可能是錯誤的， 那么第（ 2）種可能也是錯誤的！這樣我們就可以推斷出量子力學(xué)中波函數(shù)對物 理實體要素的描述是不完備的。1 任何一個嚴謹?shù)奈锢砝碚摫仨氁獏^(qū)別客觀實體與這個理論運作所依據(jù)的物 理概念。 客觀實體應(yīng)該獨立于任何理論存在。 這些概念聯(lián)系著客觀實體， 而且通 過這些概念我們?yōu)樽约好枥L出了這個客觀實體。判斷一個物理體系的成功與否，我們會問自己這樣兩個問題：（1） “這個理論是正確的嗎？”（2） “理論的描述是完備的嗎？”只有在這兩個問題都給出肯定的回答的情況下， 這個理論的概念才能被看作 是令人滿意的。這個理論體系的正確性是通過此體系的結(jié)論與人類自身的經(jīng)驗的 一致程度來判別的

3、。 這種經(jīng)驗在物理學(xué)中體現(xiàn)為實驗和計算。 我們只有通過實驗 才能對客觀實體做出推斷。在此我們來探討第（ 2）個問題“量子理論的描 述是完備的嗎？” 用量子力學(xué)的原理來闡述。無論富于“完備性” 這個術(shù)語何種解釋， 緊接著對一個完備系統(tǒng)必須有一個 必要條件： “ 每一個物理實體的要素必須在其物理理論中有一對應(yīng)物！ ”我們把 這個必要條件稱作完備性的條件。 只要我們能夠確定什么是物理實體的要素， 那 么第二個問題就容易回答了。物理實體的要素不能夠通過由原因推出結(jié)果的哲學(xué)理念來決定， 而必須由實 驗和計算的結(jié)果來發(fā)現(xiàn)。 然而對實體的完整的定義對于我們的目的來說不是必要 條件。我們會對接下來這個我們認為

4、是合理的標準感到滿意： “ 如果在不對系統(tǒng) 造成任何干擾的情況下，我們可以準確地預(yù)測（即，以等于 1 的概率）一個物 理參量的值，那么就存在一個物理實體的要素對應(yīng)于這個物理參量。 ”看起來， 這個標準決不是讓我們窮盡所有可能的方法去認知一個物理實體。 至少它給我們 提供了這樣一個方法條件在事物發(fā)生的一刻確定了。 只要這個標準不是被看作一個必要條件，而是僅僅作為一個充分條件，那么它就同樣適用于經(jīng)典物理以 及量子力學(xué)中對實體的概念。為了解釋說明這個包含著的概念，讓我們假設(shè)量子力學(xué)對粒子行為的描述有單一的自由度。這個理論的基礎(chǔ)概念是“態(tài)”。態(tài)被認為是由波函數(shù)？完全描述。波函數(shù)由所選擇的變量來描述粒子

5、的行為。對應(yīng)于每一個物理可觀測量A，有一個可以是用同一個字母來表示的算符。如果 是算符 A的特征函數(shù)，也就是說：(1)式中物理量a是一個數(shù)。一旦粒子處于由描述的態(tài)中，物理量A就被賦予了一個確定的值a。與我們對于實體的標準一致，一個粒子處于由描述的態(tài)中,滿足等式（1）,有一個對應(yīng)于A的物理實體的要素。例如:(2)這里h是普朗克常量，po是一個常數(shù)，x是一個不確定的變量。由于算符對應(yīng)于粒子的動量：（3）我們得到：0 = pM*( 4)那么，在由等式（2）確定的態(tài)中，動量具有確定的值 Po。這樣說粒子的動量在 等式（2）確定的態(tài)中是實際存在的就有意義了。另一方面如果等式（1）不成立，我們不能夠說物理

6、量 A有特定的值。下面 舉粒子坐標的例子。坐標對應(yīng)的算符，設(shè)為 q,是算符與獨立變量的乘積。 那么，人： （5）用符合量子力學(xué)的觀點我們只能說測量坐標所得的結(jié)果介于a , b之間的可能為：h） I ppdx = I dx b 人 “（6）由于這個可能是獨立于a的，但是僅取決于b-a的差值。因此我們知道坐標的所 有值都是等可能的。處于由等式（2）確定的態(tài)中的粒子，它的坐標的確切值是不可觀測得。但 是可以僅由一個直接的測量來得到。然而這樣的一個測量干擾了粒子，并且改變 了它的態(tài)。當它的坐標被確定之后，這個粒子已經(jīng)不再在由（2）所確定的態(tài)中 了。量子力學(xué)中由此得到的常見的結(jié)論是 “當一個粒子的動量確

7、定之后， 它的坐 標不再是一個物理實體?！备毡榈?，量子力學(xué)中所講，設(shè) A，B是兩個物理量對應(yīng)的算符，它們不對 易，即ABBA。那么，它們其中一個的確切知識就會阻斷另一個的知識。更進 一步的，任何試圖通過實驗決定后一個的企圖都會改變系統(tǒng)的態(tài)，從而破壞了前者的知識。從而得到如下推論：（1）或者說，在量子力學(xué)中波函數(shù)對物理現(xiàn)實的描述是不完備的。（2）或者說，兩個對應(yīng)于不可對易算符的物理量不能同時是實在的。（即具有確定的值）因為如果它們同時都是實在的（具有確定的值），根據(jù)完備性條件，這些值將會 進入到完備描述中。如果這樣，波函數(shù)就會提供對實在的完備描述， 其中包括這 些值。這些值將會是可觀測得。但這

8、是不可能的，我們只能二選一。量子力學(xué)中通常假設(shè)波函數(shù)確實包含對物理實體的完備描述， 這個物理實體 處在于這個系統(tǒng)相對應(yīng)的態(tài)中。乍看之下，這個假設(shè)是完全合理的，因為從波函 數(shù)得到的信息看上去準確的符合測量量而不影響系統(tǒng)的狀態(tài)。 然而，我們要指出 的是，這個假設(shè)與上面給出的物理實體的標準是相矛盾的。2基于這個目的，讓我們設(shè)想有兩個系統(tǒng)，I和II。我們允許它們在t=0到t=T 之間相互作用，過了這個時間之后，假設(shè)這兩部分間不再有相互作用。 再進一步 假設(shè)這兩個系統(tǒng)在t=0之前的狀態(tài)是已知的。然后根據(jù)薛定諤方程，我們可以計 算出在其后任意時刻聯(lián)合系統(tǒng)I+II的狀態(tài)，尤其是在任意t>T的時刻。用相

9、應(yīng)的 波函數(shù) 來指出。然而，在相互作用之后，我們不能計算任何一個系統(tǒng)的狀態(tài)。 根據(jù)量子力學(xué)，這只能通過更進一步的測量，通過一個“波包衰減”的過程。讓 我們考慮一下這個過程的實質(zhì)。設(shè)ai,a2,a3是某個物理參量A附屬于系統(tǒng)I的特征值。對應(yīng)的特征方程為U1（X1）, U2（X1）, U3（X1）,其中xi代表用來描述系統(tǒng)I的變量的值。那么，xi的一個方程可表示為0業(yè)（尤 1,血）=龍轉(zhuǎn) T（ 7）災(zāi)表示描述第二個系統(tǒng)的變量的值。這里'-；n（X2）僅僅被看作是函數(shù)V展開 成為一系列正交函數(shù)Un（x1）的系數(shù)。現(xiàn)在假設(shè)參量A被測量，且具有值ak。接著可以得出在測量之后，第一個系統(tǒng)遺留在由波

10、函數(shù)Uk（X1）決定的態(tài)中，而第二個系統(tǒng)遺留在由波函數(shù)' k（X2）決定的態(tài)中。這就是波包衰減的過程；由無窮級數(shù)給 出的波包衰減為單一的項k（X2）Uk（X1）。函數(shù)Un（XI）的集合由物理參量A的選擇決定。代替這些，如果我們選擇另一個參量，設(shè)為B，它具有特征值'以及特征方程譏（尙），51（X1）,訊珀，代替等式（7），我們可以得到展開式巫（兀1,= K只仇）（兀）I（ 8）其中廠是新的系數(shù)。如果現(xiàn)在B被測量了，且具有值br，我們于是得出在測量之后，第一個系統(tǒng)遺留在由“ 給出的狀態(tài)中，第二個系統(tǒng)處在由夠廣（兀給出的態(tài)中。因此我們知道，作為在第一個系統(tǒng)上實行的兩個不同計算的后承，

11、第二個系 統(tǒng)可能處在這樣的狀態(tài)下，這個狀態(tài)具有兩個不同的波函數(shù)。 另一方面，由于在 測量的同時亮個系統(tǒng)不再相互作用， 在第二個系統(tǒng)中，并不會由于任何作用于第 一個系統(tǒng)的東西而產(chǎn)生真正的改變。當然，這僅僅是由于兩系統(tǒng)間相互作用的缺 少所表現(xiàn)出的聲明。那么，就有可能對同一個實體（與第一個系統(tǒng)相互作用之后 的第二個系統(tǒng)）安排兩個不同的波函數(shù)（在我們舉的例子里是T和L ）現(xiàn)在，可能會出現(xiàn)這種情況：這兩個波函數(shù)T和L分別是兩個不可對易算?。?符P和Q的特征方程。這可能的確是可以由一個例子展現(xiàn)的情況。我們假設(shè)這 兩個系統(tǒng)斯兩個粒子，而且：（9） 其中xo是某個常數(shù)。設(shè)A是第一個粒子的動量，然后，就像我們在

12、等式（4） 所知道的，對應(yīng)于特征值p，它的特征方程為：(10)P(X2)Up(Xi)dpt由于我們在這里有一個連續(xù)譜的情況。等式（7）現(xiàn)在寫為:(11)其中,為（兀=曠（2司冊3-列“（這個-是算符P的特征方程。P （Z?/2W） 3/3x2,（13）對應(yīng)于第二個粒子的動量的特征值 -p。另一方面，如果B是第一個粒子的坐標, 它具有對應(yīng)于特征值x的特征方程(14)哄血）=3血一幼其中fJ： V1 '是著名的狄拉克S函數(shù)。等式（8）在這種情況下變?yōu)?巫（切血）=(15)7T訐帕3劭+盹）吃/pS(兀 Q =xa+xo).(16)其中,這個是算符Q的特征方程(17)Q = 2對應(yīng)于第二個粒

13、子的坐標的特征值 二。由于PQ_QP = h 站、(18)我們已經(jīng)指出，對應(yīng)于物理參量，T和L是兩個不可對易算符的本征方程是普 遍可能的。現(xiàn)在回到等式（7）和（8）所關(guān)注的普通的情況。假設(shè)T和廠 真是某不可 對易算符P和Q的特征方程。分別對應(yīng)于特征值,和W。那么，通過測量A 或者B，我們能夠在不以任何方式干擾第二個系統(tǒng)得情況下，確切的預(yù)測無論是P的值（即力無）還是Q的值（即9）。與我們對實體的定義標準相符合，在第 一種情況下，我們必須參量 P是實體的要素；在第二種情況下參量 Q是實體的 要素。但是，正如我們所知道的，波函數(shù) r和都屬于同一個實體。之前我們證明了（1）或者說，在量子力學(xué)中波函數(shù)對物理實在的描述是不完備的；（2）或者說，兩個對應(yīng)于不可對易算符的物理量不能同時是實在的。然后假設(shè)波函數(shù)確實對物理實體進行了完備性描述， 我們得出這樣的結(jié)論： 兩個 對應(yīng)于不可對應(yīng)算符的物理量可是同時是實在的。那么，對（ 1）的否定導(dǎo)致了 對為一個另一種情況（ 2）的否定。因此我們被迫推論出量子力學(xué)通過波函數(shù)對 物理實體的描述是不完備的。一個人可以以我們對物理實在的定義標準不是充分嚴格的理由來反對這個 結(jié)論。實際上，如果一個人堅持認為， “只有當兩個或者更多的物理參量可以同 時被測量或預(yù)測” 的情況下， 它們可以被認為是實體的同時存在的要素， 那