第九章第1節(jié)簡諧振動l

1、第九章第九章振振 動動 和和 波波第九章第九章 振動和波振動和波廣義的廣義的振動振動物理量隨時間作周期性變化稱為振動。物理量隨時間作周期性變化稱為振動。（2）周期性）周期性在在 T時間內(nèi)狀態(tài)能完全重復(fù)。時間內(nèi)狀態(tài)能完全重復(fù)。 振動是自然界中最普遍的運動形式之一。振動和波在力學(xué)、振動是自然界中最普遍的運動形式之一。振動和波在力學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。特點：特點：（1）有平衡點，且具有重復(fù)性。有平衡點，且具有重復(fù)性。Vibration and wave機械振動機械振動物體在某一位置附近作往復(fù)運動。物體在某一位置附近

2、作往復(fù)運動。 機械振動分類機械振動分類按振動規(guī)律分：按振動規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機振動簡諧、非簡諧、隨機振動。 其中簡諧振動是最基本最簡單的振動，其中簡諧振動是最基本最簡單的振動，稱作諧振動的微分方程。稱作諧振動的微分方程。 彈簧振子是理想模型彈簧振子是理想模型 Spring/harmonic OscillatorkmoxXfgmN在水平方向上：在水平方向上：kxf 由牛頓第二定律，有：由牛頓第二定律，有：22ddtxmkx 令：令：,2 mk則有：則有：0dd222 xtx 9-1 簡諧振動簡諧振動 一、簡諧振動的微分方程和運動方程一、簡諧振動的微分方程和運動方程（負號表示力與位移方向相反

3、）（負號表示力與位移方向相反）1、簡諧振動的微分方程、簡諧振動的微分方程2、運動學(xué)方程：、運動學(xué)方程：由：由：, 0dd222 xtx 可解得：可解得：tCtCx cossin21 )cos( tAx或：或：一般寫成：一般寫成：)sin( tAx本課程采用余弦形式本課程采用余弦形式因而簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動因而簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動簡諧振動的定義：若質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系可以用簡諧振動的定義：若質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系可以用)cos( tAx表示，質(zhì)點的運動稱為諧振動。表示，質(zhì)點的運動稱為諧振動。描述簡諧振動的物理量描述簡諧振動的物理量A、，稱特征量。稱特征量。otx)cos

4、( tAx)2cos( tA)cos(2 tA)sin(dd tAtxv)cos(dd2 tAtva3、簡諧振動的加速度與速度、簡諧振動的加速度與速度)cos( tAx由由質(zhì)點振動的速度質(zhì)點振動的速度質(zhì)點振動的加速度質(zhì)點振動的加速度質(zhì)點振動的速度和加速度也是諧振動質(zhì)點振動的速度和加速度也是諧振動若位移若位移x，滿足，滿足kxf 簡諧振動的判椐：簡諧振動的判椐：, 0dd222 xtx 或或)cos( tAx或或則稱則稱x作簡諧振動（較為廣泛，不僅適用于機械振動）作簡諧振動（較為廣泛，不僅適用于機械振動）(2)角頻率角頻率：angular frequency 振動的快慢振動的快慢周期周期T: P

5、eriod)(cos)cos( TtAtA 2 T /2 T頻率頻率： 21 T(3)初相位初相位： tPhase 描述運動狀態(tài)的量描述運動狀態(tài)的量為初相位，為初相位，Initial Phase(1)振幅振幅A: amplitude 離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）4、諧振動的三個特征量、諧振動的三個特征量)2cos( tA5、位移、速度和加速度的相位關(guān)系、位移、速度和加速度的相位關(guān)系)cos( tAxtxvdd )sin( tAtvadd )cos(2 tA以上結(jié)果表明：以上結(jié)果表明：(1)v,a與與x的的相同相同(2)AaAv2maxmax, (3)

6、a與與x方向相反，且成正比方向相反，且成正比振幅振幅)cos( tAx)2cos( tAv)cos(2 tAax、v、a相位依次差相位依次差/2。寫寫成成二、初始條件確定振幅和初相位二、初始條件確定振幅和初相位初始條件：初始條件：00, 0vxt )1(cos0 Ax sin0Av 寫為：寫為：)2(sin0 Av ,)2()1(22 得：得：220202 vxA 22020 vxA 得：得：),1/()2(00/tgxv 即：即：)tg(arg00 xv 有兩個值，需（有兩個值，需（1）或（或（2）進行篩選。）進行篩選。也可直接由（也可直接由（1）或由（）或由（2）求出）求出。三、坐標原點的

7、選取對于振動方程的影響三、坐標原點的選取對于振動方程的影響(以豎直彈簧振子為例以豎直彈簧振子為例)mgky 022ddtymmgkyF 0)()(dd0022 yymkyyt)cos( tAxOOyymm0yxx自由端自由端,平衡位置平衡位置O OO以以為坐標原點為坐標原點:O以以 為坐標原點為坐標原點:0yyx 0)cos(ytAy 在建立諧振子的振動方程時在建立諧振子的振動方程時,選平衡位置為坐標原點最合適。選平衡位置為坐標原點最合適。0dd22 lgtlg sindd222mgltml 例題例題1 單擺單擺 Simple Pendulum解：單擺受力如圖所示解：單擺受力如圖所示gmtF

8、T sinmgFt 對懸掛點的力矩：對懸掛點的力矩： sinmglM 由：由： JM 若若很小，則有：很小，則有： sin即：即：0dd222 t其中：其中：)cos( t例題例題2半徑為半徑為R的圓環(huán)靜止于刀口的圓環(huán)靜止于刀口O點上點上,令其令其在自身平面內(nèi)作微小擺動在自身平面內(nèi)作微小擺動,證明其擺動為證明其擺動為諧振諧振,并計算其振動周期并計算其振動周期.證明證明:設(shè)圓環(huán)偏離角度為設(shè)圓環(huán)偏離角度為2222mRmdmRJ 22ddtJJM sin,RmgM RmgRmgtmRsindd222202dd22 Rgt因此所作振動為諧振因此所作振動為諧振gRT22 Rg2 o四四 、諧振動的其它表

9、示法、諧振動的其它表示法1、振動曲線法、振動曲線法（1）振動曲線的峰（或谷）對應(yīng)）振動曲線的峰（或谷）對應(yīng)的位移的大小即是振幅的位移的大小即是振幅 .（2）振動曲線上表示振動狀態(tài)）振動曲線上表示振動狀態(tài)相同的相鄰兩點對應(yīng)的時間間隔相同的相鄰兩點對應(yīng)的時間間隔就是周期就是周期T 。（3）由初狀態(tài)）由初狀態(tài)v0、x0可得出初可得出初相位相位。（4）尤其判斷振動的超前與落后非常直觀。）尤其判斷振動的超前與落后非常直觀。Rotating vector method1.參考圓法參考圓法 沿逆時針方向作勻速圓周運動的質(zhì)點在某一直徑上（取沿逆時針方向作勻速圓周運動的質(zhì)點在某一直徑上（取在在x軸）的投影的運動

10、為簡諧振動。軸）的投影的運動為簡諧振動。半徑半徑R振幅振幅A角速度角速度角頻率角頻率 t時刻時刻A矢量在矢量在x軸上的投影軸上的投影)cos(0 tAx初始矢徑與初始矢徑與x軸的交角軸的交角初相位初相位o0 tA 0 t x2.旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 AxO 用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更直觀、更直觀、更方便，必須掌握。更方便，必須掌握。表示出三個特征量表示出三個特征量2、旋轉(zhuǎn)矢量表示法、旋轉(zhuǎn)矢量表示法例題例題3一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅 A=0.12m，周期，周期T=2s，當當 t=0 時，質(zhì)點對平衡位置的位移時，質(zhì)點對平衡位置的位移 x0=0.06m，此時

11、向，此時向x軸正軸正向運動。向運動。求：求：(1)此振動的表達式此振動的表達式 (2)t=T/4時，質(zhì)點的位置、速度、加速度時，質(zhì)點的位置、速度、加速度 (3)從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間 解解:(1)取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點設(shè)設(shè))cos( tAx其中其中1s2 TA亦為已知，只需求亦為已知，只需求由由t=0s時，時，x0=0.06m，可得：，可得： cos0Ax 2/112. 0/06. 0/cos0 Ax 在在-到到之間取值：之間取值：3 取哪一個值要看初始條件，由于：取哪一個值要看初始條件，由于：)sin( tAv所以：所以

12、： sin0Av 由于由于t=0時，質(zhì)點向正時，質(zhì)點向正 x 方向運動，所以方向運動，所以 v00因此，應(yīng)取：因此，應(yīng)?。? 于是，此簡諧振動的表達式：于是，此簡諧振動的表達式：)SI()3cos(12. 0 tx利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解很直觀，利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解很直觀，根據(jù)初始條件就可畫出如圖所根據(jù)初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從示的振幅矢量的初始位置，從而得到：而得到：O0 x0v x(2)sin( tAv)3sin(12. 0 t)cos(2 tAa)3cos(12. 02 t將將 t=T/4=0.5s 代入上兩式，以及位移表達式，可求得：代入上兩式，以及位移表達式，可求得：時

13、時s5 . 0 tm104. 0 xm/s189. 0 vm/s03. 1 a此時旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：此時旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖： A (3)通過平衡位置時，通過平衡位置時，x=0，由位置表達式，可得：，由位置表達式，可得：)3cos(12. 00 t由此可得：由此可得：, 2 , 1,2)12(3 kkt / )6/( kt第一次通過，取第一次通過，取k=1，又由于，又由于=/s，所以：，所以：s83. 065 t從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原從起始時刻到第一次質(zhì)點通過原點，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：點，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為： A 6/52/3/2/ 故：故： /65 ts83. 0 有旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：有

14、旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：例題例題4 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，試寫出其運動方程。示，試寫出其運動方程。0121 2 )(st)(cmxs1解：設(shè)該簡諧振動的運動方程為解：設(shè)該簡諧振動的運動方程為)cos( tAx根據(jù)已知條件求出各量代入上式根據(jù)已知條件求出各量代入上式即可即可由圖可知，由圖可知，A=2cm，當，當t=0時時cm1cos20 x,21cos 32 所所以以因為：因為：v00, 32 所以所以0sin,sin0 故故Av畫出矢量圖：畫出矢量圖： 32, 0100 故故和和滿足滿足vx又知又知 t=1s 時，位移達到正的最大值

15、，時，位移達到正的最大值，即：即：AA )1cos( 故：故： 2 342 因而有：因而有：)(cm)3234cos(2 tx0121 2 )(st)(cmxs1x1 3232)(sin21212222 tmAmvEk 簡諧振動的勢能：簡諧振動的勢能： );(cos2121222 tkAkxEp 五五 、簡諧振動的能量、簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例以水平的彈簧振子為例)(sin2122 tkAkmoxX 簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()( tAtxmk / 222221)(cos)(sin21kAttkA pkEEE 簡諧振動的總能量：簡諧振動的總能量：彈性力是保守力，總機械

16、能守恒，即總能量不隨時間變化。彈性力是保守力，總機械能守恒，即總能量不隨時間變化。AkEpE221kAE Ao 202241dcos2kAttTkAT 勢能的時間平均值勢能的時間平均值: TPttkATE022d)(cos211 動能的時間平均值動能的時間平均值: TkttkATE022d)(sin211 202241d)(sin2kAttTkAT 總能的時間平均值總能的時間平均值:* * 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還 反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。* * 任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比任一

17、簡諧振動總能量與振幅的平方成正比* * 彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機械能的一半。等于總機械能的一半。 結(jié)論：結(jié)論：EEEpK21 221kAEEEpk 022/Mv Mv vt3.用余弦函數(shù)描述一些振子的振動，若速用余弦函數(shù)描述一些振子的振動，若速度度-時間函數(shù)關(guān)系如圖，則振動的初相位時間函數(shù)關(guān)系如圖，則振動的初相位為為/6；/3；/2；5/6x2/Mv Mv 02/sin, 2/, 000MMvAvvvt ,65,6,21sin 6/0(cos, 0 ）這這時時tAxx4.無阻尼自由簡諧振動的周期和頻率由無阻尼自由簡諧振動的周期和頻率由 所所決定