第二章信號系統(tǒng)的時域分析

1、2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述2.1.1 微分方程的建立與求解 線性時不變（LTI）系統(tǒng)是最常見最有用的一類系統(tǒng)，描述這類系統(tǒng)輸入輸出特性的是常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程。從系統(tǒng)的模型微分方程出發(fā)，在時域中研究輸入信號通過系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時域特性的重要方法，這種方法就是時域分析法。2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述( )0i t ( )0u t ( )( )RRutRit( )( )RRitGut1( )( )tccu tidC( )( )ccdu ti tCdt( )( )LLdi tutLdt1( )( )tLLi tudL對任一節(jié)點，有 對任一回路，有 對于電阻R：電容C：電

2、感L：2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述例例2-12-1 右圖是一階線性時不變系統(tǒng)。根據(jù)KVL： 根據(jù)VCR： ( )( )( )Rcf tutu t( )( )RutRi t( )( )cdu ti tCdt( )( )( )ccdu tf tRCu tdt整理得 ：( )11( )( )ccdu tu tf tdtRCRC響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)激勵及其各階導(dǎo)數(shù)2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述例例2-2 右圖是二階線性時不變系統(tǒng)。 ( )( )( )ci tf ti t根據(jù)VCR： 根據(jù)KCL：根據(jù)KVL： ( )( )( )cRLu tutu t( )( )RutRi t( )( )ccdu ti tCdt(

3、 )( )Ldi tutLdt 11( )( )( )( )( )cccRRututu tf tf tLLCCLC2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng) ，其微分方程的一般形式為：( )(1)()(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnmmytayta y tb ftbftb f t( )y t( )f t式中，為系統(tǒng)的響應(yīng)變量（電流或電壓），為系統(tǒng)的激勵信號（電流源或電壓源）。 2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述 連續(xù)時間系統(tǒng)可以用N階常系數(shù)微分方程描述。因此求連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)可以轉(zhuǎn)化為求解微分方程。求解微分方程的方法一般有兩種：時域經(jīng)典法和變換域法。 2.1.2 連續(xù)時

4、間系統(tǒng)的響應(yīng)2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述2.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)1. 時域經(jīng)典法 時域經(jīng)典法可以把系統(tǒng)響應(yīng)分為齊次解和特解求解，或者用時域卷積法，把系統(tǒng)響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)求解。用齊次解和特解求解的一般思路和步驟是： (1)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即系統(tǒng)的微分方程； (2)根據(jù)方程的特征根確定齊次解的形式； (3)根據(jù)方程右邊激勵信號的形式確定特解形式； (4)將齊次解和特解相加得到方程的全解： (5)根據(jù)初始條件求解待定系數(shù)。2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述( )( )( )ZIZSy tytyt 線性動態(tài)電路的完全響應(yīng)通?？煞譃榱爿斎腠憫?yīng)(ZIR,Zero-Input Response

5、)和零狀態(tài)響應(yīng)(ZSR,Zero-State Response)兩部分，即2.1.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述2. 零輸入響應(yīng)（零輸入響應(yīng)（Zero-Input Response） 從觀察的初始時刻起，不再施加輸入信號（即零輸入），僅由該時刻系統(tǒng)本身具有的初初始狀態(tài)始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，或稱為儲能響應(yīng)。2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述0t 0t(0 )cu(0 )Li(0 )cu(0 )Li在研究以后的響應(yīng)時，時的值和稱為初始狀態(tài)初始狀態(tài)，而時的值和稱為起始值（起始條件）起始值（起始條件）。 0t2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述零輸入響應(yīng)可通過求解線性齊次微分方程得到。

6、例例2-3 解：步驟一：寫出系統(tǒng)的微分方程：( )11( )( )ccdu tu tf tdtRCRC( )( )0ccdu tu tdt步驟二：零輸入響應(yīng)即輸入為0。微分方程可化為：步驟三：解該齊次微分方程：)()0()()0()(tueuteututctcc故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為)(2)(tuetutc2.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述3. 零狀態(tài)響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-State Response） 在初始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)僅由外加輸入（激勵）信號引起的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)，或稱為受激響應(yīng)。2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)1. 沖激響應(yīng) 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)，它的定義如

7、下：LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位沖激信號引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)一般地，形如 的一階系統(tǒng)，在作用下其微分方程為則沖激響應(yīng)為( )( )( )y tay tbf t( )( )( )y tay tbt( ) t)()(tubethat2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2. 階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)，它的定義如下：LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位階躍信號引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為g(t)。2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)( ) t( )( )( )y tay tbt一般地，形

8、如 的一階系統(tǒng)，在作用下其微分方程為則階躍響應(yīng)為( )( )( )y tay tbf t)(1)(tueabtgat2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)h(t)與g(t)的關(guān)系：)()(tut)()(tudt有，利用線性系統(tǒng)的性質(zhì)而)()()()(tgtutht)()(tgth)()(tgdht 前面我們學(xué)習(xí)了一階系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求法。若我們碰到二階，三階等多階系統(tǒng)，要求解其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，解微分方程的方法就會比較復(fù)雜。 那么，對于一般的LTI系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)已知，對于任意的輸入信號如何快捷的求解出系統(tǒng)的ZSR？h(t)任意f(t)(tyzs2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法二者做

9、卷積運算定義為和對于任意兩個信號),()(21tftfdtfftftf)()()()(2121積分結(jié)果一般是關(guān)于參變量t的函數(shù)。2.3.1 連續(xù)信號的卷積積分及其性質(zhì)：1. 卷積解析法2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法圖形掃描法的步驟：)(),(21fft，得到換為把)()(22ff，得到替換反褶，用)()(12112tfttf，得到替換，用平移)()()(),()()()(12112121tfftftfftff然后求積分值相乘，得到與函數(shù)函數(shù))()()()(212tftftftf軸平移，可得到連續(xù)地沿將波形卷積的結(jié)果一定是關(guān)于t的函數(shù)。2. 卷積圖解法例：求卷積積分。-220t)(1tf2*2

10、0t)(2tf3/4-220)(1f220)(2f3/4-20)(2f3/4-220)(1f20)(2tf3/4t-2tt-2t)(2tf-20t)()()(21tftftf2432.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法3. 卷積的性質(zhì)（1）交換律 )()()()(1221tftftftf)(t把積分變量改換成，即可證明此定律2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法（2）分配律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。)(1th)(2thf(t)(tyzs+并聯(lián)系統(tǒng)的)()()(21ththth

11、)()()()()()(21ththtfthtftyzs2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法（3）結(jié)合律 )()()()()()(321321tftftftftftf結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。串聯(lián)系統(tǒng)的)()()(21ththth)(1th)(2thf(t)(tyzs)()()()()()(21ththtfthtftyzs2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法（4）延時特性： )()()()()()(2121222111tttutttyttuttfttuttf 根據(jù)時不變特性，有)()()(21tytftf若2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法（

12、5）微分特性 ： )()()()( )()(212121tftftftftftf 兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積。2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法（6）積分特性： )()()()()()(212121tfdfdftfdffttt 兩函數(shù)卷積后的積分等于其中一函數(shù)積分與另一函數(shù)之卷積。2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法4. 奇異信號的卷積)()()()()(111ttuttftttutf)()()()()(tftftttf)( )()()()(tfttfttf某函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積就是它本身。利用微分特性tdftutf)()()(2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積分析方法2.3.2 連

13、續(xù)系統(tǒng)的卷積分析方法：LTI系統(tǒng)任意f(t)(tyzsdtftf)()()()(t)(th)(ntp)(nth)()(ntpnf)()(nthnf)(tp)(thnntpnf)()(nnthnf)()()()(),()(,),()(, 01ththttpdntftf逼近dthftyzs)()()()()(ttf)()(thtf若LTI系統(tǒng)的f(t)，h(t)已知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為dthfthtftyzs)()()()()(h(t)任意f(t)(tyzs)()()()()(tgtftgtftyzs注意事項：若信號f(t)，h(t)都為因果信號，dthfthtftytzs0)()()()()(例

14、?)()()(),()(tytutftuethzst系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時對應(yīng)求當(dāng)激勵為已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng))()1 ()()()()()(tuetuetuthtftyttzs從例題可看出，系統(tǒng)時域分析是借助卷積來實現(xiàn)的。所以，理解卷積的物理概念很重要。其次，就是卷積的計算是分析的基礎(chǔ)。f(t)(tyzs)(1th)(2th)(1th)(2thf(t)(tyzs+2.4.1 差分方程描述：2.4 離散時間系統(tǒng)的描述0101( )(1)()( )(1)()NMa y na y na y nNb f nb f nb f nM 離散時間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)，指輸入信號是離散信號，輸出也是離散信號的系統(tǒng)。 離

15、散時間LTI系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來描述，其一般形式表示為： 例例1：y(n)表示一個國家在第表示一個國家在第n年的人口數(shù)，年的人口數(shù)， a、b分別代表出生率和死亡分別代表出生率和死亡率，是常數(shù)。設(shè)率，是常數(shù)。設(shè)f(n)是國外移民的凈增數(shù)，則該國在第是國外移民的凈增數(shù)，則該國在第n+1年的人口總數(shù)年的人口總數(shù)y(n+1)為多少？為多少？y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+f(n)=(a-b+1)y(n)+f(n)所以，有所以，有 y(n+1)+(b-a-1)y(n)=f(n) 例例2：某人還款某人還款f(n)元元 ，銀行月利息為，銀行月利息為r ，試問用戶在第，試問用戶在第n

16、個月末的欠款余個月末的欠款余額額y(n)?有有 y(n)=(1+r)y(n-1)-f(n)2.4 離散時間系統(tǒng)的描述1.經(jīng)典法基本步驟：1）求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（差分方程、傳輸算子等）；）求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（差分方程、傳輸算子等）；2) 寫出特征方程，并求出特征根（自然頻率）；寫出特征方程，并求出特征根（自然頻率）；3）根據(jù)特征根，求對應(yīng)齊次方程通解）根據(jù)特征根，求對應(yīng)齊次方程通解y0(k)；4）根據(jù)激勵形式求非齊次方程特解）根據(jù)激勵形式求非齊次方程特解yt(k) ；5）寫出非齊次方程通解）寫出非齊次方程通解 y(k)= y0(k) + yt(k) ：6）根據(jù)初始值求待定系數(shù)；）根據(jù)初始值求待定系數(shù)；7

17、）寫出給定條件下非齊次方程解。）寫出給定條件下非齊次方程解。不同特征根對應(yīng)的齊次解形式 常用激勵信號對應(yīng)的特解形式 2.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4.2 離散時間系統(tǒng)的模擬 系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)方式有三種:1. 系統(tǒng)的級聯(lián)12( )( )*( )( ) .( )ry nf nh nh nh n12( )( )( ) .( )rh nh nh nh nh(n)2.4.2 離散時間系統(tǒng)的模擬2. 系統(tǒng)的并聯(lián)12( )( )*( )( )( ) .( )( )ry nf nh nf nh nf nh nh(n)12( )( )( ).( )rh nh nh nh n2.4.2 離散時間系統(tǒng)的模擬3. 系統(tǒng)的反

18、饋2.5 離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)求解方法: 迭代法和等效初始條件法。2.5 離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng) 1） 迭代法 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)00)()() 1()(kkykfkayky當(dāng)當(dāng) f(k)= (k), y(k)=h(k)時，有時，有 )() 1()(kkahkh00)()() 1()(kkhkkahkh1)0() 1()0(ahh)() 1 ()0() 1 (aahh2)() 2() 1 () 2(aahh)()()(nUanhn)()()(kUakhk2.5 離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng) 1） 迭代法高階系統(tǒng)：高階系統(tǒng)：)()2(6) 1(5)(k

19、fkykyky解：解：例：例：求單位序列響應(yīng)求單位序列響應(yīng)h(k)，已知描述系統(tǒng)的差分方程為，已知描述系統(tǒng)的差分方程為)() 3( 3)2(2)(kUkhkk)() 3()2(11kUkk3,221EE10652 EE)() 3()2()(21kUAAkhkk)()2(6) 1(5)(kkhkhkh)0()2(6) 1(5)0(hhh) 1 () 1(6)0(5) 1 (hhh)0(21AAh)3()2() 1 (21AAh521A32A遞推求初值：遞推求初值：代入通解求待定系數(shù)：代入通解求待定系數(shù)：2.5 離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng) 2. 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)求解方法主要有： （

20、1）用經(jīng)典法求解差分方程； （2）利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系： nkg nh k( )( )(1)h ng ng n， 2.6 離散系統(tǒng)的卷積和分析方法 2.6.1離散信號的卷積和及其性質(zhì)1.圖解法求卷積和( )( ) kf nh nf k h nk1）f(k)、h(k) f(m)、h(m)2） h(m) h(-m) （折疊）（折疊）3） h(k-m) （平移）（平移）4） f(m) h(k-m) （相乘）（相乘）5） 求和計算求和計算)(*)()(khkfky解解：01. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky2.6 離散系統(tǒng)的卷積和分析方法 2. 卷積和的性質(zhì)（1）交換律：1221( )( )( )( )f nfnfnf n（2）結(jié)合律：1212( )( )* ( )( ) ( )* ( )f nfnh nf nfnh n（3）分配律：1212( )( )* ( )( ) ( )* ( )f nfnh nf nfnh n2.6