第五章數(shù)字特征和特征函數(shù)(1,2)

1、 第五章第五章 數(shù)字特征數(shù)字特征和特征函數(shù)和特征函數(shù) 一、數(shù)學(xué)期望的定義一、數(shù)學(xué)期望的定義 先看先看一個例子，引出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望值的定義。一個例子，引出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望值的定義。 假設(shè)假設(shè)有三個射手，他們射擊命中目標(biāo)的環(huán)數(shù)分別為有三個射手，他們射擊命中目標(biāo)的環(huán)數(shù)分別為離散型離散型試比較誰的射擊技術(shù)更好？試比較誰的射擊技術(shù)更好？隨機變量隨機變量 X X，Y Y，Z Z，它它們們的概率分布的概率分布分別分別為為：由上述討論的啟發(fā)，我們引出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。由上述討論的啟發(fā)，我們引出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。 9 . 82 . 0*105 . 0*93 . 0*89 .

2、 72 . 0*95 . 0*83 . 0*7XP8973.02.05.0YP89103.02.05.0ZP89103.02.05.02 . 95 . 0*102 . 0*93 . 0*8即平均值的定義。不但要考慮其取的值，還要考慮其概率。即平均值的定義。不但要考慮其取的值，還要考慮其概率。 定義定義 5- 5-1 1 設(shè)設(shè) X X 是離散型隨機變量，其概率分布為是離散型隨機變量，其概率分布為,.,.,2, 1 ,nkpxXPkk若級數(shù)若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)的和為隨機變量絕對收斂，則稱該級數(shù)的和為隨機變量kkkpx1X X 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（mathematical expectati

3、onmathematical expectation）（或均值（或均值（mean valuemean value），），記作記作，即即EXkkkpxEX1若級數(shù)若級數(shù)不是絕對收斂，即不是絕對收斂，即kkkpx1則稱則稱隨機變量隨機變量 X X 的數(shù)學(xué)期望不存在。的數(shù)學(xué)期望不存在。kkkpx |1 隨機變量隨機變量 X X 的數(shù)學(xué)期望反映了的數(shù)學(xué)期望反映了 X X 取值的平均值，它由取值的平均值，它由分布完全決定。當(dāng)分布給定時，分布完全決定。當(dāng)分布給定時，數(shù)學(xué)期望為一數(shù)值（常數(shù)）數(shù)學(xué)期望為一數(shù)值（常數(shù)）。 我們假定級數(shù)絕對收我們假定級數(shù)絕對收斂，因而保證了級數(shù)的和與求和的斂，因而保證了級數(shù)的和與

4、求和的次序無關(guān)。次序無關(guān)。 XP1x2x.nx.1p.2pnp. 例例 5- 5-1 1 若隨機變量若隨機變量 X X 服從服從 0- 0-1 1 分布，試求它的數(shù)學(xué)分布，試求它的數(shù)學(xué)pppEX1)1 (0 解解 0-0-1 1 分布分布的分布律為：的分布律為： 0 1 0 1p1pP期望期望 EXEX。故有：故有：服從服從 0- 0-1 1 分布分布的的隨機變量隨機變量 X X 的的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望為期望為 ： p p 。 例例 5- 5-2 2 若隨機變量若隨機變量 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為的普阿松分布，即的普阿松分布，即ekkkXkpEXkkk11!)( 解解 因為因為參數(shù)為參數(shù)為的普阿

5、松分布為：的普阿松分布為：XP（），），試求試求它的數(shù)學(xué)期望它的數(shù)學(xué)期望 EXEX。)0,.(1 ,0 !)(ke kkXPk于是：于是：11)!1(kkke 0 1 2 0 1 2 k k P.e kk !e !00e ! 11e !22 例例 5- 5-3 3 若隨機變量若隨機變量 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p p 的幾何分布，即的幾何分布，即11)1 (kkppkEX 解解 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p p 的幾何分布的幾何分布：分布律為：分布律為：X XG G（p p），），求求 X X 的數(shù)的數(shù)學(xué)期望學(xué)期望 EXEX。 1p0 ,.1 , 0 )1 ()(1kppkXPpkk

6、 1 2 3 1 2 3 k k P.ppk 1)1 (ppp)1 ( pp2)1 ( 11)1 (kkpkp由于由于1| 110 xxxkk兩邊求導(dǎo)：兩邊求導(dǎo)： )11(201xkxkk上式令上式令 x=1-p x=1-p 即即2111)1 (ppkkk所以：所以：pppkEXkk1)1 (11故有：故有： 例例 5- 5-4 4 有一游戲，在一袋中有形狀大小完全一樣的有一游戲，在一袋中有形狀大小完全一樣的2020個個)10,20,10( HX球，其中紅、白球各球，其中紅、白球各1010個，記紅球為個，記紅球為1010分，白球為分，白球為5 5分。游戲分。游戲的規(guī)則為：某人從袋中隨機地抽取的

7、規(guī)則為：某人從袋中隨機地抽取1010個球，并且將個球，并且將 10 10個球的個球的分值相加，根據(jù)相加的分值由以下的表進行獎罰：分值相加，根據(jù)相加的分值由以下的表進行獎罰：其中三項負(fù)的表示應(yīng)罰的金額。其中三項負(fù)的表示應(yīng)罰的金額。分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50獎（元）獎（元） 50 30 20 10 -3 -5 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50 請問：你認(rèn)為這樣的游戲方式對他有利嗎？試分析說明。請問：你認(rèn)為這樣的游戲方式對

8、他有利嗎？試分析說明。設(shè)設(shè) X X 表示抽取表示抽取1010個球中紅球的個數(shù)，顯然個球中紅球的個數(shù)，顯然 X X 服從超幾何分服從超幾何分布，即布，即10,.,1 , 0 )(kCCCkXPnNknMNkM則有則有經(jīng)計算得經(jīng)計算得%00054. 0)10()0(10200101020010CCCXPXP%054. 0)9() 1(10201101020110CCCXPXP)10,20,10( HX分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50獎（元）獎（元） 50 30 20 10 -3 -5 5

9、0 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50設(shè)設(shè) X X 表示抽取表示抽取1010個球中紅球的個數(shù)，顯然個球中紅球的個數(shù)，顯然 X X 服從超幾何分服從超幾何分布，即布，即10,.,1 , 0 )(kCCCkXPnNknMNkM則有則有%054. 0)9() 1(XPXP%096. 1)8()2(XPXP%794. 7)7()3(XPXP%87.23)6()4(XPXP%37.34)5(XP%00054. 0)10()0(XPXP X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10%37.34P%7

10、94.7%794.7%096. 1%096. 1%054.0%054.0%87.23%87.23%00054. 0%00054. 0)10,20,10( HX分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50獎（元）獎（元） 50 30 20 10 -3 -5 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50設(shè)設(shè) X X 表示抽取表示抽取1010個球中紅球的個數(shù)，顯然個球中紅球的個數(shù)，顯然 X X 服從超幾何分服從超幾何分布，即布，即則有紅球的個數(shù)則有紅球

11、的個數(shù) X X 的分布：的分布： X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10%37.34P%794.7%794.7%096. 1%096. 1%054.0%054.0%87.23%87.23%00054. 0%00054. 0相應(yīng)的分值分布為：相應(yīng)的分值分布為：50556065707580859095100分值分值獎金獎金5030201035310203050 再設(shè)再設(shè) Y Y 表示每次游戲所獎的金額數(shù)（單位為元），表示每次游戲所獎的金額數(shù)（單位為元），所以所以 Y 的概率分布為：的概率分布為： Y -5 -3 10 20 30 50 Y

12、 -5 -3 10 20 30 50 P P 34.37% 47.74% 15.59% 2.191% 0.108% 0.001%34.37% 47.74% 15.59% 2.191% 0.108% 0.001%則由數(shù)學(xué)期望的定義可得則由數(shù)學(xué)期望的定義可得 元12. 1EX 假設(shè)假設(shè) X X 是一個連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)是一個連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)ni,.,2, 1取分點取分點)(xp，記記110.nxxx則則 X X 落在區(qū)間落在區(qū)間,1iiixxx中的概率為中的概率為 ,(1iixx當(dāng)當(dāng)xixi充分小時充分小時, ,就有就有11)(),(iiiidxxpxxXPni,.,2, 1此時

13、，此時，XX的的概率分布為概率分布為iiiixxpxxXP)(),(1XP1x0 x.nx00)(xxp.11)(xxpnnxxp)(離散型隨機變量離散型隨機變量XX可以看做是可以看做是X X的一種近似，而這個離散型的一種近似，而這個離散型隨隨機量機量XX的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為：niiiixxpxEX0)(當(dāng)分點愈密時，即當(dāng)分點愈密時，即00inixMax這種近似也就愈好，故這種近似也就愈好，故 dxxxpxxpxniiiiMaxni)()(lim000 xy)(xpyix1ix1x 定義定義 5- 5-2 2 設(shè)設(shè) X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為)(xp若

14、積分若積分絕對收斂，絕對收斂，即即dxxpx)(為隨機變量為隨機變量 X X 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望即即EX若若積分積分不是絕對收斂，即不是絕對收斂，即則稱則稱隨機變量隨機變量 X X 的數(shù)學(xué)期望不存在。的數(shù)學(xué)期望不存在。 與與離散型隨機變量離散型隨機變量一樣，連續(xù)型一樣，連續(xù)型隨機變量隨機變量 X X 的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期則稱則稱dxxpx| )(|dxxpx)(dxxpxEX)(dxxpx| )(|dxxpx)(望反映了望反映了 X X 取值的平均值，它由分布完全決定。當(dāng)分布給取值的平均值，它由分布完全決定。當(dāng)分布給定時，定時，數(shù)學(xué)期望為一數(shù)值（常數(shù)）數(shù)學(xué)期望為一數(shù)值（常數(shù)）。 （mathema

15、tical expectationmathematical expectation）。記作記作: : 例例5-5-5 5 設(shè)設(shè) X 服從均勻分布，即服從均勻分布，即XUa，b，試求試求 XdxxxpEX)( 解解 均勻分布均勻分布 XUa，b的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 均勻分布的數(shù)學(xué)期望，正好是區(qū)間均勻分布的數(shù)學(xué)期望，正好是區(qū)間a a， b b的中點。的中點。 01)(abxpbxa其它x0ab)(xpy ab 1 故有：故有：dxabxba1abxab2122ba 例例 5- 5-6 6 設(shè)設(shè) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即的指數(shù)分布，即XExp（），），

16、解解 X X 的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：試求試求 X 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望 EXEX。dxxxpEX)(xdex000dxexexx0)(xexp0 x0 xx0y)(xpy 故有：故有：dxexx00dxex01xe1 例例 5-7 設(shè)設(shè) X 服從正態(tài)分布，即服從正態(tài)分布，即),(2NX 解解 試求試求 X 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望 EXEX。dxexdxxxpEXx222)(21)(令令則,xydyeyEXy2221）（dyedyeyyy22222121 0二、二、 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 對于隨機變量對于隨機變量 X X 的函數(shù)的函數(shù))( XfY 也是隨機變量，則也是

17、隨機變量，則也可利用定義來求數(shù)學(xué)期望也可利用定義來求數(shù)學(xué)期望。 但是，這樣做往往比較煩瑣。我們可以應(yīng)用下列的定理，但是，這樣做往往比較煩瑣。我們可以應(yīng)用下列的定理，直接利用直接利用 X X 的概率分布或密度函數(shù)去求出的概率分布或密度函數(shù)去求出從而避免了求從而避免了求解解 Y Yf f（X X）的分布的過程。的分布的過程。 )( XEfEY 定理定理 5- 5-1 1 設(shè)設(shè) Y Yf f（X X）為隨機變量為隨機變量 X X 的函數(shù)，且的函數(shù)，且f f（X X）的數(shù)學(xué)期望存在的數(shù)學(xué)期望存在： （1 1）若）若 X X 為離散型隨機變量，其概率分布為為離散型隨機變量，其概率分布為則則 （2 2）設(shè)

18、）設(shè) X X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 p p（x x），）， 若若 Y = fY = f（X X）也是連續(xù)型隨機變量，則也是連續(xù)型隨機變量，則,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkkkkpxfXfEEY1)()(dxxpxfXfEEY)()()( 定理定理 5- 5-1 1 設(shè)設(shè) Y Yf f（X X）為隨機變量為隨機變量 X X 的函數(shù)，且的函數(shù)，且f f（X X）的數(shù)學(xué)期望存在的數(shù)學(xué)期望存在： （1 1）若）若 X X 為離散型隨機變量，其概率分布為為離散型隨機變量，其概率分布為則則 （2 2）設(shè)）設(shè) X X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機

19、變量，其密度函數(shù)為p p（x x），）， 若若 Y = fY = f（X X）也是連續(xù)型隨機變量，則也是連續(xù)型隨機變量，則,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkkkkpxfXfEEY1)()(dxxpxfXfEEY)()()( 證明（證明（1） 因為因為 X X 和和 Y Y 的分布律為：的分布律為：XP1x2x.nx.1p2pnp.)(XfY P)(1xf)(2xf.)(nxf.1p2pnp. 顯然有：顯然有：證明（證明（2） 略。略。kkkpxfXfEEY1)()( 對于隨機向量（對于隨機向量（X X， Y Y）的函數(shù)的函數(shù) Z Zf f（X X，Y Y）, ,我們有以我們有以下類似的結(jié)論

20、。下類似的結(jié)論。 定理定理 5- 5-2 2 設(shè)設(shè) Z Zf f（X X，Y Y）為隨機向量（為隨機向量（X X，Y Y）的函數(shù)，的函數(shù)，且且存在存在： （1 1）若（）若（X X，Y Y）為離散型隨機向量，其聯(lián)合概率分布為為離散型隨機向量，其聯(lián)合概率分布為則則（2 2）若（）若（X X，Y Y）為連續(xù)型隨機向量，其聯(lián)合密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機向量，其聯(lián)合密度函數(shù)為則則 定理定理 5- 5-1 1和和 定理定理 5- 5-2 2 在理論上和實用上都有重大意義，在理論上和實用上都有重大意義，),(YXfEijjipyYxXP),(,.,.,2,1mi ,.,.,2,1nj ijijjipyxfYX

21、fEEZ11),(),(),(yxpdxdyyxpyxfYXfEEZ),(),(),( 這里我們舉一些例子說明其應(yīng)用。這里我們舉一些例子說明其應(yīng)用。 證明證明 略。略。 例例5-5-8 8 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的普阿松分布，即的普阿松分布，即)(PX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（1 1）可知，可知， 試求試求2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 : : .2EX)(022kXPkEXkekkkk!02ekkkk!12ekkkk1)!1( 1) 1()!1()!1() 1(1111ekekkkkkk) 1( 例例 5- 5-9 9 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X X 服從

22、參數(shù)為服從參數(shù)為 p p 的幾何分布，即的幾何分布，即)(GX 解解 X X 的概率分布為的概率分布為: : 試求試求2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 : : .2EX,.2 , 1 )1 ()(1kppkXPk由定理由定理 5- 5-1 1（1 1）可知，可知， 1121122)1()1()(kkkkpkpppkXE2111)1 (ppkkk再由例再由例 5- 5-3 3 可知，可知， 即即 211)1 (pppkkk兩邊對兩邊對 p p 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 2311212) 1()1 (pppkkk即即 31122)1 (pppkkk從而從而 222ppEX 例例 5- 5-10 設(shè)設(shè) X 服從均勻

23、分布，即服從均勻分布，即 ,baUX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（2 2）可知，可知， 試求試求2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 : : .2EXdxxpxXE)()(22dxabxba12abxab313322baba 例例 5- 5-11 設(shè)設(shè) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即的指數(shù)分布，即 )(ExpX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（2 2）可知，可知， 試求試求2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 : : .2EXdxxpxXE)()(22dxexx02)(02xedx2002dxexexxxdxexx0222 例例 5- 5-12 設(shè)（設(shè)（X， Y）的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布

24、為 解解試求試求).(XYE123XY126/19/118/19/13/19/22131)(ijijjipyxXYE181)31 (91)21 (61)11 (91)32(92)22(31)12(925 例例 5- 5-13 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X X，Y Y 相互獨立，且均服從相互獨立，且均服從 解解 因為因為且且 X X， Y Y 獨立，獨立，) 1 , 0(N).(22YXE)()(),(ypxpyxpYX分布，試求分布，試求),1 , 0(),1 , 0(NYNX則（則（X X， Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為: :)(21222222212121yxyxeee則則dxdy

25、yxpYXEyx),()(2222 dxdyeyxYX)(21222221 rdrddxdyryrxsincosrdrerdr220022122 例例 5- 5-14 14 設(shè)某種商品每周的需求量設(shè)某種商品每周的需求量X X是服從區(qū)間是服從區(qū)間1010，3030上均勻分布的隨機變量，上均勻分布的隨機變量， 而經(jīng)銷商店的進貨數(shù)量為而經(jīng)銷商店的進貨數(shù)量為1010，3030中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500500元；若供大于元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損求則削價處理，每處理一單位商品虧損100100元；若供不應(yīng)求，則元；若供不應(yīng)求，

26、則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利300300元。為使商店元。為使商店所獲利潤期望值不少于所獲利潤期望值不少于92809280元，試確定最少進貨量。元，試確定最少進貨量。 解解 設(shè)進貨量為設(shè)進貨量為 a a，10 a 3010 a 30，且用且用 Y Y 表示利潤，表示利潤，則則顯然顯然 Y 為為 X 的函數(shù)，記的函數(shù)，記Yf（X），）， 從而期望利潤為從而期望利潤為 dxxpxfXfEEYX)()()(100)(500300)(500XaXaXaY30 XaaX 10aXaXY10060020030030 XaaX 10dxxf201)(301

27、0dxaxdxaxaa3010)200300(201)100600(20152503505.72aa 例例 5- 5-14 14 設(shè)某種商品每周的需求量設(shè)某種商品每周的需求量X X是服從區(qū)間是服從區(qū)間1010，3030上均勻分布的隨機變量，上均勻分布的隨機變量， 而經(jīng)銷商店的進貨數(shù)量為而經(jīng)銷商店的進貨數(shù)量為1010，3030中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500500元；若供大于元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損求則削價處理，每處理一單位商品虧損100100元；若供不應(yīng)求，則元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利可

28、從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利300300元。為使商店元。為使商店所獲利潤期望值不少于所獲利潤期望值不少于92809280元，試確定最少進貨量。元，試確定最少進貨量。 解解 設(shè)進貨量為設(shè)進貨量為 a a，10 a 3010 a 30，且用且用 Y Y 表示利潤，表示利潤，則則為使商店所獲利潤期望值不少于為使商店所獲利潤期望值不少于92809280元元，有：，有：52503505 . 72aa)(XfEEY 928052503505 . 72aa即：即：040303505 . 72aa解不等式得：解不等式得：263220 a最少進貨量最少進貨量為為 21 21 單位。單位。三、三、 數(shù)學(xué)

29、期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) , cEc 隨機變量的數(shù)學(xué)期望具有下述基本性質(zhì)，其中假設(shè)性質(zhì)隨機變量的數(shù)學(xué)期望具有下述基本性質(zhì)，其中假設(shè)性質(zhì)中的數(shù)學(xué)期望均存在。中的數(shù)學(xué)期望均存在。 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-1 1 設(shè)設(shè) c c 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 證明證明 第一式中的常數(shù)第一式中的常數(shù) c c 可看做特殊的隨機變量，即可看做特殊的隨機變量，即X cX c， 則其概率分布為則其概率分布為P P（X Xc c）1 1，從而從而 ccXcPEc)(第二式僅證離散型情形第二式僅證離散型情形 第三式僅證連續(xù)型情形第三式僅證連續(xù)型情形 性質(zhì)性質(zhì)5-5-1 1可概括為：可概括為：cEXpcpxpcxcXEiiiii

30、iii)()(cEXdxxxpcdxxcxpcXE)()()(, ,其中其中a a，b b，c c為常數(shù)。為常數(shù)。 caEXcaXE )(,)(cEXcXEcEXcXE)(EYEXYXE)( 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-2 2 證明證明 （僅證離散型情形（僅證離散型情形 ）ijijjipyxYXE)()(ijijjijijipypx)()(ijijjijijipypxjijiiipypxEYEX 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-2 2 可推廣為：可推廣為： niiniiEXXE11)(由歸納法易證。更一般地，由歸納法易證。更一般地， niiiniiiEXcXcE11)(其中，其中， cici， i i1 1， ，

31、 n n 為常數(shù)。為常數(shù)。 成立嗎？思考EYEXYXE)(EYEXXYE)( 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-3 3 若若 X X 與與 Y Y 相互獨立，則相互獨立，則 證明證明 （僅證連續(xù)型情形（僅證連續(xù)型情形 ） dxdyyxxyfXYE),()(性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-3 3 可推廣為：若可推廣為：若 X X1 1，X X2 2，X Xn n 相互獨立，則相互獨立，則 nnEXEXEXXXXE.).(2121由歸納法易證。略由歸納法易證。略性質(zhì)性質(zhì) 5-1 5-1，2 2，3 3 及其推廣提供了求數(shù)學(xué)期望的方法。及其推廣提供了求數(shù)學(xué)期望的方法。 dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX

32、)()(EYEX)()(| )(|222YEXEXYE定理定理 5- 5-3 3 （柯西（柯西施互茨（施互茨（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式） 證明證明 對任意的實數(shù)對任意的實數(shù) t t， 考慮考慮 )2()(2222YtXYXtEYtXE)()(2)(222YEXYtEXEt由于對于任意的實數(shù)由于對于任意的實數(shù) t t 恒有恒有 0)(2 YtXE即即0)()(2)(222YEXYtEXEt故判別式故判別式 0 0， 即即0)()(4| )(|4222YEXEXYE從而從而 )()(| )(|222YEXEXYE 例例 5- 5-15 15 一民航機場的

33、送客汽車載有一民航機場的送客汽車載有2020位旅客，自機場開位旅客，自機場開出，沿途有出，沿途有1010個車站。如到達(dá)一個車站沒有旅客下車，就不停個車站。如到達(dá)一個車站沒有旅客下車，就不停車。以車。以 X X 表示停車次數(shù)，求表示停車次數(shù)，求 EXEX（假設(shè)每個旅客在各個車站下假設(shè)每個旅客在各個車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立）。車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立）。 解解 設(shè)設(shè)01iX10,.,2, 1i第第i i個車站有旅客下車個車站有旅客下車 第第i i個車站沒有旅客下車個車站沒有旅客下車 則則1021.XXXX因此，為求因此，為求 EXEX，只需求只需求即可。即可。)1

34、0,.,2, 1( iEXi由于任一旅客在第由于任一旅客在第i i個車站不下車的概率為個車站不下車的概率為 9/10 9/10，又旅客是，又旅客是否下車是否下車是彼此獨立的，因此，彼此獨立的，因此，2020個旅客在第個旅客在第i i個車站都不下車個車站都不下車的概率為的概率為20)109(，在第在第i i個車站有人下車的概率為個車站有人下車的概率為20)109(1即即XiXi的概率分布為：的概率分布為： iXP1020)109(20)109(110,.,2 , 1i 例例 5- 5-15 15 一民航機場的送客汽車載有一民航機場的送客汽車載有2020位旅客，自機場開位旅客，自機場開出，沿途有出

35、，沿途有1010個車站。如到達(dá)一個車站沒有旅客下車，就不停個車站。如到達(dá)一個車站沒有旅客下車，就不停車。以車。以 X X 表示停車次數(shù)，求表示停車次數(shù)，求 EXEX（假設(shè)每個旅客在各個車站下假設(shè)每個旅客在各個車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立）。車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立）。 解解 設(shè)設(shè)01iX10,.,2, 1i第第i i個車站有旅客下車個車站有旅客下車 第第i i個車站沒有旅客下車個車站沒有旅客下車 則則1021.XXXX因此，為求因此，為求 EXEX，只需求只需求即可。即可。)10,.,2, 1( iEXi即即XiXi的概率分布為：的概率分布為： iXP1020)1

36、09(20)109(1 10,.,2 , 1i從而從而iEX20)109(1，故由性質(zhì)的推廣知，故由性質(zhì)的推廣知，101.EXEXEX784.8)109(1 (1020即送客汽車平均停車即送客汽車平均停車 8 8784784。 例例 5- 5-16 16 設(shè)設(shè) X 服從二項分布，即服從二項分布，即 解解 由第三章二項分布可知，由第三章二項分布可知，X X 可看做可看做 n n 次獨立重復(fù)試次獨立重復(fù)試01iXni,.,2, 1第第i i次試驗次試驗A A發(fā)生發(fā)生 第第i i次試驗次試驗A A不發(fā)生不發(fā)生 ),(pnBX試求試求 EX。 驗中事件驗中事件 A A 發(fā)生的次數(shù)，且發(fā)生的次數(shù)，且P

37、P（A A）p p，令令 則則相互獨立且都服從參數(shù)為相互獨立且都服從參數(shù)為 p p的的 0- 0-1 1 分布。分布。易知有易知有nXXX,.,21nXXXX.21故由性質(zhì)故由性質(zhì) 5-2 的推廣知，的推廣知， npEXEXEXEXn.21四、四、 矩矩 （略）（略） kXEk,| 如果需要進一步研究數(shù)字特征，則需討論隨機變量的矩，如果需要進一步研究數(shù)字特征，則需討論隨機變量的矩，它在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重它在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位。最常用的矩有兩種：要地位。最常用的矩有兩種：一種是原點矩，一種是中心矩。一種是原點矩，一種是中心矩。 定義定義5-5-3 3 如果如果為任意正整數(shù)，則稱

38、為任意正整數(shù)，則稱為隨機變量為隨機變量 X X 的的 k k階原點矩（階原點矩（origin momentorigin moment），），)(kkXEm而稱而稱為隨機變量為隨機變量 X X 的的 k k 階中心矩階中心矩kkEXXEc)(（central momentcentral moment）。）。 顯然，數(shù)學(xué)期望是一階原點矩顯然，數(shù)學(xué)期望是一階原點矩 m1m1。運用初等不等式運用初等不等式可知，可知，若隨機變量若隨機變量 X X 的高階矩有限，則其低階矩也有限。的高階矩有限，則其低階矩也有限。 1|1|kkXX 第五章第五章 習(xí)題習(xí)題 （P133）1*，4* (離散離散)2*，3， (

39、連續(xù)連續(xù))5，6*，7，8*，9，10， 11*(函數(shù)函數(shù))12*，13*，14，15，16一、一、 方差的定義方差的定義 數(shù)學(xué)期望描述了隨機變量取值的平均值，即其是分布的數(shù)學(xué)期望描述了隨機變量取值的平均值，即其是分布的位置特征數(shù)，它位于分布的中心，隨機變量的取值在其周圍位置特征數(shù)，它位于分布的中心，隨機變量的取值在其周圍波動。波動。 方差是度量此種波動大小的最重要的特征數(shù)，下面方差是度量此種波動大小的最重要的特征數(shù)，下面分析分析一個簡單的例子，一個簡單的例子，引出它的定義。引出它的定義。有下列兩個有下列兩個隨機變量隨機變量的分布：的分布： -1 0 1 -1 0 1 Y -20 0 20Y

40、-20 0 204/12/1P4/1P3/13/13/1顯然有：顯然有：0EYEX但其取值的分散程度大不同。但其取值的分散程度大不同?？梢?，可見，數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望還不能反映還不能反映隨機變量隨機變量取值的分散程度。取值的分散程度。有下列兩個有下列兩個隨機變量隨機變量的分布：的分布： -1 0 1 -1 0 1 Y -20 0 20Y -20 0 204/12/1P4/1P3/13/13/1顯然有：顯然有：0 EYEX可見，可見，數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望還不能反映還不能反映隨機變量隨機變量取值的分散程度。取值的分散程度。 設(shè)有一隨機變量設(shè)有一隨機變量 X X，稱稱 X-EX X-EX 為偏差，為偏差，

41、此種偏差可大可小，可正可負(fù)，此種偏差可大可小，可正可負(fù)， 為了使此種偏差能積累起來，不至于正負(fù)抵消，可取絕為了使此種偏差能積累起來，不至于正負(fù)抵消，可取絕對偏差的均值對偏差的均值 |X|XEX| EX| 來表示隨機變量取值的波動大小。來表示隨機變量取值的波動大小。由于絕對值在數(shù)學(xué)上處理不甚方便，由于絕對值在數(shù)學(xué)上處理不甚方便，故故用用衡量偏差更合適。衡量偏差更合適。它它也是隨機變量，取其平均值也是隨機變量，取其平均值2)(EXX 2)(EXXE就可以作為刻畫隨機變量就可以作為刻畫隨機變量 X X 取值取值的波動大小（或取值分散的波動大?。ɑ蛉≈捣稚⒊潭龋┑囊粋€數(shù)字特征。即方差程度）的一個數(shù)字特

42、征。即方差 。但其取值的分散程度大不同。但其取值的分散程度大不同。 定義定義 5- 5-4 4 設(shè)設(shè) X X 是一個隨機變量，若是一個隨機變量，若2)(EXXE存在，存在，則稱則稱為為X X的的方差方差（variancevariance），），記為記為 DX DX 或或 VarXVarX，2)(EXXE即即方差的平方根方差的平方根, ,稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)差或根方差標(biāo)準(zhǔn)差或根方差（standard deviationstandard deviation）。）。2)(EXXEDX 若若 X X 為離散型隨機變量，其概率分布為為離散型隨機變量，其概率分布為即即2)(EXXEDX則按方差的定義有則按方差的定

43、義有: :,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkiiipEXxEXXEDX122)()( 若若 X X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為p p（x x），），則按方差則按方差dxxpEXxEXXEDX)()()(22的定義有的定義有: : 若若 X X 為離散型隨機變量，按方差的定義有為離散型隨機變量，按方差的定義有: :iiipEXxEXXEDX122)()( 若若 X X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為p p（x x），），則按方差則按方差dxxpEXxEXXEDX)()()(22的定義有的定義有: : 數(shù)學(xué)期望和方差是隨機變量的最

44、基本、最常用的兩個數(shù)字特數(shù)學(xué)期望和方差是隨機變量的最基本、最常用的兩個數(shù)字特)(2()(222EXXEXXEEXXEDX 數(shù)學(xué)期望刻畫了隨機變量取值的平均位置，因而也有人稱它數(shù)學(xué)期望刻畫了隨機變量取值的平均位置，因而也有人稱它征。征。 方差刻畫了隨機變量偏離其數(shù)學(xué)期望的（分散）程度，方差方差刻畫了隨機變量偏離其數(shù)學(xué)期望的（分散）程度，方差是位置特征；是位置特征；越小，隨機變量取值越集中于數(shù)學(xué)期望的周圍。越小，隨機變量取值越集中于數(shù)學(xué)期望的周圍。稱離散稱離散特征特征。為計算方便，方差的公式也可簡化為：為計算方便，方差的公式也可簡化為：22)(2)(EXEXEXXE22)()(EXXE 例例5-5

45、-17 17 若隨機變量若隨機變量 X X 服從服從 0- 0-1 1 分布，試求分布，試求 X X 的方差。的方差。 解解 由例由例 51 知知: : pEX , ,又又則則pppEX2221)1 (0pqppXEEXDX222)(其中其中 .1pq22)()(EXXEDXiiipEXxEXXEDX122)()( 0 1 0 1p1pP 又解：又解： p0p1EXX 2)0 (p2)1 (p2)(EXX 則：則： 2)(EXXEDXpppp*)1 ()1 (*)0(2232322ppppp2pp pq 例例5-5-18 18 若隨機變量若隨機變量 X X 服從服從參數(shù)為參數(shù)為的普阿松分布的普

46、阿松分布 ， 解解 由例由例 52 知知: : EX, ,又又則則) 1(2EX22)(XEEXDX試求試求 X X 的方差。的方差。2)1(22)()(EXXEDXiiipEXxEXXEDX122)()( 例例5-5-19 19 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的幾何分布，即的幾何分布，即 解解 X 的概率分布為的概率分布為 ,.2 , 1 )1 ()(1kppkXPk由例由例 53,5-9 知知pEX1, ,及及 則則222ppEX2222212)(pqpppXEEXDX ，試求，試求 X X 的方差。的方差。)(pGX其中其中 .1pq 例例5-5-20 20 設(shè)隨機

47、變量設(shè)隨機變量 X 服從均勻分布，即服從均勻分布，即 解解 X 的概率分布為的概率分布為 由例由例 55,5-10 知知2baEX, ,及及 則則3222babaEX12)()2(3)(222222abbababaXEEXDX試求試求 X X 的方差。的方差。,baUX01)(abxpbxa其它 例例5-5-21 21 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即的指數(shù)分布，即 解解 X 的概率分布為的概率分布為 由例由例 56,5-11 知知1EX, ,及及 則則222EX222221)1(2)(XEEXDX ，試求，試求 X X 的方差。的方差。)(ExpX0)(xexp0

48、 x0 x 例例5-5-22 22 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布，即服從正態(tài)分布，即 解解 X 的概率分布為的概率分布為 由方差的定義知，由方差的定義知， 22)()(XEEXXEDXdxxpx)()(2試求試求 X X 的方差。的方差。),(2NX),( 21)(222)(xexpxdxexx222)(221)(dtett22222)(xt令222222dtetett222221dtet正態(tài)分布的參數(shù)正態(tài)分布的參數(shù) 是它的數(shù)學(xué)期望是它的數(shù)學(xué)期望，參數(shù)，參數(shù) 是它的方差。是它的方差。 2二、二、 方差的性質(zhì)及切比雪夫不等式方差的性質(zhì)及切比雪夫不等式 隨機變量的方差具有下述基本性質(zhì)，其

49、中假設(shè)性質(zhì)中的方隨機變量的方差具有下述基本性質(zhì)，其中假設(shè)性質(zhì)中的方,0)(cD差均存在。差均存在。 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-4 4 設(shè)設(shè) c c 為常數(shù)，則為常數(shù)，則證明證明0)(2ccE2)()(:)2(cXEcXEcXD2)()(:)3(cXEcXEcXD2)(cEXcXEDXEXXE2)(22)(EXXEc,)(DXcXDDXccXD2)(2)(cEXcXEDXc22)()(:)1 (EccEcDDYDXYXD)( 性質(zhì)性質(zhì) 55 若若 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，則是兩個相互獨立的隨機變量，則 證明證明2)()()(YXEYXEYXD2)()(EYYEXXE)( 2)()(22EYY

50、EXXEYYEXXE)(2EYYEXXEDYDX2EXEYXEYYEXXYEDYDX 2EYEXEXYDYDXDYDXYXD)(其中當(dāng)其中當(dāng) X 與與 Y 獨立時，有：獨立時，有： 還可以將此性質(zhì)推廣到多個隨機變量的情況，即設(shè)還可以將此性質(zhì)推廣到多個隨機變量的情況，即設(shè)nXX ,.,1相互獨立的隨機變量，則：相互獨立的隨機變量，則：nnDXDXXXD.).(11成立嗎？思考DYDXYXD)( 例例5-5-23 23 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從二項分布，即服從二項分布，即 解解 X 的概率分布為的概率分布為 由例由例5-5-1616可知，可知， 試求方差試求方差 DX DX 。),(pnBX

51、其中nkqpCkXPpknkknk,.,1 ,0 )(nXXXX.21).(1nXXDDX相互獨立，且相互獨立，且 都都 服服 從從 參數(shù)為參數(shù)為 p p 的的nXXX,.,210-0-1 1 分布，故由性質(zhì)分布，故由性質(zhì) 5-5 5-5 的推廣可知，的推廣可知，npqDXDXn.1其中其中 .1pq1)( aXP 性質(zhì)性質(zhì) 56 隨機變量隨機變量 X X 的方差的方差 DXDX0 0 的充分必要條件是的充分必要條件是： 定義定義 5- 5-5 5 對任一隨機變量對任一隨機變量 X X，若若 DXDX0 0，則稱則稱X X 取某個常數(shù)的概率為取某個常數(shù)的概率為 1 1，即對某個常數(shù)，即對某個常數(shù) a a，有有 充分性為性質(zhì)充分性為性質(zhì) 54 的（的（1 1），必要性超出本書范圍，證明），必要性超出本書范圍，證明從略。從略。 為為 X 的的 標(biāo)準(zhǔn)化（標(biāo)準(zhǔn)化（standardized）隨機變量隨機變量。 DXEXXY 性質(zhì)性質(zhì) 5- 5-7 7 若若 Y