圓錐曲線大題20道(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、1已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C的右焦點(diǎn)為（2, 0）,右頂點(diǎn)為”（J3,o） （1）求雙曲線C的方程; :y kx 2與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A和B,且OA OB 2 （其 2 設(shè)雙曲線方程為篤 a 1 3k2 0, 2 2 2 (6、2k) 36(1 3k ) 36(1 k ) 0. 即 k2 3 且 k2 1.設(shè) AgmBgyB)， 2 2 于是 坐丄 2,即仝 9 0,解此不等式得 3k2 1 3k2 1 1 k2 3. 3 由、得k 1. 3 1 / 故k的取值范圍為（1 ）（山,1）. 3 3 2 2 2.已知橢圓C:務(wù)+占=1 （a b 0）的左右焦點(diǎn)為 R、F2,離心率為e.

2、直線 a b I: y= ex+ a與x軸.y軸分別交于點(diǎn) A、B , M是直線I與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn), 設(shè)AM =入AB. 1 / 13中0為原點(diǎn)） 求k的取值范圍 由已知得 a 、3,c 2,再由 a2 ,c b2 22,得 b2 1. 故雙曲線 2 C的方程為 3 1. (n)將 y 2代入 1 得(1 3k2)x2 6.2kx 9 0. XA XB 6.2k RXAXB 討0A 0B 2得x AXB yA yB 2, 而 XAXB YAYB XAXB (kxA 2)(kxB 2) (k2 1)XAXB 2k(xA XB ) 2 (k2 1)1 9 3k2

3、一 2k 丄理 1 3k 3k2 7 3k2 1 （2）若直線I 解：（I） 1 (a 0,b 0). 由直線I與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得 1 e2 2 / 13 I: y ex a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以 A、 c, b2 這里 c 、a2 b2 . c a b2 a AB 得(c , ) ( ,a). e a e a , ,o),(0, a).由 y ex a, x ( 2 x 2 y 得 e 2 2 1, y a b M的坐標(biāo)是( b2 所以 c, ) 由 a a a c 即e2 e 解得 1 e2 b2 a a B的坐標(biāo)分別是 證法二：因?yàn)?A、B分別是直線I: y ex a與x軸、y軸

4、的交點(diǎn)，所以 A、B的坐標(biāo)分別是 (-,o),(o,a).設(shè) e M的坐標(biāo)是(Xo, yo), UULU 由AM urn AB得 (xo a,yo) e (旦,a), e 所以xo yo e( a. 1) 因?yàn)辄c(diǎn)M 在橢圓上，所以 2 xo 2 a 解得 a2 2(1 1)2 )e2 (a)2 b2 (1 (n)解法一： 1 即丄 | PF! | c. 2 “ 設(shè)點(diǎn)F1到|的距離為d, 因?yàn)?PF1 丄 I, IPF1 | d |e( 1,所以斗 e )2 o, 1 e2. 所以/ PF1F2=90 c) 0 a | 1 e + / BAF1為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形, 必有 |PF

5、1|=|F1F2|, ec| .1 e2 |a c, 得1 2 e e- 2 e 所以e2 1,于是 3 (I)證明：入=1 - e2; (n)確定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形 (I)證法一：因?yàn)?A、B分別是直線 3 / 13 (H)若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn)，滿足 AM MB，其中M (O, J3 ),求線段AB的長. 啟思 4已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在X軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，OA OB 與a (3, 1)共線 (I)求橢圓的離心率； (H)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 OM， OA OB ( , R)，證明2 2為定值 解：本小題主要考查直

6、線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識(shí)解決問題及推理的能力滿分12分 (1)解：設(shè)橢圓方程為 2 2 X y 2 1(a b O),F(c,O) 則直線AB的方程為y X c， 代入 2 X 2 a 芯 1，化簡得 b 即當(dāng) -時(shí)， PF1F2為等腰三角形 3 解法二：因?yàn)?PFi丄|，所以/ PFiF2=90 + / BAFi為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形，必有|PFI|=|FIF2|, 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0, y0), y。0 則X。c yo o 2 解得 Xo Xo a. yo e2 3 2 C, e 1 2(1 e2)a e2 1 由 |PF1|=|F

7、1F2得(e2 e 3)c 1 c2 2(1 2、 e )a2 2 e 1 4c2, 兩邊同時(shí)除以 4a2,化簡得 e 從而 2 e 1 3 于是 1 1 e2 2 - * 3 即當(dāng) 2嚴(yán) 時(shí)， PF1F-2為等腰三角形 3 3.設(shè) X, y R， i、j為 直角坐標(biāo) 平面內(nèi)X a Xi (y 由)j ,b Xi (y 0)作直線與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)。 (I )設(shè)點(diǎn)P分有向線段AB所成的比為 入，證明QP (QA QB); (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn) P的軌跡方程;(2)若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn) A、B，且線段AB的中垂線與EF(n )設(shè)直線A

8、B的方程是x 2y+12=0,過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn) C的方程。 10.已知平面上一定點(diǎn)C( 1,0)和一定直線l : x (PQ 2PC) (PQ 2 PC) 0. (1) 問點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線方程； (2) 點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)， A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若 11.如圖，已知E、F為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)|EF | (G為動(dòng)點(diǎn)，P是HP和GF的交點(diǎn)) GE 0 , A處有共同的切線，求圓 垂足為Q , 8 / 13 (或EF的延長線)相交于一點(diǎn)C , 12 .已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) 1,0，且與直線 x (1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程； 是否存在直線l，使I過點(diǎn)(0，1)， 9 則|OC

9、| v 9 （ O為EF的中點(diǎn)） 5 1相切. 并與軌跡C交于 P,Q兩點(diǎn)，且滿足 uuu OP UJUT OQ 0 ?若存在，求出 9 / 13 直線I的方程；若不存在，說明理由 13已知 M (4,0), N(1,0)若動(dòng)點(diǎn) P滿足 MNMP 6 | NP | (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程； (2)設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求 Q到直線I : x 2y 12 0的距離的最小值 3 1 19.如圖，直角梯形 ABCD 中，/ DAB 90 , AD / BC, AB=2 , AD=二,BC= _ 2 2 橢圓F以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn) D, (I)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程； 1 - (

10、H)若點(diǎn) E滿足EC AB ,是否存在斜率 2 k 0的直線I與 橢圓F交于M、N兩點(diǎn)，且 |ME | |NE|，若存在，求 K的取值范圍；若不存在，說明理由。 解(1)已知雙曲線實(shí)半軸 a1 =4,虛半軸b1=2 = 5，半焦距c1= . 16 20 6 , 橢圓的長半軸 a2=c1=6，橢圓的半焦距 c2=a1=4，橢圓的短半軸 b2=： 62 42 20 , 2 2 所求的橢圓方程為 x y 1 36 20 (2)由已知A( 6,0) ,F (4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y)，則 AP (x 6, y), FP (x 4, y),由已知得 2 2 x-乞1 36 20 (x 6)(x

11、 4) y2 0 3 則2x2 9x 18 0，解之得x 或 x 6 , 2 ?，于是y ，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為3丄3 9分 2 2 2 2 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上， 6 m 6 m 2 當(dāng)m 2時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到 M (2,0)的距離 2 2 2 2 5x2 4“ 9、2 , d (x 2) y x 4x 4 20 - ( x ) 9 9 2 9 又 6 x 6 當(dāng) x 一 時(shí)， d取最小值 15 2 2 解：(1)由 23 1 |OF| | FP | sin ,得 |OF | |FP | 4 3, ，由 cos OF FP t sin 2 sin |OF | |FP | 4 3 0 ,設(shè)點(diǎn)M是(m

12、,0)，則點(diǎn)M到直線AP的距離是 得 tan 4、；3 . t 3分 由于y0,所以只能取x (3)直線 AP : x ,3y 6 ，于是 4 t 4 3 1 tan 3 。廠夾角的取值范圍是(小) . 6分 10 / 13 umr ULU 2 _ OF FP (xo c, yo) (c,0) (xo c)c t (、3 1)c xo 、3c 1 uur AJ3 S OFP 1 OF 1 I yo I 2、3 y0 2 c . 8分 |OP| (T3c)2(羋)2 店屈 羋 2莊 . io 分 當(dāng)且僅當(dāng),3c 土 2,即 c 2時(shí),|0P|取最小值 2.6,此時(shí)，OP (2、. 3, 2. 3

13、) c 橢圓長軸 2a (2 2)2 (3 0)2 (2 2)2 (3 0)2 8 a 4,b2 12 解：(I)： OP OQ = 0, 則 X1X2+ y1y2= 0, 又P、Q在拋物線上， - y12= 2pX1, y22 = 2pX2, y12 y22 2 2p 2p + y1y2= o, y1y2=- 4p ， - |y1y2|= 4p2, . 3 分 又 |y1y2|= 4, 4p2 = 4, p=1 . . 4 分 (n)設(shè) E(a,0),直線 PQ 方程為 x = my + a , 聯(lián)立方程組X2=7+a, y2= 2px ， 消去 x 得 y2 2pmy 2pa= 0, 二

14、y1y2= 2pa , 設(shè) F(b,0), R(X3,y3),同理可知： y1y3= 2pb , 由、可得 y3=b , . 9分 y2 a 若 TR = 3TQ，設(shè) T(c,0)，則有 (X3 c,y3 0) = 3(x2 c,y2 0), - y3= 3y2 即 冷=3, . 10 分 y2 將代入，得 b= 3a. . 11分 又由(I)知，OP OQ= 0, (2)設(shè)P(xo，y。),則FP(x。 c, y),OF (c,0). OM 3 ( 3,2 3) (0,1) (2,3) 或 OM .3 3 (2.3, 2 3) (0,1) (2, 1) 12分 或 2a (2 2)2 2 (

15、1 0) (2 2)2 (1 故所求橢圓方程為 2 X 2 y 1 .或 X2 16 12 9 17 2 - 0) 1 .17 1 17 J a ,b 1 ,17 2 2 2 y 1 14分 1 17 2 5分 .6分 7分 8分 2 11 / 13 yiy2= 4p2，代入， 得一 2pa= 4 p2. a= 2p, 13 分 b = 6p, 故，在x軸上，存在異于 E的一點(diǎn)F(6p,0)，使得TR = 3TQ . . 14分 注：若設(shè)直線 PQ的方程為y= kx + b,不影響解答結(jié)果. (I)解：設(shè) P (x, y)則 ULU UUU AP (x XA , y) PB ( x,yB y)

16、 . .2分 ULUT UUU 由 AP PB 得 xA 2x, yB 2y . .4 分 UULT UUL UULT UUU 又 MA (xA , 2) AP (x xA , y)即 MA (2x,2), AP ( x, y) . 6 分 UULT UUU 2 由 MA AP 0 得 x y(y 0) . .8分 (n)設(shè) E(xi, yi), FXy) 因?yàn)閥 x ，故兩切線的斜率分別為 x1、x2 . 10分 由方程組 2 x 2y 得 x2 2kx 4k 0 x-i x2 2k x1 x2 4k . .12 y k(x 2) 當(dāng)h I2 時(shí)， X1 X2 1，所以 k 1 8 1 所以

17、，直線l的方程是 y -(x 2) . 8 1 1 解: (1 MF2 x軸，. | MF? | 2,由橢圓的定義得：I MF1 | 2a , -2 分 |MF112 (2c) 2 1 4， (2a 1) 2 2 1 4c 4，- - 4 又e - 得c2 3 2 a 42 a 2a 2 3a , Q a 0 a 2 2 4 - b2 a2 2 c 1 2 a 4 1 , - 6 分 所求橢圓 C的 方程為 2 x 2y 1 - 7 - 分 4 (n)由(1) 知點(diǎn) A( 2, 0), 點(diǎn)B為 (0, 1),設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(x, y) UUU UUU 則 PA ( 2 x, y), AB (

18、2, 1), UUU UUU 由 PA AB m 4 得一4 2x y m 4 ,12 / 13 點(diǎn)P的軌跡方程為y 2x 設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為 B（x。，y。），則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得: y。1 Xo 1 yo 1 2， 2 4 4m 解得：Xo , yo 點(diǎn)B（Xo,y。）在橢圓上， 點(diǎn)P的軌跡方程為y 2x 經(jīng)檢驗(yàn)y 2x 1和y 2x 2m 3 5 4 4m 2 2m 3、2 ( )4( 5 |都符合題設(shè), 滿足條件的點(diǎn) P的軌跡方程為y 2x 1或y 11 分 ）2 4，整理得2m2 5 13 0解得m 2x1 解（I ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y kx m ,代入拋物線方

19、程x2 4y得 2 x 4kx 4m O. 設(shè)A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (X1,y1)、(X2,y2),則 X1、 所以 x1x2 4m. 由點(diǎn)P（ o, m分有向線段 AB所成的比為 ， 得 X1 X2 1 X1 X2 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（O, -m） ,從而QP (0,2m) QA QB m) (X2, y2 m) = (X1 X2,y1 y2 (1 )m). QP (QA QB) 2my1 y (1 )m 又點(diǎn) Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn), X1 2 2 X2 X2 4 (1 )m X2 =2m(x1 X2) X1X2 4m 4x2 =2m(x1 X2) 4m 4m 4x2 =O, 13 /

20、13 所以 OP (QA QB). (n )由 x2 2y 12 ，得點(diǎn) A B 的坐標(biāo)分別是(6, 9)、(-4 , 4)。 x 4y, 1 2 1 由 x 4y得 y x， y x, 4 2 所以拋物線x2 4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y x6 3。 設(shè)圓C的方程是(x a)2 (y b)2 r2， 解之得 a -,b 23 2 ,r (a 4)2 (b 4)2 125 2 2 2 所以圓 C的方程是(x 3)2 (y 232 125 2 2 2 uuu UULT uuu UUH 解:(1)由(PQ 2PC)?(PQ 2PC) 0,得 :PQ 4PC 0 , . ( 2 分) 2 2 設(shè)P(x

21、,y),則(x 4)2 4 (x 1)2 y2 0,化簡得今七1,(4分) 2 點(diǎn)P在橢圓上，其方程為 4 2 y 3 uu 由OA 1. . ULU OB (6分) 設(shè)AX, yj、 BE y2), UUUT (1 )OC 得 UUU :CA CB 0,所以，A、B、C三點(diǎn)共線.且 0 得：( (為為1,yJ (X2 1,y2 0，即: : x1 1 X2 . (8 分) y1 y2 2 2 因?yàn)槠騢 (1 1,所以 X2)( y2)2 1. . ( 9分) 4 3 4 3 2 2 又因?yàn)?d 宜 1,所以( X2)2 (y2)2 2 (10 分) 4 4 3 由- -得：2 ( 1)X2

22、( 1)2 1 2 , ,化簡得 ：X2 3 5 . (12 分) 4 2 3 5 因?yàn)?2 x2 2,所以2 2. 2 1 1 解得:3 3所以的取值范圍為-，32 2 66)66) a a 9)9) 2 2 2 2 4)4) a a 14 / 13 解：（1）如圖1,以EF所在的直線為 x 軸，EF的中垂線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系。丄-二 - 1 分 由題設(shè) 2EH EG，HP ? EF 0 |PG | |PE |，而 |PF | TPEITPGI 2a - 3 分 點(diǎn)P是以E、F為焦點(diǎn)、長軸長為10的橢圓， 2 2 故點(diǎn)P的軌跡方程是： 仝1 - 4分 25 16 (2)如圖 2，設(shè)

23、 A(xyj，Bg y?)，C(x,O)， - X1 X2，且 |cA| |CB|， - 6 分 即(X1 X。)2 y12 (X2 X。)2 y22 又A、B在軌跡上， 2 2 2 2 X1 y1 1 X2 y2 1 25 16 ， 25 16 t X1 X2， 10 X1 X2 10 9 9 切 9 . x0 ，即 | OC | v . - 1 5 5 5 （I）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O, AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖 即y12 16 16 2 X1 25 2 y2 16 16 2 X2 - 8分 25 代入整理得： 9 25 2(X2 X1) X0 (x/ x) I X1 X2， -X0 9(X1 X2) 50 t 5 X1 5， 5 x2 5 ， 10 x1 -10 分 X2 10. 圖2 15 / 13 貝U A (-1,0 )B(1,0) D(-1, 3) (1 2 分） 2 y2 設(shè)橢圓F的方程為 X 2 y2 1 (a b 0) (2 分) a b2 2 3 得（1）2 - 2 1 (4分) 2 a b2 a2 b2 1 16 / 13 得4a4 17a2 4