03-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3-傅立葉變換ppt課件

1、傅里葉變換傅里葉變換 dxxfxgxgFfGj2-exp dfxffGfGFxgj2exp1( (傅立葉變換傅立葉變換) )( (傅立葉逆變換傅立葉逆變換) )傅里葉變換定理傅里葉變換定理1 11線性定理：假設(shè)線性定理：假設(shè) 波的疊加原理波的疊加原理那么有那么有2類似性定理：假設(shè)類似性定理：假設(shè) 縮放和反演定理縮放和反演定理那么有那么有單縫衍射，縫窄衍射變寬單縫衍射，縫窄衍射變寬 xxfHfGxhxgF xxfHxhFfGxgF, xfGxgFafGaaxgFx1傅里葉變換定理傅里葉變換定理2 23 3位移定理：假設(shè)位移定理：假設(shè)那么有那么有，函數(shù)在空域中的平移，帶來(lái)頻域中的相移，函數(shù)在空域中

2、的平移，帶來(lái)頻域中的相移同時(shí)同時(shí)，函數(shù)在空域中的相移，帶來(lái)頻域中的平移，函數(shù)在空域中的相移，帶來(lái)頻域中的平移 xfGxgFafjfGaxgFxx2exp axaffGxfjxgF2exp傅里葉變換定理傅里葉變換定理3 34帕色伐帕色伐Parseval定理：定理：假設(shè)假設(shè) 那么有：那么有：該定理闡明信號(hào)在空域和時(shí)域的能量守恒。該定理闡明信號(hào)在空域和時(shí)域的能量守恒。 xfGxgF 22xxg xdxG fdf5卷積定理：假設(shè)卷積定理：假設(shè)那么有那么有即，空間域兩函數(shù)的卷積的傅里葉變換對(duì)應(yīng)著兩者變換式的乘積即，空間域兩函數(shù)的卷積的傅里葉變換對(duì)應(yīng)著兩者變換式的乘積而且，空間域兩函數(shù)的乘積的傅里葉變換對(duì)

3、應(yīng)著兩者變換式的卷積而且，空間域兩函數(shù)的乘積的傅里葉變換對(duì)應(yīng)著兩者變換式的卷積卷積定理為傅里葉變換的計(jì)算提供了另一個(gè)方便的途徑。卷積定理為傅里葉變換的計(jì)算提供了另一個(gè)方便的途徑。 xxfHxhFfGxgF, xxfHfGxhxgF* xxfHfGxhxgF*傅里葉變換定理傅里葉變換定理4 4傅里葉變換定理傅里葉變換定理5 56傅里葉積分定理：在函數(shù)傅里葉積分定理：在函數(shù) 的各個(gè)延續(xù)點(diǎn)上有的各個(gè)延續(xù)點(diǎn)上有 對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)展正變換和逆變換，重新得到原函數(shù)；而對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)展正變換和逆變換，重新得到原函數(shù)；而對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)展兩次正變換或逆變換，得到原函數(shù)的對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)展兩次正變換或逆變換，得到原函數(shù)的“倒

4、立像。倒立像。 yxg,yxgyxgyxg,FF,FF-1-1yxgyxgyxg,FF,FF-1-1二維傅里葉變換定義二維傅里葉變換定義假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在整個(gè)平面上絕對(duì)可積且滿足狄里赫利條件在整個(gè)平面上絕對(duì)可積且滿足狄里赫利條件, ,其其傅里葉變換定義為傅里葉變換定義為 傅里葉變換記作傅里葉變換記作函數(shù)函數(shù) 的傅里葉反變換為的傅里葉反變換為傅里葉反變換記作傅里葉反變換記作 dxdyyfxfyxf,ffFyxfFyxyx j2-exp,),(yxf,Fyx,ffFyxf,exp j2xyxyxyf x yF f , ff xf ydf df yx,ffF-1FyxyxdfdfyfxfjyxfF

5、yxfFFyxf)(2exp(),(),(),(1傅里葉頻譜概念和狄里赫利條件傅里葉頻譜概念和狄里赫利條件 根據(jù)歐拉公式，根據(jù)歐拉公式， 是頻率為是頻率為 的余正弦函數(shù)。傅里葉反變換式表示函數(shù)的余正弦函數(shù)。傅里葉反變換式表示函數(shù) 是各種頻率為是各種頻率為 的余正弦函數(shù)的疊加，疊加的余正弦函數(shù)的疊加，疊加時(shí)的權(quán)重因子是時(shí)的權(quán)重因子是 。因此傅里葉變換。因此傅里葉變換 常稱為函數(shù)的頻譜常稱為函數(shù)的頻譜 傅里葉變換存在的充分條件有假設(shè)干方式，絕對(duì)可積傅里葉變換存在的充分條件有假設(shè)干方式，絕對(duì)可積和狄里赫利條件是其中一種和狄里赫利條件是其中一種 狄里赫利條件可詳細(xì)表述為：狄里赫利條件可詳細(xì)表述為：“在

6、任一有限矩形區(qū)域里，在任一有限矩形區(qū)域里，必需只需有限個(gè)延續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大極小點(diǎn)，而且沒(méi)必需只需有限個(gè)延續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大極小點(diǎn)，而且沒(méi)有無(wú)窮大延續(xù)點(diǎn)有無(wú)窮大延續(xù)點(diǎn) yfxfj2expyxyxff ,yxf,yxff ,yxf,yxffF,關(guān)于存在性的兩點(diǎn)闡明關(guān)于存在性的兩點(diǎn)闡明在運(yùn)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域中的大量現(xiàn)實(shí)闡明，作為時(shí)間或空間函在運(yùn)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域中的大量現(xiàn)實(shí)闡明，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)踐存在的物理量，總具備傅里葉變換存在的根本條件?？梢哉f(shuō)，數(shù)而實(shí)踐存在的物理量，總具備傅里葉變換存在的根本條件?？梢哉f(shuō)，物理上的能夠性是傅里葉變換存在的充分條件。因此，從運(yùn)用角度來(lái)物理上的能夠性是傅

7、里葉變換存在的充分條件。因此，從運(yùn)用角度來(lái)看，可以以為傅里葉變換總是存在的看，可以以為傅里葉變換總是存在的在運(yùn)用問(wèn)題中，也常遇到一些理想化的函數(shù)，例如余正弦函數(shù)、在運(yùn)用問(wèn)題中，也常遇到一些理想化的函數(shù)，例如余正弦函數(shù)、階躍函數(shù)以致最簡(jiǎn)單的常數(shù)等。它們都是光學(xué)中經(jīng)常用到的，而且都階躍函數(shù)以致最簡(jiǎn)單的常數(shù)等。它們都是光學(xué)中經(jīng)常用到的，而且都不能滿足傅里葉變換的存在條件，在物理上也不能夠嚴(yán)厲實(shí)現(xiàn)。對(duì)于不能滿足傅里葉變換的存在條件，在物理上也不能夠嚴(yán)厲實(shí)現(xiàn)。對(duì)于這一類函數(shù)可以借助于函數(shù)序列極限的概念定義其廣義傅里葉變換這一類函數(shù)可以借助于函數(shù)序列極限的概念定義其廣義傅里葉變換可以以為，本書(shū)內(nèi)涉及的函數(shù)

8、都存在相應(yīng)的傅里葉變換，只是有狹義可以以為，本書(shū)內(nèi)涉及的函數(shù)都存在相應(yīng)的傅里葉變換，只是有狹義和廣義的區(qū)別和廣義的區(qū)別 二維不變線性系統(tǒng)的傳送函數(shù)二維不變線性系統(tǒng)的傳送函數(shù) 假設(shè)不變線性系統(tǒng)的輸入是空域函數(shù)，其傅里葉變換為假設(shè)不變線性系統(tǒng)的輸入是空域函數(shù)，其傅里葉變換為 同時(shí)輸出函數(shù)和脈沖呼應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換分別為同時(shí)輸出函數(shù)和脈沖呼應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換分別為 根據(jù)卷積定理有根據(jù)卷積定理有 即即稱做不變線性系統(tǒng)的的傳送函數(shù)稱做不變線性系統(tǒng)的的傳送函數(shù) dxdyyfxfjyxfffFyxyxexp,dxdyyfxfjyxgffGyxyxexp,dxdyyfxfjyxhffHyxyxexp, yxy

9、xyxffFffHffG,yxyxyxffFffGffH,傳送函數(shù)的意義傳送函數(shù)的意義 空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對(duì)應(yīng)的權(quán)重因子空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對(duì)應(yīng)的權(quán)重因子 輸入和輸出空間頻譜之比表達(dá)了系統(tǒng)對(duì)于輸入函數(shù)中不輸入和輸出空間頻譜之比表達(dá)了系統(tǒng)對(duì)于輸入函數(shù)中不同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入“傳送傳送為輸出過(guò)程中的作用，因此稱為傳送函數(shù)為輸出過(guò)程中的作用，因此稱為傳送函數(shù) 傳送函數(shù)普通是復(fù)函數(shù)，其模的作用是改動(dòng)輸入函數(shù)各傳送函數(shù)普通是復(fù)函數(shù)，其模的作用是改動(dòng)輸入函數(shù)各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改動(dòng)這些種頻率基元成分

10、的幅值大小，其幅角的作用是改動(dòng)這些基元成分的初位相基元成分的初位相 傳送函數(shù)的模稱作振幅傳送函數(shù)，傳送函數(shù)的幅角稱作傳送函數(shù)的模稱作振幅傳送函數(shù)，傳送函數(shù)的幅角稱作位相傳送函數(shù)位相傳送函數(shù)空間頻率的兩種意義空間頻率的兩種意義空間頻率類似于時(shí)域函數(shù)的時(shí)間頻率，時(shí)間倒數(shù)稱作頻率，長(zhǎng)度倒空間頻率類似于時(shí)域函數(shù)的時(shí)間頻率，時(shí)間倒數(shù)稱作頻率，長(zhǎng)度倒數(shù)稱作空間頻率，即在單位長(zhǎng)度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)數(shù)稱作空間頻率，即在單位長(zhǎng)度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是對(duì)二維圖象進(jìn)展頻譜分析得到信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是對(duì)二維圖象進(jìn)展頻譜分析得到的圖象頻譜對(duì)應(yīng)的空間頻率，這是一種空間強(qiáng)度分布，

11、其大小是沒(méi)的圖象頻譜對(duì)應(yīng)的空間頻率，這是一種空間強(qiáng)度分布，其大小是沒(méi)有限制的，可以是無(wú)窮大有限制的，可以是無(wú)窮大另一種是對(duì)電磁波場(chǎng)進(jìn)展頻譜分析得到的平面波對(duì)應(yīng)的空間頻率，另一種是對(duì)電磁波場(chǎng)進(jìn)展頻譜分析得到的平面波對(duì)應(yīng)的空間頻率，由于電磁波在均勻介質(zhì)中波長(zhǎng)是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是由于電磁波在均勻介質(zhì)中波長(zhǎng)是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因此其對(duì)應(yīng)在三維空間坐標(biāo)上的每個(gè)方向的空間頻率單不變的。因此其對(duì)應(yīng)在三維空間坐標(biāo)上的每個(gè)方向的空間頻率單位為：光波數(shù)位為：光波數(shù)/mm /mm 表示出的意義實(shí)踐上是電磁波的傳播方向，或表示出的意義實(shí)踐上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標(biāo)軸的夾角

12、，而且大小遭到光波長(zhǎng)的限制，最大是其傳播方向與坐標(biāo)軸的夾角，而且大小遭到光波長(zhǎng)的限制，最大是波長(zhǎng)的倒數(shù)。下章再詳細(xì)講這兩者區(qū)別波長(zhǎng)的倒數(shù)。下章再詳細(xì)講這兩者區(qū)別不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù)不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù) 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 滿足以下條件滿足以下條件 式中式中 為一復(fù)常數(shù)那么稱為算符所表征的系統(tǒng)的本征函數(shù)。為一復(fù)常數(shù)那么稱為算符所表征的系統(tǒng)的本征函數(shù)。這就是說(shuō)，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸這就是說(shuō)，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。 前面講的基元函數(shù)前面講的基元函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變

13、系統(tǒng)的本征函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù) 即即 中曾經(jīng)闡明光波可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，光學(xué)系統(tǒng)傳中曾經(jīng)闡明光波可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，光學(xué)系統(tǒng)傳播光波的數(shù)學(xué)模型，就是這樣一個(gè)用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變播光波的數(shù)學(xué)模型，就是這樣一個(gè)用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變?yōu)閺?fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng)為復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng)yxafyxf,Lyxf,ayfxfjffHddffjhyfxfjddyxhffjyxgbababababa exp,exp,exp,exp,yfxfjayfxfjbaba2exp2expL非相關(guān)成像系統(tǒng)的本征函數(shù)非相關(guān)成像系統(tǒng)的本征函數(shù)1 1下面再討論其脈沖呼

14、應(yīng)是實(shí)函數(shù)的一類特殊的空間不變線性系統(tǒng)，下面再討論其脈沖呼應(yīng)是實(shí)函數(shù)的一類特殊的空間不變線性系統(tǒng)， 它把一個(gè)實(shí)值輸入變換為一個(gè)實(shí)值輸出。它把一個(gè)實(shí)值輸入變換為一個(gè)實(shí)值輸出。這種系統(tǒng)也是一種常見(jiàn)的線性系統(tǒng)，如普通的非相關(guān)成像系統(tǒng)。這種系統(tǒng)也是一種常見(jiàn)的線性系統(tǒng)，如普通的非相關(guān)成像系統(tǒng)。 實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即其傳送函數(shù)有實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即其傳送函數(shù)有 由于由于 因此因此由此可見(jiàn)，這種系統(tǒng)振幅傳送函數(shù)是偶函數(shù)，位相傳送函數(shù)是奇由此可見(jiàn)，這種系統(tǒng)振幅傳送函數(shù)是偶函數(shù)，位相傳送函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù) yxyxffHffH,*yxyxyxffjffAffH,exp,yxyxyxff

15、jffAffH,exp,*yxyxyxyxffjffAffjffA ,exp,exp,yxyxffAffA ,yxyxffff ,常用函數(shù)及其傅里葉變換常用函數(shù)及其傅里葉變換1常數(shù)常數(shù)c2 函數(shù)函數(shù)3余弦函數(shù)余弦函數(shù)4正弦函數(shù)正弦函數(shù) xfccF002expxfjxxFx000212cosffffxfFxx000212sinffffxfFxxxf02cosxf02sin非相關(guān)成像系統(tǒng)的本征函數(shù)非相關(guān)成像系統(tǒng)的本征函數(shù)2 2余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù) ，輸入函數(shù)為余弦，輸入函數(shù)為余弦函數(shù)函數(shù) 對(duì)應(yīng)的頻譜為對(duì)應(yīng)的頻譜為該不變線性系統(tǒng)輸出函數(shù)頻譜那么

16、為該不變線性系統(tǒng)輸出函數(shù)頻譜那么為 系統(tǒng)輸出函數(shù)相應(yīng)為系統(tǒng)輸出函數(shù)相應(yīng)為 yfxfyx,f bacosbyaxbyaxyxfffffffff ,fF , byaxbabyaxbayxyxyxffff,-ff-Hfffff ,fHf ,fFf ,fHf ,fG ,1xyababababab11 g x,yG f ,fH f ,fexp2H -f ,-fexp22211A f ,fexp2,A -f ,-fexp2,22A f ,fcos 2,ababababababababjf xf yjf xf yjf xf yjf fjf xf yjf ff xf yf fF非相關(guān)成像系統(tǒng)的本征函數(shù)非相關(guān)成

17、像系統(tǒng)的本征函數(shù)3 3因此有：因此有： 這闡明，對(duì)于脈沖呼應(yīng)是實(shí)函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入這闡明，對(duì)于脈沖呼應(yīng)是實(shí)函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。同時(shí)產(chǎn)生與頻率有關(guān)的振幅衰減和相位挪動(dòng)，其大小決議于傳送同時(shí)產(chǎn)生與頻率有關(guān)的振幅衰減和相位挪動(dòng)，其大小決議于傳送函數(shù)的模和幅角。函數(shù)的模和幅角。非相關(guān)光學(xué)成象系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對(duì)這一類空間不變線非相關(guān)光學(xué)成象系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對(duì)這一類空間不變線性系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳送函數(shù)實(shí)際的根底。性系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳送函數(shù)實(shí)際的根底。babababaffyfxfcosf ,fAyfxfcos,

18、L級(jí)聯(lián)絡(luò)統(tǒng)級(jí)聯(lián)絡(luò)統(tǒng) 以下圖表示的是兩個(gè)級(jí)聯(lián)在一同的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)以下圖表示的是兩個(gè)級(jí)聯(lián)在一同的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的傳送函數(shù)兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的傳送函數(shù)對(duì)于總的系統(tǒng)對(duì)于總的系統(tǒng) 和和 分別是其輸入和輸出，由于分別是其輸入和輸出，由于 前式代入后式，并利用卷積的結(jié)合律，有前式代入后式，并利用卷積的結(jié)合律，有總的脈沖呼應(yīng)為總的脈沖呼應(yīng)為總的傳送函數(shù)為總的傳送函數(shù)為 yxhyx,fyxgyxhyx,fyxgyx,f 212,yxf,yxg,yxhyxhyx,fyxhyxhyx,fyxg11,yxhyxhyxh,yxyxyxffHffHffH,n n個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)n n個(gè)空間不變線性系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的情況，總的等效系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)和個(gè)空間不變線性系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的情況，總的等效系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)和傳送函數(shù)分別為傳送函數(shù)分別為 用模和幅