我研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)

1、我研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)丘成桐院士（1997年6月9日于新竹交通大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系）今天林松山叫我講關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題，我想一想，講做學(xué)問的經(jīng)驗(yàn)也好。因?yàn)槲襾砼_灣也差不多五年了，我想很多研究人員做研究的方法并不見得是最好，尤其是我覺得很多年輕人員為什么在國外能夠念的好？這是很值得思考的。所以，我想講講我自己的經(jīng)驗(yàn)，或是我對數(shù)學(xué)的看法，讓大家參考一下。我想第一講是最重要的當(dāng)然是要有熱忱，最主要的就是求真的精神，是始終要培養(yǎng)的。我們做學(xué)問是為了求真，無論是對自然界的了解或是從數(shù)學(xué)方面來講，我們有不同的觀念，可是真跟美就數(shù)學(xué)來講是最重要的。追求真跟美的熱忱很重要，因?yàn)槲覀冋麄€(gè)做學(xué)問的路上要碰到很多不同的困難，假

2、如我們沒有熱忱的話，就沒有辦法繼續(xù)下去。所以追求學(xué)問的最崇高目標(biāo)，無過于真跟美，追求的目標(biāo)無誤，熱情才不會熄減。我們非想辦法培養(yǎng)自己對追求學(xué)問的熱忱不可。幾天我在去看我父親的遺作，其中有屈原：路漫漫其修遠(yuǎn)兮，余將上下而求索。做學(xué)問的路很長很遠(yuǎn)，我們一定要看得很遠(yuǎn)，因此我們要上下去求索，要想盡辦法去求真。怎么去找真跟美，能夠始終不斷的堅(jiān)持下去，這是成功的一個(gè)很重要因素，如果沒有熱忱的話，就永遠(yuǎn)達(dá)不到做大學(xué)問的地步。我們再舉一個(gè)國外的例子，在一個(gè)有組織的系統(tǒng)里，我們的競爭很厲害，尤其在物理方面或其它實(shí)驗(yàn)科學(xué)方面的研究，真是分秒必爭；有一個(gè)題目剛好出來的時(shí)候，大家曉得其他人也會做這個(gè)問題，很多pos

3、tdoctor或者是faculty聚在一起往往工作到深夜，甚至整個(gè)晚上不睡覺。這上面當(dāng)然有一個(gè)競爭性在里面，就是希望達(dá)到一個(gè)目標(biāo)，比人家快了一點(diǎn)；可是另一方面也是因?yàn)榍笳娴臒岢篮艽?，刺激著我們使我們不肯放松。否則的話，很多有tenure的faculty，沒有必要這樣拼命，可是很多faculty還是愿意這樣子作，我想熱忱很重要。我們要曉得，作研究的路是很遠(yuǎn)的，我們要在中間低潮的時(shí)候還能夠堅(jiān)持做下去。很多作研究的人，他往往覺得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到過最好的地方，他也不敢去碰難的題目。這有很多不同的原因，等一下我們再慢慢談，可是一個(gè)最要緊的我想是基本的功夫要做好?；竟Ψ驔]做好往往

4、會出現(xiàn)上述問題。中學(xué)的時(shí)候，大學(xué)的時(shí)候或者在研究院作研究生的時(shí)候，很多基本功夫都要培養(yǎng)，很多學(xué)生在年輕的時(shí)候不將基本功夫做好，以后做研究就很吃力。交通大學(xué)著重應(yīng)用數(shù)學(xué)，可是我們曉得應(yīng)用數(shù)學(xué)主要的工具是從純數(shù)學(xué)來的；很多的學(xué)生人認(rèn)為既然是應(yīng)用數(shù)學(xué)就不用學(xué)純數(shù)學(xué)或者是應(yīng)用物理就不必學(xué)基本的物理，這是很大的錯(cuò)誤。很多基本的功夫非在作學(xué)生的時(shí)候?qū)W不可，為什么呢？我們要做習(xí)題，并且要大量的去做，這是學(xué)習(xí)基本功夫的必要過程。我想很多現(xiàn)在畢了業(yè)拿了博士學(xué)位的人看一本書的時(shí)候不再去做習(xí)題。遇到一些比較復(fù)雜計(jì)算的時(shí)候往往不愿意去算，可是很多基本的想法就是要從計(jì)算里面領(lǐng)會得來的。我們所做的命題，最后的時(shí)候可能留下

5、很簡單很漂亮的結(jié)果，可是中間往往要花大量的計(jì)算我們才曉得這結(jié)果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得來的，往往做了一百次，九十九次是錯(cuò)的，最后一次是成功的。但成功的時(shí)候，我只跟你講成功的結(jié)果，不會跟你講九十九次失敗的經(jīng)驗(yàn)。錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)往往是很好笑的，因?yàn)榻?jīng)常犯很明顯的錯(cuò)誤，要在做完的時(shí)候才知道?？墒钱?dāng)講給人家聽的時(shí)候很少會跟人家講錯(cuò)誤的那部分，其實(shí)做錯(cuò)誤的結(jié)果讓你眼睛明亮，它幫你忙，讓你向前走。其實(shí)你能做錯(cuò)的結(jié)果，已經(jīng)是很不錯(cuò)的了，因?yàn)楹芏喑鯇W(xué)的人連怎么進(jìn)去做這個(gè)題目都不能夠做到。譬如來講，你給我一個(gè)化學(xué)上的問題，我從什么地方開始做我都不曉得,因?yàn)槲覜]有這基本的功夫，我根本不曉得要從什么地方開始

6、。一個(gè)好的數(shù)學(xué)家至少要能夠掌握兩門以上很基本的功夫?；竟Ψ虿皇且怀幌W(xué)來的。譬如講，有代數(shù)的方法、有分析的方法、有幾何的方法等種種不同的方法,我們在中學(xué)的時(shí)候就開始學(xué)。有些人喜歡幾何，覺得代數(shù)沒有什么意思不想學(xué)，或者是學(xué)代數(shù)的人不想學(xué)幾何，各種想法都有，可是最后我們發(fā)現(xiàn)真的做研究的時(shí)候全部都要用到。有人說我只做一個(gè)特殊的題目就永遠(yuǎn)只去做這方面的題目，結(jié)果連這方面的問題也不見得做得好。因?yàn)閿?shù)學(xué)的發(fā)展是不停地在改變，不斷地在改變。自然界能夠提供給我們的問題，不會因?yàn)槟闶菐缀螌W(xué)家就繼續(xù)不斷的提供幾何方的問題，而往往是與幾何結(jié)合在一起的問題。到了題目來的時(shí)候，要用到其它工具，我沒辦法去了解，我就比

7、其他人吃虧了。例如，很重要的一門"群表示理論"，一般來講很多地方不教這門課，可是在應(yīng)用科學(xué)或者理論科學(xué)要用到，"群表示理論"在物理也要用到。有些好的數(shù)學(xué)家可以很技巧地運(yùn)用"群表示理論"分析很多問題。我們可能沒有這些辦法，這就是因?yàn)槲覀兓竟Ψ驔]有做好的緣故。我想"群表示理論"大概是進(jìn)了研究院或者大學(xué)后半期的時(shí)候?qū)W的。中國數(shù)學(xué)家在這方面的訓(xùn)練不夠，因此不如國外學(xué)者，可見有些基本學(xué)科一定要學(xué)好，同時(shí)要很早就學(xué)。我們學(xué)數(shù)學(xué)的不單是要學(xué)數(shù)學(xué)上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要學(xué)，這是在大學(xué)時(shí)就要學(xué)的。力學(xué)、電磁學(xué)我們都要有

8、一定的了解，因?yàn)槲锢砀鷶?shù)學(xué)這幾十年來的發(fā)展越來越接近，很多問題是從物理上提供的。我們假如對這些基本的觀念完全不認(rèn)得的話，我們看到題目就比不上其他懂得這方面的數(shù)學(xué)家，能夠很快的融會貫通。到了這個(gè)年代，很多的數(shù)學(xué)的問題往往是從其他的學(xué)問如理論物理、應(yīng)用數(shù)學(xué)或其它的科學(xué)里來的，他們甚至提供intuition和方法。我們想了很久的一些問題，往往因此得到了解決，假使我們從來都不接觸其他科學(xué)的話，就完全落伍了。舉個(gè)例子來講，代數(shù)幾何學(xué)家這二十年來已有長遠(yuǎn)的發(fā)展。可是到了這幾年來用古典的方法或者纖維叢的方法，都沒有辦法解決的問題，結(jié)果從理論物理幫助我們看到以前看不到的可能。由于本身知識的局限，很多代數(shù)幾何學(xué)

9、家遇到這個(gè)困難的時(shí)候沒有辦法接受這些專家的看法，遇到理論物理就不敢去碰它?？墒俏锢硖峁┝?，解決了我們基本問題的方向，代數(shù)幾何學(xué)又覺得很難為情，因?yàn)樗麄儧]有辦法去了解，所以這是一個(gè)很困擾的問題.假使你不肯學(xué)物理學(xué)上的基本功夫，你就很難接受這個(gè)新的挑戰(zhàn)。記得我看過一本書,序言里講作者很感謝代數(shù)學(xué)家Albert，他為什么感激他呢？他說Albert教我代數(shù)，使得我坐下來的時(shí)候，看代數(shù)問題不會恐慌，使我能夠坐下來好好地對待代數(shù)上的問題。就是講我們基本功夫能不能做到如此，我坐下來，看到幾何問題或應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題，可不可以坐下來就想個(gè)辦法來對付他，我想這是很重要的。我們往往看到問題，坐下來的時(shí)候，恐慌的不曉得

10、怎么辦，因此就算了，我想大家都有這個(gè)經(jīng)驗(yàn)。你做基本功夫一定要做到你看一個(gè)題目，明明是unknown、unsolved的問題，你還是可以坐下來，然后花工夫去解決它。即使你不能夠解決它，可是你至少曉得怎樣去想辦法，同時(shí)不會恐慌、放棄，我想這是最重要的。往往我們因?yàn)榛竟Ψ驔]做好，當(dāng)一個(gè)深的題目或看法出現(xiàn)的時(shí)候，我們就拒絕去接受，認(rèn)為這些題目不重要，這是去解釋自己為什么不能夠去做某一個(gè)問題的時(shí)候最自然的方法。訓(xùn)練基本功夫要在研究生、大學(xué)生或中學(xué)生的時(shí)候?；竟Ψ蛟鯓訉W(xué)好呢？有時(shí)看一本書完了就放在一邊，看了兩、三本書后就以為懂了，其實(shí)單看書是不夠的，最重要的是做習(xí)題，因?yàn)橹挥性谧隽?xí)題的工夫里面你才能曉

11、得什么命題你不懂，也理解到古人遇到的困難在那里。習(xí)題不單在課本里找，在上課和聽seminar時(shí)也可以找。我們很多學(xué)生上課的時(shí)候不愿意去寫筆記，不作筆記的話根本不可能去念任何學(xué)科。尤其是有時(shí)候演講的人講的題目是根本不在書本里的，或者是還沒有發(fā)表的。我常覺得很奇怪,為什么學(xué)生不去作筆記，他認(rèn)為他懂了，其實(shí)明明不懂。因?yàn)榭赡苓B講課的人自己都還沒搞懂，可是聽講的人不愿意去作筆記，也不會去跟演講的人談，也不會去跟其他老師討論。往往你花了一個(gè)鐘頭在那邊聽，聽完了以后就全部忘掉了。因?yàn)槟銢]有一個(gè)寫下的筆記可以溫習(xí)，怎么可能不忘掉呢？另一個(gè)訓(xùn)練基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪里。我們來看"群表

12、示理論"的時(shí)候，我們有一大套理論。單看理論是不夠的，在應(yīng)用時(shí)往往要知道群表示怎么分解的，你不能夠?qū)⑺鼘懴聛韯t理論對你一點(diǎn)好處都沒有。又例如一個(gè)方程式的估計(jì)問題，你有沒有辦法了解其中的方法，就全靠你實(shí)際計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，不光念一兩本書就足夠的。舉例來說，我的兒子最近剛學(xué)因式分解這個(gè)問題，老師教他一大堆怎么分解整數(shù)方程的問題。他學(xué)了。也學(xué)得很好，也學(xué)了怎么找根的方法?？墒怯幸淮慰荚囀撬恢涝趺匆蚴椒纸?？我跟他說，你明明曉得怎么找根，為什么不能夠式分解？主要是他學(xué)的時(shí)候沒想到找根跟因式分解是同一件事情。問題就在于訓(xùn)練基本功夫的時(shí)候，要去想清楚數(shù)學(xué)命題間的關(guān)系，了解清楚為什么要解這些命題。我們?nèi)タ?/p>

13、很多人寫以前人的事，寫了很多很漂亮的介紹和批評?？墒悄阕约簺]有經(jīng)歷過這一條路的話，你事實(shí)上很難了解困難在什么地方，為什么人家會這樣子想。要得到這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，不單要做習(xí)題，還要做比較困難的習(xí)題。做困難的習(xí)題有什么好處呢？困難的習(xí)題往往是幾個(gè)比較基本的問題的組合。我自己看書的時(shí)候，常常會一本書一下子就看完了，覺得很高興，因?yàn)榭赐炅?；可是重新再看，反而什么都不懂。我想大家都有這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，主要的原因是什么呢？我們沒有學(xué)好這學(xué)科，做比較困難的題目的時(shí)候，你就會發(fā)覺會遇到困難。尤其是我們做一些題目的時(shí)候，往往就覺得似是而非，在腦子里面想，以為已經(jīng)懂了、可以解決了、就一廂情愿的很快的解決它，很快的看完那一本書，事

14、實(shí)上這是欺騙自己，也不是訓(xùn)練基本功夫的方法。一個(gè)好的題目，你應(yīng)當(dāng)坐下來用筆寫下來一步一步地想，結(jié)果你會發(fā)現(xiàn)很多基本的步驟你根本沒有弄清楚。當(dāng)你弄清楚的時(shí)候，你去看你以前需要的定理在那里、怎么證的、我想你會慢慢了解整個(gè)學(xué)問的精義在哪里。所以說，動筆去做題目是很重要的，我們做大學(xué)生的時(shí)候還愿意做這個(gè)事，往往做研究生的時(shí)候，就以為了不起，畢業(yè)以后更不用講，不會動手去寫。一個(gè)題目在那里，我們很了不起地以為自己懂了，有些是很明顯，但有些是似是而非，好像差不多了，事實(shí)上不是，里面有很多巧妙在里面。我們一定要?jiǎng)邮秩プ?，?dāng)你在一門課里面，基本功夫搞得很清楚以后，你就發(fā)現(xiàn)書里面很多是錯(cuò)的。在發(fā)現(xiàn)書本里的錯(cuò)誤時(shí)，

15、你的基本功夫也不錯(cuò)了。我們這個(gè)時(shí)代的學(xué)生不看課外書，連本身的教科書也不看，很使人失望。做研究大家曉得，自己要去找自己的思路。單單上課聽聽，聽完以后不看書，做幾個(gè)習(xí)題就算了，怎么用都做不好。因?yàn)槟銢]有想自己的思路要怎樣子走。我做大學(xué)生剛開始第一年半的時(shí)候，因?yàn)閯傞_始將數(shù)學(xué)嚴(yán)格化，我覺得很高興。因?yàn)閺恼麄€(gè)logic看去，可以一點(diǎn)一點(diǎn)地推導(dǎo)，從前有些幾何或分析上的問題，我覺得可以慢慢將它連起來，我覺得很高興。我講這個(gè)事情是什么原因呢？我覺得現(xiàn)在很多大學(xué)生或研究生對于宏觀的數(shù)學(xué)看法并不熱情。就想課本上有題目拿來，能夠做完它，你就覺得很高興。你沒有整體地去想整個(gè)數(shù)學(xué)、或者整個(gè)幾何、或者整個(gè)代數(shù)，我們須要

16、研究的是什么事情？我們須要追求的是什么對象？我想去考慮這些事情其實(shí)并不會花你太多時(shí)間，可是你要有一個(gè)整體性的想法。整體性的想法是非要有基本功夫不可，就算很瑣碎的事情你都要曉得以后，才能對整個(gè)科學(xué)有一個(gè)基本的看法、一個(gè)大范圍的看法?，F(xiàn)在談?wù)勎覀€(gè)人的經(jīng)驗(yàn)，我記得我念中學(xué)的時(shí)候我學(xué)了平面幾何。大家都曉得平面幾何很漂亮，我覺得很有意思。書本上的平面幾何的問題大概我都懂得怎么做?？墒俏矣X得還是不太夠，所以我將很多基本的問題連在一起，之后開始慢慢想。去發(fā)現(xiàn)一些書本沒有的問題，去想書本的方法能夠有什么用處，是不是大部分平面幾何上的問題都可以解決？我想找一些命題是這些方法沒有辦法解決的。我記得我初中的時(shí)候想過

17、一個(gè)問題，我發(fā)覺沒有辦法去解決它?；撕芏喙し蛉ハ?，看了很多課外的書來幫忙，最后很高興地找到一個(gè)本書講那個(gè)問題不可能用圓規(guī)和直尺來解決，可以用代數(shù)的方法來證明。因?yàn)榻?jīng)過很多不同的想法，有半年的工夫，完全不曉得圓規(guī)和直尺解決不了這個(gè)問題，因此看到人家將這個(gè)問題解釋清楚，就覺得很高興；那時(shí)候是中學(xué)生，沒有了解Galois理論，所以還是不太搞清楚是怎么證明的?？墒俏抑辽贂缘糜袉栴}是不能用圓規(guī)和直尺解決的。也因?yàn)榻?jīng)過很長的思考，所以我開始對這類問題的了解清楚得多。也開始欣賞到做數(shù)學(xué)的精義。我想我們做一個(gè)習(xí)題或研究，我們最好花些工夫去想想著整個(gè)問題的來龍去脈，也多看一些參考書，這對你的幫助很大。因?yàn)閿?shù)學(xué)

18、無非是很多方法放在一起解決很多不同的問題。這是個(gè)工具，我們了解一下這整個(gè)方法的局限，對基本功夫有很大的幫忙?；竟Ψ蚴且粋€(gè)工具，不是一個(gè)終點(diǎn)，是一個(gè)起步?；竟Ψ驔]搞清楚的話，沒有辦法去講某個(gè)學(xué)問好，某個(gè)學(xué)問不好。記得從前在香港念大學(xué)的時(shí)候，當(dāng)時(shí)的環(huán)境比現(xiàn)在差得很多，圖書館根本沒有什么書，也沒有什么很好的導(dǎo)師，但是還是看了很多課外書，也看了很多文章。但現(xiàn)在看來浪費(fèi)了很多精力，這是眼界太淺，坐井觀天，不知數(shù)學(xué)的發(fā)展與方向的緣故。以后我到berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面當(dāng)?shù)貓D書館收藏豐富，一方面良師益友的交往，心中開始建立對數(shù)學(xué)的看法。我中學(xué)的時(shí)候，老師跟我們講：好的書要看，不好

19、的書也要看。數(shù)學(xué)里面不好的書我也看，你可能奇怪為什么不好的書我也看；我是覺得這樣子，你一定要曉得什么是好的書，什么是不好的書，所以你看文章的時(shí)候，一定要搞清楚這個(gè)作者寫文章并不見得是了不起的。有些作者，你曉得他的著作是了不起的可以多看，可是從不好的文章里面，你也可以看到許多現(xiàn)代的發(fā)展。因?yàn)橛袝r(shí)候，從簡單的寫法里面，你反而看得比較容易一點(diǎn)，可是你一定要曉得他里面所講的命題并不見得是有意思的，你一定要經(jīng)過你自己大腦去搞清楚?？墒撬锩娴慕M織往往是有的，普通水平的文章里面往往會引出有名的文章，也會介紹出有名的文章里面講些什么事情，同時(shí)往往會寫的比較容易看一點(diǎn)。因?yàn)樗乃奖容^低，它可以學(xué)一些大數(shù)學(xué)家

20、的文章，你看了以后，很快就曉得怎么進(jìn)出不同的地方，可以和好的文章比較。這是我自己的經(jīng)驗(yàn)，你不一定要這樣子做。我的建議是大部份的時(shí)間看大數(shù)學(xué)家的作品，小部份時(shí)間瀏覽一般作品，并做比較。我當(dāng)研究生的時(shí)候，有時(shí)候從早到晚都在圖書館里面看期刊、看書。當(dāng)時(shí)因?yàn)樵贐erkeley沒有研究室，研究生沒有研究室很好，整天在圖書館里面坐。幾乎主要期刊的文章我都看過，看過并不表示仔細(xì)的看，但至少有些主要的定理都看過。當(dāng)時(shí)大部分都看不懂?？床欢疀]有什么關(guān)系。往往你要花很多工夫才能夠在細(xì)節(jié)的部份搞清楚一篇好的文章。因?yàn)槟愕谝谎劭吹枚奈恼虏⒉灰姷锰?。并不是講一定不好，簡單的文章有時(shí)也有創(chuàng)見，多看文章讓你曉得當(dāng)時(shí)的人

21、對于哪一個(gè)方向的問題有興趣，對你有很大的幫助。有很多學(xué)生跑來問我問題，我跟他講某某年有誰做過、做到什么階段，他們聽了很驚訝，為什么我曉得？沒有誰講給我聽，是我自己在文章上看到。這很重要，因?yàn)槟阕鲅芯康臅r(shí)候，你要曉得什么人做過、解過哪些問題，對你的幫助很大。因?yàn)橥鲅芯康臅r(shí)候，你須要曉得得只是誰做過、在什么地方可以找到這個(gè)方面的文獻(xiàn)，你以為有了這個(gè)幫助以后，你可以跑回去找這個(gè)文件。甚至你只要曉得那一年代誰碰過這個(gè)問題，對你也有很大的好處。有很多名家的文章往往比人家做快一步，就是因?yàn)樗麜缘谜l做過這件事情，他可以去找這方面的文章，或者去找某個(gè)數(shù)學(xué)家?guī)兔?，否則的話，做數(shù)學(xué)的有十幾萬人，你根本不曉得誰

22、做過這個(gè)方面的問題，誰沒有做過。所以在這方面多學(xué)一些人家做過的問題，無論出名的文章也好，差的文章也好，都看一看。我當(dāng)然是建議你多看一些出名的文章，因?yàn)椴畹奈恼碌扔谑窍残?，看武俠小說一樣，看完就放在一邊。你有追求的熱情以后，慢慢地在將不同的看法放在一起。到了這個(gè)第一步以后，我覺得你可以開始找自己的題目。因?yàn)槟汩_始曉得整個(gè)數(shù)學(xué)界主要在看什么問題。一個(gè)好的數(shù)學(xué)家怎么找自己的問題是很重要的。當(dāng)然有不同的找法，有些人要發(fā)展一套理論，有些人要解決難題，理論的目標(biāo)最后還是要解決問題的，所以解決重要問題是發(fā)展一般理論中一個(gè)很重要的一環(huán)。舉例來說，像PoincareConjecture，它是三維拓?fù)渲凶钪饕?/p>

23、猜想，我們曉得前人花了很多心血去解決它，到了現(xiàn)在有很多不同的嘗試方法，各自成一個(gè)氣候。這個(gè)命題已經(jīng)變成一門學(xué)科而不再是一個(gè)獨(dú)立的問題。這是三維空間的結(jié)構(gòu)問題，需要徹底解決此猜想才算圓滿。另一方面有些人為什么對PoincareConjecture有興趣，對其他問題興趣不大，那是因?yàn)樗枪J(rèn)的難題。我想選題方面每個(gè)人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的數(shù)學(xué)家，他們只想解決出名的問題，我認(rèn)為這是錯(cuò)誤的選題方法。在數(shù)學(xué)上，我們應(yīng)該有整個(gè)的有系統(tǒng)的想法，想整個(gè)數(shù)學(xué)目的在那里，應(yīng)當(dāng)解決什么樣的問題。你們可能都念過王國維講的做大學(xué)問的三個(gè)階段，第一階段是晏殊說的"昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上西樓，望盡天涯

24、路。"這是王國維講做大學(xué)問的第一個(gè)階段，要解釋這一段話，我要再說明基本功夫的重要性。如果基本功夫沒有做好，你根本望不遠(yuǎn)。你叫中學(xué)生去望盡天涯路，根本是不可能的事，最后講一些空談的話。對數(shù)學(xué)或者科學(xué)上的歷史不了解的話，你根本沒有資格去談以后的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解?，F(xiàn)在很多學(xué)生，尤其是研究生，我覺得比較頭痛，教他做一個(gè)小題目，做了以后，一輩子不愿意放。不停的寫小文章，寫了文章當(dāng)然可以發(fā)表，對某些年輕人來說講，他認(rèn)為這樣子很好，不想重要的問題，今天能夠?qū)懸黄∥恼拢魈炷軌驅(qū)懸黄∥恼?，就可以升級，假如不寫出來的話，生活上會受到困撓。這都是對的，可是你真的要做一個(gè)好的題

25、目，其實(shí)也不見得那么難。一些究生的論文是歷史上有名的著作。為什么他們能夠花三、四年的工夫，做出這么出色的工作？他們是從不懂到懂，然后還要再向前進(jìn)。表示真的要做好的題目，并不是像你想象要花很多很多的時(shí)間才能夠做到，問題是你的決心是怎么樣。昨夜西風(fēng)凋碧樹，就是說你要望很遠(yuǎn)的話，要將前面小的樹去掉，才能看的遠(yuǎn)。假如我們眼界里面看的都是小題目，永遠(yuǎn)都看不遠(yuǎn)。我們要懂得怎么放棄些渣滓，才能夠做一些好的題目，我想這是一個(gè)很重要的事請。你不愿意放棄你明明曉得不會有前途的問題，就永遠(yuǎn)做不到好的問題。這是一個(gè)困難的選擇，因?yàn)槟阌X得畢業(yè)、升級的問題，而不愿放棄你明明曉得不會有前途的問題，那你永遠(yuǎn)不會成就一個(gè)大學(xué)問

26、的我記得我剛學(xué)幾何學(xué)的時(shí)候，當(dāng)時(shí)流行的度量幾何，所有工具都是三角比較定理來的，我始終覺得對幾何的刻畫不夠深刻，后來我和我的朋友和學(xué)生開始一系列用到微分方程做工具的幾何研究，我也很慶幸當(dāng)時(shí)愿意放棄一些小的成果，走一條自己的路。我們選題的時(shí)候，可以跟出名的數(shù)學(xué)家、跟導(dǎo)師或者是從書上去看，可最后的思考一定要有自己的想法才能做成大學(xué)問。因?yàn)槟阕约簺]有你自己的想法,你始終跟著人家走，是沒有辦法做好學(xué)問的?？墒悄憧赡軟]有資格做這一件事情，因?yàn)槟銓τ谶@一門學(xué)問還不懂。我一開始講了一大堆，就是因?yàn)槲蚁Ｍ銈內(nèi)ハ胍幌牖竟Ψ蛞龊?，要你對這一門學(xué)問里的不同命題要曉得。就像你去買貨，你要曉得百貨公司里面有可能出現(xiàn)

27、什么東西，你才去挑。王國維談學(xué)問的第二階段是柳永的詩："衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。"尋找真理的熱情就如年輕的戀人對自己的對象的追慕，那是很重要的事。在追求一個(gè)好的命題的時(shí)候，中間要花很多工夫，有時(shí)候甚至是很痛苦的?？墒俏覀冎灰獣缘?，最后的成果是值得的，我們就會花很多工夫去做，就像愛情一樣。很多年輕人找對象時(shí)，朝思暮想，當(dāng)做學(xué)問卻沒有這種態(tài)度。假如你對做學(xué)問沒有熱情沒有持久力的話，你就不可能做成大學(xué)問。其實(shí)屈原說"亦余心之所善兮，雖九死其尤未悔。"比柳永更來得徹底。接著下來大家都曉得王國維的第三階段是："夢里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈

28、火闌珊處。"當(dāng)然這是辛棄疾的詩，不是我講的，可是基本上我們都有這種感覺。你真的做過一個(gè)好的文章的時(shí)候，就有這種感覺。我們花很多工夫做一個(gè)好的命題，有想法的時(shí)候，你考慮這個(gè)想法對不對有時(shí)候晚上睡不好，想得很辛苦。有時(shí)候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做學(xué)問做到這個(gè)地步，你會解決很多意想不到的問題。我想沒有人是特別聰明，可是你花了很多工夫，能夠進(jìn)入交通或清華大學(xué)，應(yīng)當(dāng)資質(zhì)都不會太差。我想你花了那么多工夫進(jìn)研究院，一定希望有一些成果。我們做學(xué)問跟愛情不太同，有時(shí)候不一定看到一個(gè)目標(biāo)，而是看到其它。就像我剛才講的，我們要解決Poincareconjecture，最后還沒解決它，可是解決了其它

29、的命題，這是數(shù)學(xué)歷史上常常有的。每一個(gè)人都有這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，你明明要解決這個(gè)問題，結(jié)果發(fā)現(xiàn)解決了其它的問題。這是因?yàn)槲覀冏鲞@個(gè)題目的時(shí)候，不曉得走法對不對，可是你將這個(gè)工具全部搞好以后，基本的想法、有意思的想法你自己曉得以后，就可以解決很多問題了。在這個(gè)路上走的時(shí)候，思想不要太頑固。你要知道還有其他有意思的問題。就是你發(fā)展了一套想法以后，往往有其它的問題你剛好可以解決?？墒且惨虼四阋獣缘?，你在整個(gè)做研究的過程里面，你眼睛要睜開，眼睛怎么睜開呢？很多學(xué)生不愿意去聽colloquium，也不愿意去聽其他人的seminar。不聽seminar就不曉得人家在做什么東西。明明你的方法可以解決他們在做的問題，但你眼睛閉起來、看不到，這是一個(gè)很大的困難。很多學(xué)生尤其是中國學(xué)生，講我的論文是做這個(gè)，這個(gè)seminar與我的論文無關(guān)，我不愿意去聽、不愿意去看、不愿意去跟人家來往、不愿意去跟人家談。結(jié)果你做的論文可能不是你能解決的問題，可能你的方法剛好可以解決人家的問題。因?yàn)槟悴辉敢馊ヂ?、去看，你就解決不了問題。一個(gè)人的思維有限、能力有限，你不可能不靠人家的幫忙。什么是人家的幫忙呢？一方面是看文章，聽semin