曲線積分及曲面積分

1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM

2、為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè)設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線是空間中一條有限長的光滑曲線,義在義在 上的一個有界函數(shù)上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對若通過對 的任意分割的任意分割局部的任意取點(diǎn)局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列下列“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的

3、質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對如果如果 L 是是 xoy 面上的曲線弧面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積則定義對弧長的曲線積分為思考思考:若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfsz

4、yxfsd)4(l( l 為曲線弧 的長度)(5),( , )( , ),f x y zg x y z設(shè)在上則( , , )d( , , )d .f x y zsg x y zs( , )d( , ) d .f x y zsf x y zs特別地,有tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法( ),( ),tt 其中在 , 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf22( )0,t且(t)+xdydsdxyo注意到注意到 22)(d

5、)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當(dāng)于因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 計算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)

6、2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例3. 計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arL例例4. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(32222

7、22kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線例例5. 計算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2d d s例例6. 計算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義

8、kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)

9、(12d)()(22rr)(),(ttf思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性2. 計算()d ,(0,0), (1,0)(0,1)CIxysCOAB其中 為以和為頂點(diǎn)的三角形圍線.解解:()d()d()dOAABBOIxysxysxys111000d(1)2ddx xxxxyy 1121222 第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分

10、之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對坐標(biāo)的曲線積分 一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn)平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn)移動到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”恒力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF( , ),( , )P x yQ x y在在L上連續(xù)上連續(xù)1kMkMABxy1)

11、“大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 為 n 個小弧段的最大長度)2. 定義定義. 設(shè)設(shè) L 為為xoy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條有向光滑的一條有向光滑弧弧,若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上

12、任意取點(diǎn)的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個向量函數(shù)上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ( , ),( , )P x yQ x y在在L上有界上有界.LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd)

13、,(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對稱為對 x 的曲線積分的曲線積分;稱為對稱為對 y 的曲線積分的曲線積分.若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作d(d ,d )rxy),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF類似地, (,)drdx dy dz ( , , )( , , )( , , )F drP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ( , )( , )LLF drP x y dxQ x y dy 3. 性質(zhì)性質(zhì)(2) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLi則LyyxQxyxPd),

14、(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(1) 設(shè) 為常數(shù),則, 12( , )( , ) dLF x yF x yr 12( , ) d( , ) dLLF x yrF x yr (3) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),( 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !( )( )baabf x dxf x dx 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),()

15、,(22存存在在則則曲曲線線積積分分且且續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一一階階連連為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上具具有有及及在在以以運(yùn)運(yùn)動動到到終終點(diǎn)點(diǎn)沿沿的的起起點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時時到到變變單單調(diào)調(diào)地地由由當(dāng)當(dāng)參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為續(xù)續(xù)上上有有定定義義且且連連在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理( :)t化為定積分化為定積分dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxb

16、aL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則(:)x ab( :)t(:)y cd.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( ( :)t例1. 計算,dLxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(

17、d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 計算計算其中其中 L 為為,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的 上半圓周上半圓周, 方向為逆時針方向方向為逆時針方向;(2) 從點(diǎn)從點(diǎn) A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2)d(cos)cos1 (023tta(2

18、) 取取 L 的方程為的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(334aaaxd00則則yxo例例3. 計算計算,dd22yxxyxL其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11例例4.4.求求3223x dxzy dyx ydz，

19、為為A(3,2,1)A(3,2,1)到到B(0,0,0)B(0,0,0)的直線段的直線段解：直線解：直線ABAB的方程為的方程為321xyz32:10 xtyttztt令故：原式故：原式031(273tdt23 42ttdt292)tt dt03187t dt874 ,)()( tytxL ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線線弧弧為為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第 一類第 二類表達(dá)式dsdx ,dy方向性無向有向1.1

20、.區(qū)別區(qū)別2.2.聯(lián)系聯(lián)系,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；.上上的的投投影影在在向向量量為為向向量量tAAt處處的的單單位位切切向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） 例例7. .211y將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB

21、,22xxy212xyxx 21y212xxcos2cos1yyx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圓周22,xx1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyx