熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理——第03章單元系的相變習(xí)題解ok

1、第三章單元系的相變習(xí)題3.1試證明下列平衡判據(jù)(假設(shè)S0):(a) 在S、V不變的情形下,穩(wěn)定平衡態(tài)的U最小.(b) 在S、p不變的情形下,穩(wěn)定平衡態(tài)的H最小.(c) 在H、p不變的情形下,穩(wěn)定平衡態(tài)的S最大.(d) 在F、V不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的T最小.證：熱力學(xué)第1定律dU = dQ dW和熱力學(xué)第2定律的數(shù)學(xué)表述dS_ dQ可得TdU 0,所以T 0,這就是說，在自發(fā)的虛變動(dòng)過程中，溫度只能減小，當(dāng)達(dá)到最小時(shí)就不 能改變而處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài).即在F、V不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的T最小. 證畢。習(xí)題3.3試由Cv 0及T : 0證明Cp 0及()S 0證： 由式(2.2.1) = Cp

2、 CV=TCp：V tdV +vdTdp =tt.LdS&】dV +e丿SUdTi.S V ；：V T W S(2)由麥?zhǔn)详P(guān)系(2.2.3)代入(1)式中何=1 1 _(cT(eSy0丿teh0丿se丿t p _ ：T,S:V S V,S：S,T：V,T宮dT丿V蟲 ：T,S :：V,T ：T,S ；V s ：:V,T ：V,S ：V,T_2空 :V,T ：T,SN s fV,S!卜V,T2!： t,s 2:S V W，T由式(2.2.5)二 CV 二 T育】；即.于是:于是:TVs 0Cp =TT ；： S, P T；：S，P ；：S,V = T P : S,V 旳，p ) E(S,V )點(diǎn)

3、(T, p )&V 人 E(T, p )a，迪)歸)寸 I刃丿S規(guī)T,V )規(guī)T,p)證：開系自由能侄TCvdF (T ,V , n)二-SdT - pdV dn所以有dG 二- SdT Vdp i dn所以有習(xí)題3.5（8分）求證:證：由dU二TdS - PdV dn選t、v、n為變量有(1) 3 分由 dF = SdT - PdV dn證畢2分(2) 3 分習(xí)題3.7試證明在相變中物質(zhì)摩爾內(nèi)能的變化為:T dp(1)(2)(3)(4)如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡(jiǎn) 解：1摩爾物質(zhì)由：相（液相）轉(zhuǎn)變?yōu)?相（凝聚相）時(shí)，其內(nèi)能的增量是:U =T0 2V=T（Sm_

4、Sm）_（Vm_Vm）克拉珀龍方程是：dpL= PdT T（Vm Vm）其中L=TAS = T（Sm- sm）（3）代入（1）并利用（2）得p dT也U = L 1 - | T dp 丿B RT對(duì)于理想氣體，忽略凝聚相的體積，且 V = Vm，由（2）得（5）代入（4）得pdT RT TdpLU = L - RT(5)(6)In p = 27.92 -3754T習(xí)題3.8在三相點(diǎn)附近，固態(tài)氨的蒸氣壓（單位為Pa ）方程為:液態(tài)氨的蒸氣壓方程為:In p =24.38 -3063T(2)試求氨三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)，氨的汽化熱、升華熱及在三相點(diǎn)的熔解熱。解：固態(tài)氨的飽和蒸氣壓方程決定了固態(tài)-氣態(tài)的相

5、平衡曲線；液態(tài)氨的飽和蒸 氣壓方程決定了氨的液態(tài)-氣態(tài)的相平衡曲線。三相點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，由（1）、（2）解得三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)分別為T廠 195.2K,p = 5434Pa將飽和蒸氣壓方程RT與實(shí)驗(yàn)公式（1）、（2）相比較得到:L升華二 3754R 二 3.121 104J,L汽化二 3063R 二 2.547 104J在三相點(diǎn)，有L升華二L汽化L熔化，故得熔化熱4L熔化二L升華L汽化二0.574 10 J附錄：matlab程序T=190:0.1:200;p仁 exp(27.92-3754./T);p2=exp(24.38-3063./T);plot(T,p1, .r,T,p2,*k);gr

6、id on習(xí)題3.10 試證明,相變潛熱隨溫度的變化率為:dLdT c + _P Cp T U如果一：相是氣相,:相是凝聚相，試證明上式可簡(jiǎn)化為:dLdTL 二 T(S - S );其中 S 二 S T, pfT), 在pT相平衡曲線上證：顯然屬于一級(jí)相變；(dS+ T也& dp0g dTS :dL = sH -T-dT訂p其中:=又有：Cp =T i ; L = T(S(P)-S.盯丿p由麥?zhǔn)详P(guān)系(2.2.4):Wp.丿Tn汀苛丿。上幾式聯(lián)立(并將一級(jí)相變的克拉伯瓏方程代入)得:dpdTdL dTV 20;0；若：相是氣相，相是凝聚相;相按理想氣體處理，pV=RT,= 叢=Cp -Cp：dT

7、 p p習(xí)題3.11 根據(jù)式(3.4.7),利用上題的結(jié)果及潛熱L是溫度的函數(shù)。但假設(shè)溫度 的變化范圍不大，定壓熱容量可以看作常數(shù)，證明蒸汽壓方程可以表為：In p解：蒸汽壓方程:1 dp p dTLRT2dppLd TT2利用ex.3.10結(jié)果dL：CpTC；溫度變化的范圍不大；設(shè).-：Cp二CplY-Cp，=C（常數(shù)）dp LdL,1-2 =Tn p =p CR L ToCR丄存一2 dLL（L+T。）（L+To）TocRlnL T cRFtL+To=T;11 t=In pIn TKCRCR T習(xí)題3-12蒸汽與液相達(dá)到平衡。以晉表在維持兩相平衡的條件下，蒸汽體積隨溫度的變化率。試證明蒸汽

8、的兩相平衡膨脹系數(shù)為1 dv 1 =v dT T1-丄。RT解：由式（3.4.6）克拉珀瓏方程。并注意到V：0.方程近似為:辛栄,V氣相摩爾比容。氣相作理想氣體,pV=RT聯(lián)立式，并消去 p、P得:蟲嚴(yán)TVLRT 、rt 2EL1RT2習(xí)題3.13 將范氏氣體在不同的溫度下的等溫線的極大點(diǎn) 可以得到一條曲線NCJ,如圖3.仃所N與極小點(diǎn)J聯(lián)起來, 示。試證明這條曲線的方程為：3pv 二 a（v - 2b）并說明這條曲線分出來的三條區(qū)域ium的含義。解：范氏氣體:v_b = RT ； p =更 _號(hào) 丿v - b v等溫線上極值點(diǎn)，= 極值點(diǎn)組成的曲線:匹；由旦-P弓 (v -b) vv -b v二 pv3=a(v-2b)習(xí)題3.14 證明半徑為r的肥皂泡的內(nèi)壓與外壓之差為：r(略解):連續(xù)應(yīng)用式(3.6.6)及(3.6.16)。習(xí)題3.16證明愛倫費(fèi)斯公式:dp ctG)ot(1) dp Cp()一 CpO) dT kfM-k。) dT TvFLot。證：對(duì)二級(jí)相變：(dV) =0 ;即 dV 2 -dV 1 =00 = . ：(dS)二 dS2 - dS1 二型一空dT班一空dpIL t 訂il 中；:p：(dS) =0 ； 即 dS 2 -dS1 =0