Lecture 3 遠期與期貨定價

1、2022-2-100Lecture 3 遠期與期貨定價2022-2-101遠期價格與期貨價格n遠期價值和交割價格遠期價值和交割價格n交割價格是遠期合約或者是期貨合約中規(guī)定的未來交易價格；o遠期價值遠期價值是指遠期合約本身的價值。n在簽訂遠期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應(yīng)使遠期價值在簽署合約時等于零。 n在遠期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠期價值將隨著標的資產(chǎn)價格的變化而變化。2022-2-102遠期價值、遠期價格和期貨價格遠期價值、遠期價格和期貨價格n遠期價格是令遠期合約價值為零的交割價格。遠期價格是一個

2、理論價格，它與遠期合約在實際交易中形成的實際交割價格并不一定相等。n如果信息是對稱的，遠期合約雙方所選擇的交割價格應(yīng)使合約的價值在簽署合約時等于零。n對金融工具的定價，實際上都是指確定其理論價格。一旦理論遠期價格與實際價格不相等，就會出現(xiàn)套利機會。2022-2-103遠期價格和期貨價格的關(guān)系o遠期與期貨合約唯一的區(qū)別是交易機制的不同。o斯蒂芬.羅斯（Ross）等證明，當無風(fēng)險利率恒定時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應(yīng)相等。o當利率變化無法預(yù)測時，遠期價格和期貨價格就不相等。o當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠期價格。o相反，當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關(guān)性時，遠期價格就會高于期貨價

3、格。2022-2-104o總的來看，差異可以忽略不計，Cornell和Reinganum（1981）、Park和Chen（1985）估計外匯期貨和遠期之間的合理差價時，都發(fā)現(xiàn)盯市所帶來的收益太小了，以至于在統(tǒng)計意義上，遠期和期貨價格之間并沒有顯著的差別。o大多數(shù)情況下，仍可以合理地假定遠期價格與期貨價格相等，并都用F來表示。因此，遠期和期貨合約適用于相同的定價分析。o除了利率的影響之外，合約有效期的長短、稅收、交易費用、保證金的處理、違約風(fēng)險、流動性等方面的因素都會導(dǎo)致差異。遠期價格和期貨價格的關(guān)系2022-2-105遠期與期貨的定價o符號約定nt：當前時間，單位為年。 nT：遠期/期貨合約的

4、到期時間，單位為年。nS：標的資產(chǎn)在時間t時的價格。nK：遠期/期貨合約中的交割價格。nF：遠期/期貨合約中標的資產(chǎn)的理論遠期價格。nf： 遠期/期貨合約多頭在t時刻的價值。nr： t時刻的以連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險年利率。2022-2-106回顧無套利定價原理回顧無套利定價原理2022-2-107o若合約實際報價高于理論價格，套利者就可以通過買入標的資產(chǎn)現(xiàn)貨、賣出遠期并等待交割來獲取無風(fēng)險利潤，從而促使現(xiàn)貨價格上升、遠期交割價格下降，直至套利機會消失，這種套利方式為正向套利（cash-and-carry arbitrage）；o若實際報價低于理論價格，套利者就可以通過賣空標的資產(chǎn)現(xiàn)貨、買入遠期來

5、獲取無風(fēng)險利潤，從而促使現(xiàn)貨價格下降，遠期交割價格上升，直至套利機會消失、遠期理論價格等于實際價格，這種套利方式稱為反向套利（reverse cash-and-carry arbitrage）。無風(fēng)險套利機制無風(fēng)險套利機制2022-2-108無收益資產(chǎn)遠期期貨合約的定價o無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。o構(gòu)建組合：n組合A：一份遠期合約多頭加上一筆現(xiàn)金，數(shù)額 為Ke-r（Tt）；n組合B：一單位標的資產(chǎn)。o遠期合約到期時，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)，因此當前的現(xiàn)值必須相等，即： f+Ke-r（Tt）=S 則： f=SKe-r（Tt）2022-2-109兩種理解“f=S

6、-Ke-r（Tt）” ：o無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值之差。o一單位無收益資產(chǎn)遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)多頭和Ke-r（Tt）單位無風(fēng)險負債（空頭）組成。2022-2-1010現(xiàn)貨-遠期平價定理o令f=S-Ke-r（Tt）” =0，則有： K=Ser（Tt） o遠期價格：n（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）n F=Ser（Tt）o無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。2022-2-1011正、反向無風(fēng)險套利討論o運用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理的反證n假設(shè)FSer（Tt），即交割

7、價格大于現(xiàn)貨價格的終值。nt時刻，套利者按無風(fēng)險利率r借入期限為Tt的S現(xiàn)金。然后用S購買一單位標的資產(chǎn)，同時賣出一份交割價格為F的標的資產(chǎn)遠期合約；nT時刻，套利者將一單位標的資產(chǎn)用于交割換來F現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（Tt），獲取FSer（Tt）的無風(fēng)險收益。o若F(S-I)er(T-t)，即交割價格高于理論價格。nT時刻，套利者將標的資產(chǎn)交割，得到現(xiàn)金收入F，同時，（T-t）期間從標的資產(chǎn)獲得的現(xiàn)金收益的本利收入到T時刻為Ier(T-t)；nT時刻，套利者需要還本付息Ser(T-t)。nt時刻，套利者可以賣出一份交割價為F的遠期合約，借入現(xiàn)金S，并買入標的資產(chǎn)。n套利者取得無風(fēng)險利潤：

8、=F+Ier(T-t)-Ser(T-t) =F-(S-I)er(T-t)2022-2-1018支付已知收益率的資產(chǎn)o支付已知收益率的資產(chǎn)n到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資產(chǎn)。n外匯是已知收益率資產(chǎn)的典型代表，外匯的收益率就是外匯發(fā)行國的無風(fēng)險利率；n股價指數(shù)可近似地看作是支付已知收益率的資產(chǎn)。o已知收益率資產(chǎn)的遠期/期貨合約：n遠期利率協(xié)議：本國的無風(fēng)險利率n外匯遠期和期貨：外匯發(fā)行國的無風(fēng)險利率n股指期貨：市場整體水平的紅利率2022-2-1019支付已知收益率資產(chǎn)遠期合約的定價o建立組合：n組合A：1份遠期合約多頭+一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金；n組合B：e-q（Tt）

9、單位證券（并且所有現(xiàn)金收入都再投資于該證券，q為資產(chǎn)的已知收益率）。oT時刻，組合A的價值等于一單位標的證券；o組合B擁有的證券數(shù)量隨著獲得收益滾動增加。T時刻，組合B 的價值正好等于一單位標的證券。oT時刻A、B價值相等，則t時刻兩者的價值也應(yīng)相等，即：)()(tTqtTrSeKef)()(tTrtTqKeSef2022-2-1020)(tTqrSeFn即：支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格等于按無風(fēng)險利率與已知收益率之差計算的現(xiàn)貨價格在T時刻的終值。支付已知收益率資產(chǎn)現(xiàn)貨遠期平價公式n根據(jù)支付已知收益率資產(chǎn)現(xiàn)貨-遠期合約的定價公式，及遠期價格F的定義：n令f=0，求得： )()(tTrtTqKe

10、SefA股票的市場價格是25美元，年均紅利率為4，該股票6個月的遠期合約的交割價格為27美元，若無風(fēng)險利率為10，求該遠期合約的價值及理論價格。()()0.04 0.50.1 0.525271.18q Ttr TtfSeKeee 美元()()0.06 0.52525.67rqTtFSee美元例 題 遠期合約的理論價格為： 根據(jù)遠期合約的價值公式：2022-2-1022遠期與期貨價格的一般結(jié)論（完美市場）o假如標的資產(chǎn)無收益，投資者計劃出售一單位標的資產(chǎn)，采取以下兩種方法應(yīng)當?shù)葍r：n在當前t時刻賣出一份遠期價格為F的遠期合約，合約到T時刻交割必定能獲得F；n在當前t時刻立刻出售獲得S，并以無風(fēng)險

11、利率r貸出，這樣在T時刻可以獲得確定性收入。ot時刻兩種投資的價值都為S，T時刻的兩種確定性收入應(yīng)相等：1.如果實際價格高于或低于上述理論價格F，市場上就存在套利機會。)(tTrSeF2022-2-1023持有成本Io持有成本（Cost of Carry）n= 保存成本+ 利息成本 標的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)的收益o遠期和期貨定價中的持有成本（ c ）概念：23)(tTcSeF)()(tTrtTrcKeSef2022-2-1024非完全市場上的定價公式2022-2-1025o若存在交易成本：假定每一筆交易的費率為Y，那么不存在套利機會的就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：()()1,1rTtrTtSYe

12、SYeo驗證下限，若K K，則明顯可以套利：履行遠期合約，購得標的資產(chǎn)并歸還后，剩余套利：= S(1-Y)er(T-t) -Ko因此，若要無套利成立，則：S(1-Y)er(T-t)S(1+Y)er(T-t) ：nt時刻：賣出一份交割價格為K的遠期合約，同時借入現(xiàn)金(SY)，并購買一單位標的資產(chǎn)（其中SY是交易費用）。nT時刻：K S(1+Y)er(T-t)，則明顯可以套利：履行遠期合約，賣出標的資產(chǎn)，收到支付K，然后歸還借款的本息和S(1+Y)er(T-t)，仍有套利盈余：= K-S(1+Y)er(T-t)n因此，若要無套利成立，則：KS(1+Y)er(T-t)o最終，若存在交易成本，不存在套利機會的遠期價格應(yīng)取值于：()()1,1r Ttr TtSYeSYe2022-2-1027brlrblrr()(),lbrTtrTtS eS eo假如借貸存在利差：如果用 表示借入利率，用 表示借出利率，對非銀行的機構(gòu)和個人，一般是 。這時遠期和期貨的價格區(qū)間為：o驗證下限，若KK，則明顯可以套利。n因此，若無套利，則：Serl（T-t）Serb（T-t） ：nt時刻：借入現(xiàn)金S購買一單位標的資產(chǎn)，同時持有一份交割價格為K的遠期合約空頭。nT時刻：若K Serb（T-t），則明顯可以套利。n因此，若無套利，則： K K ：nt時刻：買入一份交