函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念ppt課件

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的普通概念1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的上的函數(shù)函數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)) )無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù). .,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: :如果如果Ix 0, ,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, ,則稱則稱0 x為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn

2、 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,)()(limxsxsnn 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)余項(xiàng))()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn留意留意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,本質(zhì)上本質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). .(定義域是定義域是?),(xsn例例 1 1 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)

3、nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域.解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當(dāng)當(dāng),20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂., 11 x, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂;,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣始?jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或一、問題的提出 有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和仍是連續(xù)函數(shù)，有有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和仍是連續(xù)函數(shù)，有限個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)及積分也

4、分別等于他們的限個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)及積分也分別等于他們的導(dǎo)數(shù)及積分的和對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和是否具導(dǎo)數(shù)及積分的和對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和是否具有這些性質(zhì)呢？對(duì)于冪函數(shù)是這樣的，那么對(duì)有這些性質(zhì)呢？對(duì)于冪函數(shù)是這樣的，那么對(duì)于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否如此？于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否如此？問題問題: :解解,)(nnxxs 且且得和函數(shù)：得和函數(shù)：由于該級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都在由于該級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都在0,1是延續(xù)的，是延續(xù)的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(處間斷處間斷在在和函數(shù)和函數(shù) xxs例例1 1 調(diào)查函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)調(diào)查函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx和函數(shù)的延續(xù)性和函數(shù)的延續(xù)

5、性 函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的每每一一項(xiàng)項(xiàng)在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在,ba上上收收斂斂，其其和和函函數(shù)數(shù)不不一一定定在在,ba上上收收斂斂同同樣樣函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和也也不不一一定定等等于于他他們們和和函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分結(jié)論結(jié)論 對(duì)對(duì)什什么么級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，能能從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的連連續(xù)續(xù)性性得得出出和和函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性，從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)之之和和得得出出原原來來級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分呢呢？問題問題二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 設(shè)

6、有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)(nnxu如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，都存在著一個(gè)只依賴于，都存在著一個(gè)只依賴于 的自的自然數(shù)然數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)Nn 時(shí)，對(duì)區(qū)間時(shí)，對(duì)區(qū)間I上的一切上的一切x，都有不等式，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，則成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成立，則成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間I上一致上一致收斂于和收斂于和)(xs，也稱函數(shù)序列，也稱函數(shù)序列)(xsn在區(qū)間在區(qū)間I上上一致收斂于一致收斂于)(xs定義定義 只只要要n充充分分大大)(Nn ,在在區(qū)區(qū)間間I上上所所有有曲曲線線)(xsyn 將將位位于于曲曲線線 )(xsy與與 )(xsy之

7、之間間.xyoI )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 幾何解釋幾何解釋: : 研研究究級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 111112111nxnxxxx在在區(qū)區(qū)間間), 0 上上的的一一致致收收斂斂性性.例例2 2解解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxsnnn余項(xiàng)的絕對(duì)值余項(xiàng)的絕對(duì)值)0(11)()( xnnxxsxsrnn對(duì)對(duì)于于任任給給0 ，取取自自然然數(shù)數(shù) 1 N，則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)，對(duì)于區(qū)間時(shí)，對(duì)于區(qū)間, 0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根根據(jù)據(jù)定定義義，所所給給級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間, 0 上上一一致致收收斂斂于于. 0)( xs例例3 3研討例研討例1中的級(jí)數(shù)中

8、的級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在區(qū)間在區(qū)間( 0 , 1內(nèi)的一致收斂性內(nèi)的一致收斂性.解解 該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間(0,1)內(nèi)內(nèi)處處處處收收斂斂于于和和0)( xs，但但并并不不一一致致收收斂斂對(duì)于恣意一個(gè)自然數(shù)對(duì)于恣意一個(gè)自然數(shù),n取取nnx21 ，于于是是,21)( nnnnxxs, 0)( nxs但但.21)()()( nnnnnxsxsxr從從而而只只要要取取21 ，不不論論n多多么么大大，在在(0,1)總總存存在在點(diǎn)點(diǎn)nx，,)( nnxr使使得得因此級(jí)數(shù)在因此級(jí)數(shù)在( 0, 1 )內(nèi)不一致延續(xù)內(nèi)不一致延續(xù)闡明闡明: :從以下圖可以看出從以下圖可以看出:但但雖然函數(shù)

9、序列雖然函數(shù)序列nnxxs )(在在( 0, 1 )內(nèi)處處內(nèi)處處,0)( xs)(xsn在在( 0, 1 )內(nèi)各點(diǎn)處收內(nèi)各點(diǎn)處收收斂于收斂于斂于零的斂于零的“快慢程度是不一致的快慢程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收斂一致收斂上上，這級(jí)數(shù)在，這級(jí)數(shù)在注意：對(duì)于任意正數(shù)注意：對(duì)于任意正數(shù), 01rr 小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)定理魏爾斯特拉斯定理魏爾斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)判別法判別法如如果果函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間I上上滿滿足足條條件件: :(

10、 (1 1) ) )3 , 2 , 1()( naxunn; ;( (2 2) ) 正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nna收收斂斂, ,則則函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間I上上一一致致收收斂斂. .一致收斂性簡便的判別法：一致收斂性簡便的判別法：證證 由條件由條件(2)，對(duì)任意給定的，對(duì)任意給定的0 ，根據(jù)柯西，根據(jù)柯西審斂原理存在自然數(shù)審斂原理存在自然數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)Nn 時(shí)，對(duì)時(shí)，對(duì)于任意的自然數(shù)于任意的自然數(shù)p都有都有.221 pnnnaaa由條件由條件(1)，對(duì)任何，對(duì)任何Ix ，都有，都有)()()(21xuxuxupnnn )()()(21xuxuxupnnn ,221

11、pnnnaaa令令 p,則則由由上上式式得得 2)(xrn.因因此此函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間I上上一一致致收收斂斂.例例4 4證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在在),(上上一一致致收收斂斂.證證在在),( 內(nèi)內(nèi)), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂，由魏爾斯特拉斯判別法，由魏爾斯特拉斯判別法，所給級(jí)數(shù)在所給級(jí)數(shù)在),( 內(nèi)一致收斂內(nèi)一致收斂三、小結(jié)1 1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義；、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義；2 2、一致收斂級(jí)數(shù)的判別法、一致收斂級(jí)數(shù)的判別法魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯判別法；判別法；

12、3 3、一致收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)；、一致收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)；練練 習(xí)習(xí) 題題上一致收斂上一致收斂在任一有限區(qū)間在任一有限區(qū)間證明證明之差的絕對(duì)值小于正數(shù)之差的絕對(duì)值小于正數(shù)與其極限與其極限時(shí)時(shí)能使當(dāng)能使當(dāng)取多大取多大問問上收斂于上收斂于在在一、已知函數(shù)序列一、已知函數(shù)序列,)(. 2;)(,),(. 10),(), 3 , 2 , 1(sinbaxsxsNnxNnnxsnnn 上的一致收斂性上的一致收斂性在區(qū)間在區(qū)間二、按定義討論級(jí)數(shù)二、按定義討論級(jí)數(shù)),()1()1(2211 nnnxx.0,. 2;,2cos. 1121 xexxnxnnxnn區(qū)間上的一致收斂性區(qū)間上的一致收斂性所給所給判別

13、法證明下列級(jí)數(shù)在判別法證明下列級(jí)數(shù)在三、利用魏爾斯特拉斯三、利用魏爾斯特拉斯練習(xí)題答案練習(xí)題答案取自然數(shù)取自然數(shù)一、一、 xN . 1二、一致收斂二、一致收斂一致收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)定理定理1 1 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上也連續(xù)上也連續(xù). .證證 設(shè)設(shè)xx ,0為為 ba,上上任任意意點(diǎn)點(diǎn)由由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()

14、()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu一一致致收收斂斂于于)(xs，對(duì)對(duì)0 ，必必 自自然然數(shù)數(shù))( NN ，使使得得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí),對(duì)對(duì) ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同樣有同樣有故故)(xsn(Nn )在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù)，(3)0 當(dāng)當(dāng) 0 xx時(shí)總有時(shí)總有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可見可見,對(duì)對(duì)任任給給0 ，必必有有0 ，當(dāng)當(dāng) 0 xx時(shí)時(shí)，有有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限項(xiàng)項(xiàng)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)之之和和，所所以以)(xs在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù)，而而0 x

15、在在ba,上是任意上是任意的，因此的，因此)(xs在在ba,上連續(xù)上連續(xù)定理定理2 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上可以逐項(xiàng)積分上可以逐項(xiàng)積分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其中中bxxa 0, , 并并且且上上 式式右右 端端的的 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 在在 ba, 上上也也一一致致收收斂斂. .(4)證證 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在ba,一一致致收收斂斂于于)(x

16、s, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上連續(xù)，上連續(xù)，所以積分所以積分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,從而有從而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又由級(jí) 數(shù)的一 致收 斂性又由級(jí) 數(shù)的一 致收 斂性,對(duì)任 給正數(shù)對(duì)任 給正數(shù) 必 有必 有)( NN 使得當(dāng)使得當(dāng)Nn 時(shí)時(shí),對(duì)對(duì)ba,上的一切上的一切x,都都有有.)(abxrn xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxqb根據(jù)極限定義，有根據(jù)極限定義，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(

17、lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依賴于只依賴于 而于而于xx ,0無關(guān)，無關(guān)，所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收斂上一致收斂.于于是是，當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí)有有定理定理3 3 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間 ba, 上上收收斂斂于于和和)(xs，它它的的各各項(xiàng)項(xiàng))(xun都都具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xun ，并并且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上上一一致致收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上上也也一一致致收收斂斂，且且可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)，即即 )()()()(21xuxuxuxs

18、n(5)留意留意: :級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo)級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo). .例如，級(jí)數(shù)例如，級(jí)數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在任何區(qū)間在任何區(qū)間,ba上都是一致收斂的上都是一致收斂的.逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù),cos2coscos22 xnxx.,發(fā)散的發(fā)散的都是都是所以對(duì)于任意值所以對(duì)于任意值因其一般項(xiàng)不趨于零因其一般項(xiàng)不趨于零x所以原級(jí)數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)所以原級(jí)數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)定理定理4 4 如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為0 R, ,則則其其級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在),(RR 內(nèi)內(nèi)的的任任意意閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上一一致致收收斂斂. .進(jìn)一步還可以證明，如果冪級(jí)數(shù)進(jìn)一步還可以證明，如果冪級(jí)數(shù) 1nnnxa在收斂在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂，則一致收斂的區(qū)間可擴(kuò)大到包區(qū)間的端點(diǎn)收斂，則一致收斂的區(qū)間可擴(kuò)大到包含端點(diǎn)含端點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的一致收斂性冪級(jí)數(shù)的一致收斂性定理定理5 5 如 果 冪 級(jí) 數(shù)如 果 冪 級(jí) 數(shù) 1nnnxa的 收 斂 半 徑 為的 收 斂 半 徑 為0 R，則其和函數(shù)，則其和函數(shù))(xs在在),(RR 內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 111)(nnnnnnxnaxaxs, ,逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同