初中數(shù)學(xué)競賽中的“軸對稱”(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)競賽中的“軸對稱”陸 騰 宇（江蘇省常熟市昆承中學(xué)，）許多數(shù)學(xué)問題所涉及的對象具有對稱性，軸對稱是常見的形式之一我們利用軸對稱的性質(zhì)，在探求幾何最值、解決生活實際問題等方面有著奇妙的作用1 利用軸對稱計算角的度數(shù)例1 如圖，在中，為形內(nèi)一點，使得,求的度數(shù)（2005，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（初二）解 由，得，作于D，延長CM交BD于點O，連結(jié)OA易知BD是的對稱軸所以，所以又,所以又，所以故由于，從而因此，例2 如圖，在中，是BC邊上的一點，試求的度數(shù)解 作關(guān)于AD的軸對稱圖形，則，所以易知故，連結(jié)CE，因為，所以設(shè)O為AE與DC的交點，則因為，于是又，則所以，

2、2 利用軸對稱求線段的長度、證明線段相等例3 如圖，在矩形ABCD中，已知對角線長為2，且，則四邊形EFGH的周長為（ ）A B4 C D6 （2010，四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（初二）解 如圖，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，的斜邊是四邊形EFGH的周長而直角邊分別是矩形邊長的兩倍，又矩形對角線與矩形兩邊構(gòu)成直角三角形，因此四邊形EFGH的周長是矩形對角線長的2倍例4 如圖，在的邊AB、AC上分別取點Q、P，使得求證：證明：因為則作點P關(guān)于BC的對稱點，連結(jié)、于是，所以B、C、Q四點共圓于是，則故（夾在平行弦間）因此，3 利用軸對稱求圖形的面積例4 如圖，在中，I是、的平分線AD與BE的交點已知的面積為12則四

3、邊形ABDE的面積等于 （2004，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（初二）解 分別作點E、D關(guān)于AD、BE的對稱點F、G，則點F、G在AB上，連結(jié)IF、IG易知由軸對稱的性質(zhì)知，所以作于H，于K易證所以故，即因此例5 在四邊形ABCD中，求四邊形ABCD的面積解 如圖，有，于是有故，在Rt中，在中，所以因此，4 利用軸對稱探求幾何最值 例6 如圖，P為角內(nèi)一點，兩邊上各有點Q、R（均不同于O），則的周長的最小值為 （2001年第12屆“五羊杯”邀請賽試題）解 分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連結(jié)MN交OA、OB于Q、R，則PQR即為符合條件的三角形如圖，由軸對稱的性質(zhì)知，而，所以ABC的周長例7

4、河岸同側(cè)的兩個居民小區(qū)A、B到河岸的距離分別為m、m（即圖1中所示m，m），m現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為s m的綠化帶CD（寬度不計），使C到小區(qū)A的距離與D到小區(qū)B的距離之和最?。?）在圖2中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2）求的最小值 （2006，第20屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽）解 （1）如圖3，作線段，使，且點P在點A的右側(cè)取點P關(guān)于的對稱點，連結(jié)交于點D，在上點D的左側(cè)截取，則CD即為所求的綠化帶的位置證明 如圖3，設(shè)綠化帶建于另一位置連結(jié)、則由對稱性知， 由CD及AP，知，但，即就是 （當(dāng)且僅當(dāng)在線段與的交點時等號成立）所以，這樣畫出的最小（2）的最小值即為線段的長度延長，作于H，則

5、BH，所以即的最小值為練 習(xí) 題1（1）已知A、B兩點在直線MN的同側(cè)，在MN上求一點P，使PA與PB的和最??；（2）若A、B兩點在直線MN的兩側(cè)，在MN上求一點，使、中較長一條與較短一條的差最大提示：作法（1）如圖1，作點A關(guān)于MN的對稱點，連結(jié)，交MN于點P，則點P即為所求。（2）如圖2，作點B關(guān)于MN的對稱點，連結(jié)并延長，交MN于點，則即為所求2如圖，矩形中，cm，cm ，若在、上各取一點M、N，使的值最小，求這個最小值（1998，北京市初中數(shù)學(xué)競賽）解：如圖，作點B關(guān)于直線AC的對稱點，交AC于E，過作于N交AC 于點M，則M、N即為所求的點 由，得所以易證所以于是 故的最小值為16c

6、m3在中，O為形內(nèi)一點，求的度數(shù)提示： 作于H，因為，所以平分，即延長交AH于P，則連結(jié)，由對稱性知，所以因此，在和中，所以故因為，所以4在中，D是邊BC上一點，求證：（2008，我愛數(shù)學(xué)初中夏令營數(shù)學(xué)競賽）提示：如圖，延長BC到E，使由題設(shè)知，則，即是等腰三角形過點A作于點M，則M為邊BE的中點取BD的中點F，則連結(jié)AF在Rt中，5 在矩形ABCD中，E、F分別是AB、DC上的點則折線AFEC長的最小值為 （2009，全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初賽）提示：如圖，分別作點A、C關(guān)于DC、AB的對稱點、連結(jié)分別交AB、DC于點、，連結(jié)、過作延長線的垂線，垂足為又，則由勾股定理知故當(dāng)點E、F分別與、重

7、合時，取到最小值6在直角坐標(biāo)系中，已知兩點A（，3）、B(，5)以及動點C(0，n)、D(m，0)，則當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時，比值為（ ）A B C D（2004，第19屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽（初三）提示：如圖，設(shè)點A關(guān)于軸的對稱點為，點B關(guān)于軸的對稱點為，則，所以，當(dāng)點C、D均在直線上時，四邊形ABCD的周長最小，即為設(shè)直線的方程為，因為、在直線上，故有，解得即的方程為從而知點，D(，0)，即，所以故選C在中，形內(nèi)的點P滿足，證明：AP是的三等分線（1994，中國香港數(shù)學(xué)奧林匹克）解：如圖，以邊BC的中垂線為軸，作的軸對稱，連結(jié)AD、CD、PD易知四邊形ABCD為等腰梯形，則A、B、C、D四點共圓因為，所以在上述圓中，可得于是，DA=A