徐芝綸編《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》第四版,全部章節(jié)課后答案詳解

1、文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土?！?-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷?/p>

2、土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體?！?-3】五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對(duì)應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與

3、形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后

4、的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí)，它們的二次冪或乘積相對(duì)于其本身都可以略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程?！?-4】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力

5、分量與面力分量同號(hào)，負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。正的應(yīng)力正的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定。反之為負(fù)。作用于負(fù)坐標(biāo)【解答】材料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正,彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，面上的切?yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長(zhǎng)變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的切應(yīng)變：在

6、如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下,切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。3 文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.【1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹空捏w力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹俊?-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力yz的合力與z面上切應(yīng)力zy的合力是否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為l1MT2,單位為N/m2。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dxxdyxdz則y面上切應(yīng)力yz的合力為：yzdxdz(a)z面上切應(yīng)力zy的合力為：zydxd

7、y(b)由式(a)(b)可見，兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€(gè)相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等，但對(duì)某點(diǎn)的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持第二章平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中（圖2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有zxzyz0,只存在平面應(yīng)力分量x,y,xy,且它們不沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題?！?-2】試分

8、析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,當(dāng)板邊上只受x,y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【解答】板上處處受法向約束時(shí)z0,且不受切向面力作用，則xzyz0（相應(yīng)zxzy0）板邊上只受X,y向的面力或約束，所以僅存在x,y,xy,且不沿厚度變化，僅為X,y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-3】在圖2-3的微分體中，若將對(duì)形心的力矩平很條件 MC 0改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件， 試問將導(dǎo)出什么形C式的方程?【解答】將對(duì)形心的力矩平衡條件MC 0,改為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方了.rj

9、cr3rdx向的尺寸取為單位1。ydx1?dx)dy x1電(2( xydx dy)dx 1 (yx* dy)dx 1 dy fxdxdy 1 yydy1dydxfxdxdy 1 -22(a)0dx) dy 1 dyx2yxyxydy)dx 1 dy ( ydy)dx 1 生y2xydy 1 dx xdy 1dy2ydx 1dxdyfxdxdy 1一 dx 一fydxdy 1 0(b)(y - dy)dx 1ydx xdx 1 - x 2dxxydy 1 dx 2dx)dy x1dy 2xdy1 7 fxdxdy 1 dyyxdxl dydx fydxdy 1 (c)dy)dx 1 ydx2d

10、y xdy 1 -72yxdx 1 dyydx 1dx2dx)dy 1 dyx2xydx)dy 1 dx fxdxdy 1 xdydxfvdxdy 1 -2 y 2(d)略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三階小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趨于0）,并將各式都除以dxdy后合并同類項(xiàng)，分別得到xyyx?！痉治觥坑杀绢}可得出結(jié)論：微分體對(duì)任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理?！?-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長(zhǎng)dx,dy都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽

11、略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計(jì)算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位。（a）（b）各點(diǎn)正應(yīng)力：(x)Ax；(y)Ay(x)Bxxdy；y(y)Byydyy(x)Dxdx；x(y)Dy-xdxx(x)Cxxdx-xyy；(y)Cyydxxyy各點(diǎn)切應(yīng)力:(xy)Axy，(yx)Ayx(xy)Bxyxydy;(yx)Ayxyxdyyy(xy)Dxyxydx;(yx)Dyxyxdxxx5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持( xy )C xydxxxydy ； y(yx) Cyxyxyx dx

12、 dyxy由微分單元體的平衡條件Fx 0,Fy 0,得以上二式分別展開并約簡(jiǎn)，再分別除以dxdy ,就得到平面問題中的平衡微分方程:【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式?！?-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】（i）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件。（2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件?！?/p>

13、思考題】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定？【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹矿w力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級(jí)另的量，而泊松比取值一般在（0,0.5）,故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng)，比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/E要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)12/E。因此，平面應(yīng)力問題

14、情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大。【2-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對(duì)于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量x,y和xy均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？【解答】（1）應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量y和xy均相同，但平面應(yīng)力問題z yz xz 0 ,而平面應(yīng)變問題的xzVz0,zxzyzz（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量xzyz0,xy相同，而x,y,z不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對(duì)于兩類平面問題也不同。文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.

15、歡迎下載支持【解答】由題可得：將以上條件代入公式(2-15)，得：# 文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持【2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式(2-15)?！窘獯稹繄D2-17:y=0左(x=0)右(x=b)0-11-100000代入公式(2-15)得在主要邊界上x=0,x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：在小邊界

16、y0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界yh2上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚=1時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于y卜2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2,y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式(2-15)fxfy(s)0-1001-q10(y)y-h/2q,(yx)y-h/20,(y)yh/20,(yx)yh/2q1在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件uxl0,vxl0這兩個(gè)位移邊界條

17、件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故FNM【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所小的兩個(gè)問題中OA邊上的三個(gè)積分的MMM9文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于hl,OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:x（a）上漏面OA面上面力fx0,fy-qbbv dx0 y y 0bv c xdx0 y y 0由于OA面

18、為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有bx.qbfvdx-qdxqb212 （對(duì)OA中點(diǎn)取矩）y0b2bbxbfvxdx-qxdx0y0b2b0yxy0dx0（b）應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反，面力主矢y向?yàn)檎?主矩為負(fù)，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的?！?-11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）;（2）在s上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）;（3）在su上的位移邊界條件式（2-14）;對(duì)于平面應(yīng)變問題

19、，需將E、作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）;（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）;（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題；（4）對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗(yàn)平面問題中的

20、應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）;（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持【分析】此問題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件?！?-14】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答:圖 2-21圖2-20（a）圖2-20,0xq,yxy0。b2【解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）;（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）;（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力

21、分量代入平衡微分方程式，且fxfy0（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21),有11文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.y=210=右b2應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此,該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答o(b)圖2-21,由材料力學(xué)公式，xM 丁 y'xybl（取梁的厚度b=1）,得出所示問題的解答：x3x y2q 3lhxy2瞽(h22 .一 .4y ）。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：3q xyy _2 lhq-o試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。2 l（1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下,梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形，其對(duì)中性軸（Z軸）h3

22、的慣性矩I 12應(yīng)用截面法可求任意 截面的 彎矩方 程和剪 力方程M (x) x3, F x6l2qxo2l所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:xy3Fs x2bh4y2h223q x 2. 2.-h 4y o4 lh3根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持得:3q23xy 2qxy3根據(jù)邊界條件y yh/2q x2. l將應(yīng)力分量代入平衡微分方程第一式:3q xy2 lh2-2)2x y6q. / lh32q3xy q正3 22x y6q / lh30右滿足第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，

23、該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值?！窘獯稹浚?）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置1消去m,得22任意斜面上的切應(yīng)力為nlm21,用關(guān)系式lm19由上式可見當(dāng)一l2 0時(shí)，即l21時(shí)，n為最大或最小,為 n max min因此,切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45°的斜面上。（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力n的值19文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.任一斜面上的正應(yīng)力為最大、最小切應(yīng)力作用面上lJ1T2,帶入上式，得證畢?！?-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求

24、1 , 2, 1由公式（2-6）2-一2及tan2xy1arctanxyxy(a)10050221005010屈221500(b)200022-20002512400312(c)200010002220001000400210522052(d)100015002210001500500226911809【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證y.-q及xy能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件,因而就是正確的解答?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力分量xyq,xy0,和體力分量fxfxfy0分別帶入平衡微分方程、相容方

25、程xyfx(a)xyfx顯然滿足（a）（b）fy(b)（2）對(duì)于微小的三角板A,dx,dy都為正值,斜邊上的方向余弦cosn,x,mcosn,y,-qcos所以x-q,xyn,x,fyq,y0,代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式（2-15）,且qcosn,y,則有對(duì)于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12）,得形變分量,（1）qxE,將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8）,得1)一q,xy0(d)u(-1)v_=q,二xEy-1)v1q工(e)前兩式積分得到(-1)u=-qxfi(y)

26、，v=(-iEqyf2(x)其中fi y , f2 x分別任意的待定函數(shù),可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是于是有積分后得f1yyu0,f2xxv0代入式（f）得位移分量1)-qxyuoi)一qyxVo(g)其中uo,vo,為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答。【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22）,體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力y0,然后證明這些表達(dá)式

27、滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答?！窘獯稹浚?）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程M（x）Fx,橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為一-3.Izh/12,根據(jù)材料力學(xué)公式*一»M（x）12F彎應(yīng)力xTyxy；Izh該截面上的剪力為FsxF,剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力y0（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)12F12F第一式：左WFyWy0右hh第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程2一左（xy）0右滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界yh/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）0-1000100代入公

28、式（2-15）,得在次要邊界x=0上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，F(xiàn)n0,FsF,MFl其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效:滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為fxV,fvV,其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為x7yxy2V, y = - V,x2，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xy【解答】（1）將fx，fy帶入平衡微分方程（2-2）xyxfx0xyxV

29、0xyxyxyxyfy0yxyV0yxyxy(a)將（a）式變換為(b)一(xV)70xy一(yV)0yy為了滿足式(b),可以取222即x-v,y-rv,xyyxxy（2）對(duì)體力、應(yīng)力分量fx, fy, x, y求偏導(dǎo)數(shù)，得fx2Vfyx2x-2x2y-2xy2V2V2V-2y2x2- y2y-2"y2V2y2V-2y(c)將（c）式代入公式（2-21）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(1fxxfy(2-21)整理得:4222x y(12V2x2V y(d)即平面應(yīng)力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為 1,的平面應(yīng)變情況下的相容方程:2v2

30、x2V y(e)即4122V。1證畢。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15）,將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相

31、同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15）,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問題的解答精度不足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對(duì)象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)

32、次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的，因而可以不必校核。【3-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15）,共2m個(gè)；在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個(gè)；如果不能滿足公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共3n個(gè)。O圖3-8【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）？【解答】相容條件：不論系數(shù)a取何值，

33、應(yīng)力函數(shù)ay3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式（2-25）.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力17文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理左右邊界上;當(dāng)a>0時(shí),考察x分布情況，注意到xy左端：fx（x)x06ay0yhfyxyx006ay(0yh)右端：fxxxlfy(xy)xl0等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心,品巨e:因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為 b,集中ei-p .荷載p的偏心距e:同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，可以解決偏心壓縮問題?！?-5】取滿足相容方程的應(yīng)

34、力函數(shù)為：ax2y,bxy2,cxy3,試求出應(yīng)力h/2H-h/2分量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上 的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量 和主矩。yl圖3-9【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)2 一 ，一ax y,得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式（(l x m yx) s 2-15)(m y l xy)sfx(s)fy(s)主要邊界,上邊界主要邊界,下邊界h一上，面力為2h 一 ,一,面力為2次要邊界,左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢:Fxh/2h/2( x)x°dy 0y向主矢:Fyh/2h/2(xy)x 0dy0h/2主矩：Mh/2( x)x°y

35、dy 0次要邊界,右邊界 x=l上，面力的主矢，主矩為yxxh/2x向主矢：Fx(x)xidy0h/2h/2h/2y向主矢：Fyh/2(xy)xidyh/2(2al)dy2alhh/2主矩：Mh/2(x"ydy0彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示,、2bxy將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24),得應(yīng)力分量表達(dá)式y(tǒng)0，xyyx2by考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界，由公式(2-15)得h2 bh, fy yh在y主要邊界，上邊界上，面力為fxy2,hhh_在y一，下邊界上，面力為fxy-bh,fyy-022y2在次要邊界上，分布面力可按(2-求得：在左邊界x=0,面力分布為

36、fxx面力的主矢、主矩為hx向主矢：Fx2hxx0dy2hy向主矢：Fy2hxyx0dy2h/2主矩；Mh/9(x)x0ydyh/2在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為h/2x向主矢：Fxh/2xxldyh/2y向主矢：Fy'xy,dyyh/2yxl"h/2主矩：M'x.ydyh/2xxl彈性體邊界上的面力分布及在次要上計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件00,fyx02by0h2h2byx0dy020h/22bldy2blhh/2h/22bydy0h/2h/22blydy0h/2(3)3cxy文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下

37、載支持將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）上邊界yh上，面力為2下邊界y=-±,面力為2次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得:左邊界x=0上，面力分布為右邊界X l上，面力分布為面力的主矢、主矩為h/2x向主矢 Fxh/2 x xidyh/2y 向主矢：Fyh/2 y xidyh/2h/26clydyh/2h/22,3cy dy1 ch主矩：Mh/2h/2x x i ydyh/2h/22.6cly dy-clh3 2#文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯彈性體邊界

38、上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)-Fyxy（3h24y2）,2h能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）444一4-222r0,顯然滿足xxyy（2）將代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：h在王要邊界上（上下邊界）上，y一,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15）,應(yīng)力2yyh/20,yxyh/20hhh因此，在王要邊界y一上，無任何面力，即fxy0,fyy

39、-022y2在x=0,x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=0,x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上x=l上因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)F 作用的問題。因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持232【37】試證 予4/3孑1）果3yy 八，一，（2方 -）能滿足相容方程，并考察它在h h圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè)矩形板的長(zhǎng)度為1,深度為h,體力不計(jì)）【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25）0，J y24qy

40、3- ) h312qyh324qyh3代入（2-25）,可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（2-24）,求應(yīng)力分量表達(dá)式：（3）考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：h在王要邊界y一（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）2應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：在次要邊界xl上，分布面力為應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖（a）（b）因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。o圖 3-10【3-8】設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為l在一邊側(cè)面上受均布剪力q（圖3-10）,試求應(yīng)

41、力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娣ㄇ蠼狻Ｓ刹牧狭W(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。（1）假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力y主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力xy主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力x主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則x0（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式將x0,體力fx0,fyg,代入公式（2-24）有對(duì)y積分，得fx（a）yyf xf1 x(b)其中fx,fix都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25）,得d4 f xd4 f1 xdx4dx4(c)27文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的

42、一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即兩個(gè)方程要求fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2（d）fx中的常數(shù)項(xiàng)，f1x中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù)（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量（5）考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)主要邊界x 0上（左）：將（f）, （h）代入y Ax3 Bx2 Cx Dx32x2- fxx 0y2-fyy 6 Axy 2By 6Dxx2xy 3Ax2 2Bxx yA、B、C、D、E。0,自然滿足(xy)x 0 C 02,、

43、Ex(e)(f)2Egy(g)C(h)主要邊界xb上,(xy)xbq,將(h)文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持k)( l)m)2(xy)xb3Ab2BbCq(j)在次要邊界y0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：bb()0dx6Dx2Edx3Db22Eb00yy00bb32(y)y0xdx6Dx2Exdx2DbEb0bb232(x)0dx3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb00yxy00由式(i),(j),(k),，(m)聯(lián)立求得代入公式(g),(h)得應(yīng)力分量29文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本

44、可編輯.歡迎下載支持【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h,兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用寬度為b, hb,在,試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)3Axy Bx y求解應(yīng)力分重?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。b/2b/2由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達(dá)式,體力為零，有z/ /y圖 3-11qh考察邊界條件:在主要邊界x第一式自然滿足,6 Bxy , XyyxA 3Bx2b/2上，精確滿足公式（2-15)第二式為3 2Bb 4(a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式（2-15）第一式自然滿足，第二式為(b)32A-Bb439文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.在次要邊

45、界y=0上，可用圣維南原理,b/2寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件b/2dx滿足b/2b/2yxdxyy0滿足b/2b/2 yxy 0 dx(c)b/221A3BxdxAb-Bb0b/2聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得【3-10設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計(jì)，lh（圖3-12）,試用應(yīng)力函數(shù)AxyBy2Cy3Dxy3求解應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼猓?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）,顯然滿足（2）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式（2-24）xy2B 6By 6Dxy 02yx A 3Dy(a)(3)考察邊界條件主要邊界yh/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條

46、件yyh/20，滿足在次要邊界x=0上,h/2h/2 xy x 0dyxy y h/20,得A 4Dh20應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件h/2(b)Fsh/2213A 3Dy2 dyFsAh - Dh3Fs (c)聯(lián)立方程(b)(c)得最后一個(gè)次要邊界x上,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式(a),得應(yīng)力分量數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程(2-25)【3-11】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。【解答】采用半逆解法求解(1)檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否?t足相容方

47、程(2-25)設(shè)應(yīng)力函數(shù)=Ax3Bx2yCxy2Dy3,不論上式中的系(2)由式(2-24)求應(yīng)力分量由體力分量fx0, fy g ,將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)得應(yīng)力分量:2fxx 2Cx y6Dy(a)xy-fyy 6Ax y2By gy(b) 2Bx 2Cy x y(c)(3)考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。對(duì)于主要邊界y0,其應(yīng)力邊界條件為:(d)將式（d）代入式（b), (c),可得對(duì)于主要邊界yxtan （斜面上）A 0, B=0,應(yīng)力邊界條件:(e)在斜面上沒有面力作用，即 fvx y0 ,該斜面外法線方向余弦為,0(yx)y00mcos.由公式（2-15）,得應(yīng)力邊

48、界條件sinsin(x ) y xtan(xy ) y xtancoscos(yx) y xtan(y ) y xtan將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f）,可解得C cot ,D2g 12 cot3(g)，試用§ 3-4中的應(yīng)力函數(shù)將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c）,得應(yīng)力分量表達(dá)式：【分析】本題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實(shí)上，也可通過量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力與，x,y和g有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是L1MT2,而x,y的量綱是L,g的量綱是L1MT2,又是量綱一的數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的

49、表達(dá)式只可能是x和y的純一項(xiàng)式，即應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是Agx,Bgy這兩種項(xiàng)的結(jié)合，其中A,B是量綱一的量，只與有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，即為x和y的純?nèi)问?，故可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為3223AxBxyCxyDy。【3-12】設(shè)圖3-5中簡(jiǎn)支梁只受重力作用，而梁的密度為（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。【分析】與§3-4節(jié)例題相比，本題多了體力分量fx0,fyg。去除了上邊界的面力。依據(jù)§3-4,應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假設(shè)的?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。（1）由§3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為2x 3_ 2 -(Ay3 By2 Cy D)2x(Ey3知,必然滿足相容方程（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式:2-25)。x2_x 萬(6Ay 2B)x(6Ey 2F)2Ay3 2By2 6Hy2K(a)-32y