方程的根競賽典型題

1、.44例： x R,求 10 + x+ 7 - x = 3 的根 .解：（換元法）設 u =4410 + x， v = 10 + x,則u4 + v 4 =17···記為（ 1）式，u + v = 3·····記為（ 2）式因為（ u2 + v 222 v2 = u4 + v 4 = 17） - 2u即（ (u + v) 2-2-2u 2 v 2 = u4 + v4 = 17 ····記2uv ）為（ 3）式將（ 2）式代入（ 3）式中，2可得（ 9 -2uv ）- 2u 2

2、 v 2 = 17可解得 uv = 2 或者 uv = 16 （舍去）聯(lián)立方程 uv = 2u + v = 3.解得 u=1 且 v=2 或者 u=2 且 v=1.4+ x = 1，解得 x=-9；當 u=1 且 v=2 時， u = 104+ x = 2，解得 x=6.當 u=2 且 v=1 時， u = 10.關于不定方程的題目：已知 a,b,c 是整數(shù)，且滿足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求 a,b,c 的值解： a+b=3ab=-2-c2+2c構(gòu)造方程 x2-3x+(-2-c2+2c)=0其中 a,b 為方程的兩根? =9-4（ -2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2

3、)2 +133±? =k2(2c-2)2+13=k2x= 2即 k2-(2c-2)2=13 所以 (k+2c-2)(k-2c+2)=13 k + 2c - 2 = 13或 k + 2c - 2 = 1k - 2c + 2 = 1k - 2c + 2 = 13可得 k =7或 k =7c =4c =-2x=5 或 -2所以 a,b,c 的值為 5， -2， 4 或-2,5,4 或 5，-2， -2 或 -2,5，-2.例：定義在 ?的實值函數(shù) ?(?)滿足：1()1( )()( )12 ?+2 ?- ，求? 4 , ?,?,? ?(?).解： 令 ?=?=?= 0，得 1 ()1()2

4、1,2 ?0+ 2?0- ?(0)4即 ()-121，? 020，所以()=2?0同理令 ?= ?= ?= 1，得1)1(+ 212 ?1()，= 2?1?(1) -?(1)2 14，即令 ?= ?= 0，得 1 ?(0) + 1221?(?) 2,()-( )1, 即?0?(0)4令 ?= ?= 1，得 1 ?(?) + 1221?(?) 2，1?(?) - ?(?)?(1) 4,即所以， ?(?) = 1，?.2.例：解方程 ?+?-?=?解：令 6?-11 = ?(? ?)3則?= 3?+11 6則 15?+103 = ? 42故? 15?+103 < ?+ 1 42解得 61 &

5、lt; ? 1032727則?= 3 則?= 103.例：求 1 - 1 = 1的所有正整數(shù)解x, yxy4解：方程兩邊同乘xy 得 4( y - x) = xy即xy - 4y + 4x = 0即( x - 4)( y + 4) = -16由于方程正整數(shù)解x Z+ ,y Z+且 (x - 4) 與 (y + 4) 異號同偶由于 y 0繼而 y + 4 4則x - 4 0繼而 x 4則 x - 4 = -2x - 4 = -1y + 4 = 8或 y + 4 = 16則 x = 2x = 3y = 4或y = 12.例：如果滿足 | ?2 - 6?- 16 | - 10| = ?的實數(shù) ?恰有

6、 6 個，那么實數(shù) ?的值等于2±?解：顯然 ?> 0，原方程可化為 |? - 6?- 16| = 10若 ?> 10 ，則原方程等價于 |?2 - 6?- 16 | = 10 + ?，22可化為?- 6?- 16 =±()， 即? -6?-16±10+?()4 個解，不符合題意。10 + ? = 0，此時原方程只有2若 0 < ?< 10 ，則原方程等價于 | ?-6?- 16|= 10± ，?它可化為如下四個方程：22226 +? - 6?- 6 + ?= 0，? - 6?- 6 -?= 0，? - 6?-226 - ?= 0

7、，此時4 個方程都有兩個不同?= 0，? - 6?-的實數(shù)解，因此原方程有8 個不同解，不符合題意。2= 0，若?= 10 ，則原方程可化為如下三個方程： ? - 6?+ 4226?- 16 = 0，每個方程各有兩個不?- 6?- 36 = 0，? -同的實數(shù)解，所以?= 10滿足題意。.函數(shù)與方程結(jié)合的題型（構(gòu)造單調(diào)函數(shù)求解）解下列方程：（ x220 x3x34 x284 x15238）解：對方程進行變形的到：（x220x3220x38） x34x38） （4 x注意到上述方程兩邊的式子結(jié)構(gòu)一樣，因此構(gòu)造函數(shù)：f ( x) x34x ，又由于函數(shù)在定義域R 上是單調(diào)遞增的，因此上述方程的解是

8、唯一的。即x220x38x 。 解 該一元二次方程（x2）(x 19)0 得到兩根分別為 x12或 x219 。故原方程的解為x12或 x2 19 。.例: 解方程?+ ?- ?- ?+ ?= ?解：觀察方程 x4 + 2x 3- 9x 2 - 2x + 8 = 0因為各項系數(shù)之和為:1+2-9-2+8=0(注意 :一定把常數(shù)項算在偶數(shù)項系數(shù)當中 )根據(jù)歌訣“系和零 ,+1 根” ,即原方程中可分解出因式( x -1) ,即x4 + 2x 3 - 9x 2 - 2x + 8 = (x - 1)( x3 + 3x 2 - 6x - 8) = 0觀察方程 (x3 + 3x2 - 6x - 8) =

9、 0，偶次項系數(shù)之和為：3-8=-5；奇次項系數(shù)之和為： 1-6=-5，根據(jù)歌訣“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式 (x + 1) ，即(x 3 + 3x 2 - 6x - 8) = ( x + 1)( x2 + 2x - 8) = 0對 一 元 二 次 方 程 （x2 + 2x + 8） , 有 (x - 1)( x2 + 2x -8) =(x - 2)( x + 4) = 0;綜上，原高次方程x4 + 2x 3 - 9x 2 - 2x + 8 = 0分解為 ( x - 1)( x +1)( x -2)( x + 4) = 0當(x - 1) = 0時,有x1 = 1;當(x + 1) =

10、 0時，有 x2 = -1 ; 當(x - 2) = 0時，有 x3 = 2; 當( x + 4) = 0時，有 x4 = -4.例：給定正數(shù)p, q, a, b, c, 其中， p q,若 p, a, q 是等比數(shù)列， p,b, c,q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx 2 -2ax+c=0 （）無實根（ ) 有兩個相等實根（ ) 有兩個同號相異實根（）有兩個異號實根解 ： 由 題 意 得 ， pq= a2 ,2b=p+c,2c=q+b,由 后 兩 式 得b=2p+q ,c= p+2q33由三元均值不等式，得2p+qp+2qp+p+qp+q+q32322bc=·=· pq&#

11、183; pq =pq=a3333因為 p q，所以，只能是 bc a2 , 所給一元二次方程的判別式 =4a2 -4bc 0. 因此，所給方程無實根，故應選 (A) 。說明 ; 解決此題得關鍵是確定判別式的符號，為此將2p+q ，3p+2q 進行巧妙地變形， 然后運用三元均值不等式使問題獲解。3.例：設 ?,?,?,? , ?是整數(shù)，且滿足下列條件：1232006 -1 ? 2, n = 1,2,3, ? ,2006?+ ?+ ?+ ? + ?= 20012320062222= 2006?+ ?+ ?+ ? + ?12320063333的最小值和最大值求?+ ?+ ?+ ? + ?12320

12、06解：設 ?,?,?,? , ?注重有 ?個 -1， ?個 1， ?個 2，則1232006 -? + ?+ 2?= 200 ?+ ?+ 4?= 2006兩式相加，得?+ 3?= 1003因為 ? 0， ? 0，所以 0 ? 367 ，因此3333=-? + ?+ 8?= 6?=200?+ ?+ ?+ ?+ ?1232006即3333 6 ×367 + 200 = 2402200 ?+ ?+ ?+ ? + ?1232006當?= 0時， ?=1103 ， ?=903 ，此時333+?2+?3+?+?13 取最小值 200?2006當333?= 367 時，?= 2，?= 536 ，

13、此時 ? + ?+ ?+ ? +1233取最小值 2402?2006.題目： 2 fxx 2 f13 x 3x 24 x3, 求 fx .xx1答案： 方法代換法3143111y3y2y令得xy ,2 fyy2f y11y化簡分式上下同乘2113y4y23y3y : 2 fyy2 f yy 1 y 2等式兩邊同乘 y2 : 2y 2 f1f y3y 4y23y3yy1令y得： 2f1fx3x4x23x3x 2xxx 1聯(lián)立2 f x x2 f 13x3x34x 3xx12x2f1fx3x4x23x3xx1解得fxx23x6x51.1111的整數(shù)解，其中 x 3, y 3, z 3例： 求方程?

14、+?- ?=211111(1)解： ?+ ?= ?+ 2> 2x y,則 ?1+ ?1 ?2( 2)由( 1)( 2) 得： 2 > 1,得： x < 4,故x = 3? 2得： ?= 3,?= 3,?= 6111?= 3,?= 4,? 12222=?= 3,?= 5,?= 30333.例 求方程 2?+7 =2?- 1 的實數(shù)解34解 令 2?-1=k, k 為整數(shù)，4則 2x = 4k + 1, 且有 ?+ ?+ 8 = k3k + 8顯然 k < 0, 于是 0 < 1即 - 8 k < -5得 k = -8, -7,-6, 從而 x = - 31,

15、-27.22.例求方程 5（ ?+ ?+ ?）= 4?的正整數(shù)解。解：方程兩邊同除以5?可得1114? +?+ ?=5不妨設 ? ? ?，則 1+1?143+=即 ? 15 ，即 ?的取值范圍為1 ? 34當 ? = 1時，原式為5（ ?+ ?+ ?） = 4?，不符合題意當?= 2時，113，同理可得 2 ?6?+ ? =10驗證知 ?= 4,5從而 ?= 20,10當 ? = 3時，可知方程無正整數(shù)解綜上所述，原方程共有12 組正整數(shù)解：（2,4,20）（，2,20,4）（ 4,2,20），（ 20,2,4），（ 4,20,2），（ 20,4,2），（ 2,5,10），（ 5,2,10）（

16、 10,2,5），（5,10,2），（10,5,2），（2,10,5）.22?例：若實數(shù) x, y滿足 4x +3y -2x ? +?2=0,則的值是？?解：顯然 x 0,原方程化為 1 +3?= (? 2 .2?)?令t =3? 2?2,則 1 + t= (),所以t 且=?.2?Z,?3得1 + t =429? .4從而有 1 + t 22,9? t +9-34139+3 41解得：8<?< - 4 或3 t <8.而又 t Z,則 t =-1 或 3,即3?3?2?= -1或2?= 3即?= - 2或 2? 3.例：用柯西方程解函數(shù)方程2x yf(x)f(y) .f2?

17、解：設 f (0)=a. 由所給的函數(shù)方程得fxf x012( x ) f ( 0)22?1a ?. f ( x )2由此又有1 f ( x) f ( y )fx y1 f ( xy )a?.222f ( xy ) f ( x )f ( y ) a?.（ 1）設 g x)fx)a ，就有 g xy)fxy)a?g y)f ya?(,().代入（ 1），即得g( xy )g( x )g( y )?.這方程正是柯西函數(shù)方程. 所以有g( x )cx?. f ( x )cxa?.題目： f(x)+2f( 1 )=4x, 求 f(x)?解：令 x= 1?f( 1 )+2f(x)=4*1 = 4?1)=

18、4x? ?f(x)+2f(?82 - =3f(x)= ? -4x8-4? 2f(x)=3?.例：求不定方程x3 + y 3 = 1072 的正整數(shù)解。解：因為 x 3 + y 3 = 2 ×536 ，而 536不是立方數(shù)。因此 x y，不妨設 y < x ，則 833= 512< ?< 1072 <1331 = 11 3 ，即 9 ? x ? 10.當 x = 9時， y 3 = 1072 - 93 = 341 = 73 ；當 x = 10 時， y 3 = 1072 - 10 3 = 72 ，無整數(shù)解。所以原方程有兩組正整數(shù)解 ?= 9； ?= 7。?= 7

19、?= 9.求方程組 x + y + z = 0的整數(shù)解 .333?+ ?+ ?= -18解：設 x,y,z 是方程3?= 0的三個根，其中 p, q 待定 .分? + ?-別將 x, y, z 代入方程得333? + ?-?= 0, ? + ?- ?= 0, ? + ?- ?= 0.三個方程相加得333(? + ? + ?) + p( x + y + z) - 3q = 0.將原方程代入得， -18-3q =0, 故 q = -6.由韋達定理得xyz = -6= -1×2 ×3.因x + y + z =0, 所以這三個數(shù)中必為兩正一負，且負數(shù)的絕對值較大，應為 -3，其余兩

20、數(shù)為1 和 2.因為 x, y, z是對稱的，所以方程組的整數(shù)解為：?=1,?=1,?=2,?=2,?=-3,?=-3, ?=2, ?=-3, ?=1, ?=-3, ?=1, ?=2,?=-3;?=2;?=-3;?=1;?=2;?=1.例：求出所有滿足方程22x2009 y 2 y 0 的整數(shù)解 .22 y22220（ mod7 ）解：因為x2009 y741y ，所以 x2 y設 x2a, y2b,a,b Z，原方程可化為：2277a2b 41b所以 a2(412b)b, 所以 41-2b、 b 均為完全平方數(shù) .所以經(jīng)檢驗可得b=0 或者 b=16.所以原方程的解（x, y ）為：（ 0,

21、0）、（588,784）.例 1：求滿足方程 x2+y2 =x3 的正整數(shù)對 (x,y) 的個數(shù)解：由 x2+y2=x3 有 y2= x 2(x-1)因此只有 x-1 為平方數(shù)，則方程有正整數(shù)解x=k2+1令 x-1=k 2 且 k 為自然數(shù)則為方程的一組通解y=k(k2+1)由于自然數(shù)有無限多個， 故滿足方程的正整數(shù)對 (x,y)有無限多個.【例】若 x、 y 是自然數(shù)，解方程x2-2xy+y2+5x+5y=1500.【解】因為 (x-y)2+5(x+y)=1500，所以 (x-y)2 0(mod 5)設 x-y=5a( 不妨設 x y) ，則有 (x-y)2+5(x+y)=25a2+5(x

22、+y)=1500即 x+y+5a2=300，所以 x+y 0(mod 5)設 x+y=5b，則有 5a2+5b=300，即 a2+b=60因為 a， b N，所以有序?qū)崝?shù)對(a,b)可以為：(0,60)，(1,59)，(2,56)，(3,51)，(4,44)，(5,35)，(6,24)，(7,11)所以有序?qū)崝?shù)對(x,y)=( 5( a+b ) , 5( b -a)22(150,150)，(150,145)，(145,135) ，(135,120)，(120,100) ，(100,75)， (75,45)， (45,10)從而原方程的解(x,y)共有 15 對，分別為：(150,150)，(1

23、50,145)，(145,135) ，(135,120)，(120,100) ，(100,75)， (75,45)， (45,10)，(145,150)， (120,135) ， (100,120) ， (75,100) ， (45,75) ，(10,45).例：x1 、x2 、x3 是方程 x3 -x + 1 = 0的根，問：x15 + x25 + x35 =(-5 )解：由三次方程韋達定理得x1 + x2 + x3 = 0x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = -1x1 x2 x3 = -1因為 x1 、 x2 、x3 是方程 x 3 - x + 1 = 0的根所以有 x 3 =

24、x - 1所以 x5 = x2 x3 = x2 ( x - 1) = x3 - x2 =x - 1 - x2x15 + x25 + x35=( x1 - 1 - x12 ) + ( x2 - 1 - x22 ) + ( x3 -1 - x32 )=( x1 + x2 + x3 ) - (x 12 + x22 + x32 ) - 3= ( x1 + x2 + x3 ) - ( x1 + x2 + x3 ) 2 - 2( x1 x2 + x1x3 + x2 x3 ) - 3= 0- (0+2)- 3= -5.求 3x+1 =2x -1的所有根的和。2解：設 2x - 12=n(n 為整數(shù) )，則

25、x=12n+14，11將上式代入原式，即 3（ 2n+4） +1=n,整理得： 3n+7 =n24則 n 3n+7 n+1,2 4即 - 7 n - 3, 則滿足條件的 n 有 -3 ， -2.22從而 x=- 5, 或 x=- 3,44故原式所有根的和為-2.例：求不定方程 3x + 2y + 8z = 40的整數(shù)解。解：3x = 40 - 2y - 8z = 2（20 - y - 4z）， x 為偶數(shù)，x, y, z為正整數(shù)， 8z < 40，z < 5，當z = 4時， 3x + 2y = 8, x < 3， x = 2，y = 1；當 z = 3 時 ， 3x + 2

26、y = 16 ， x < 6， x = 4，y = 2 或 x =2，y = 5；當 z = 2 時 ， 3x + 2y = 24 ， x < 8 ， x = 6，y = 3 或 x =4，y = 6或x = 2，y = 9；當 z = 1 時 ， 3x + 2y = 32， x < 11 ， x = 10 ，y = 1 或 x =8，y = 4或x = 6，y = 7 或 x = 4，y = 10或x = 2，y = 13；原方程組的正整數(shù)解共有11 組，分別為：x=2x=4x=2x=6x=4x=2x=10x=8x=6x=4x=2y=1、 y=2、 y=5、 y=3 、 y

27、=6、 y=9、 y=1、 y=4、 y=7、 y=10、 y=13z=4z=3z=3z=2z=2z=2z=1z=1z=1z=1z=1.例：解方程 （3x-1）（ 9x26x 5 +1）+（2x-3）（ 4x212x13 +1）=0.解：令 m=3x-1,n=2x-3,方程化為 m（ m24 1 ）+n（ n241）=0. 若 m=0,則由得 n=0,但 m、n 不同時為 0，所以 mn0.若 m>0,則由得 n<0, 設 f（t ）= t t 2 41 ,則 f（t ）在（0，+ ）上是增函數(shù)，4又 f（m）=f（-n），所以 m= -n，即 3x-1+2x-3=0,所以 x=

28、5 .4若 m<0,n>0,同理有 m+n=0,x=5 ,但與 m<0 矛盾 .4綜上，方程有唯一實數(shù)解x= 5 .例 .確定不定方程 x3+x2y+xy2 +y3=8(x2+xy+y2+1)的所有整數(shù)解 .解：原方程變形得(x2+y2)(x+y-8)=8xy+8(*)易知 x,y 有相同的奇偶性， x+y-8 是偶數(shù) .當 x + y - 8 6時x2+y2 (x+y) 21422 2> 4故(x2+y2)( x+y-8)6(x2+y2) 2(x2+y2)+8xy> 8+8xy所以原方程無整數(shù)解 .當 x + y - 8 -4 時(x2+y2)( x+y-8)-

29、4(x2 +y2) 8xy< 8+8xy所以原方程無整數(shù)解 .當 x + y - 8 = 4時由(*) 式得 (x - y) 2 =2所以原方程無整數(shù)解 .當 x + y - 8 = 2時由(*) 式得 x2+y2=4xy+4從而 x + y = 10xy = 6解得 (x,y)=(2,8)或(8,2)當 x + y - 8 = 0時由(*) 式得 8+8xy=0所以原方程無整數(shù)解 .當 x + y - 8 = -2 時由(*) 式得 x2+y2+4xy+4=0x + y = 6從而 xy = -20所以原方程無整數(shù)解 .綜上所述，原方程的整數(shù)解是(x,y)= (2,8)或(8,2).例

30、題：解函數(shù)方程 f (x) f ( y)f (xy) ?.解我們首先證明 f (x)0.?f (x) f xxf xf xf x20?.22222進一步證明，對于x 的任何實數(shù)值， f (x)不能是零 . 實際上，一旦存在某個 x00，能使 f (x )=0. 那末 f (x)將恒等于零 . 這是因為f ( x) f ( x x0 )x0 f (x x0 ) f ( x0 ) 0?.這樣一來，就與我們在本節(jié)初對f (x)的單調(diào)性要求相矛盾了 . 總之，對于任何實數(shù) x，總有 f ( x)0.?在所給的函數(shù)方程兩邊同時取對數(shù)，即得log a f ( xy)log a f ( x)log a f ( y)?.設 g ( x)log a f (xy) ，就有g(xy)g ( x)g( y).?這樣就把原函數(shù)方程化