曾量子力學(xué)題庫(網(wǎng)用)教程

1、曾謹言量子力學(xué)題庫一簡述題：1. （ 1）試述 Wien 公式、 Rayleigh-Jeans 公式和 Planck 公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問題上的差別2. （ 1）試給出原子的特征長度的數(shù)量級（以m 為單位）及可見光的波長范圍（以? 為單位）3. （ 1）試用 Einstein 光量子假說解釋光電效應(yīng)4. （ 1）試簡述 Bohr 的量子理論5. （ 1）簡述波爾 - 索末菲的量子化條件6. （ 1）試述 de Broglie 物質(zhì)波假設(shè)7. （ 2）寫出態(tài)的疊加原理8. （ 2）一個體系的狀態(tài)可以用不同的幾率分布函數(shù)來表示嗎？試舉例說明。9. （ 2）按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，

2、試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件10.（ 2）已知粒子波函數(shù)在球坐標中為(r , ,) ，寫出粒子在球殼(r ,rdr )中被測到的幾率以及在( ,) 方向的立體角元dsin d d中找到粒子的幾率。11.（ 2）什么是定態(tài)？它有哪些特征？12.（ 2） ( x)( x) 是否定態(tài)？為什么？13.（ 2）設(shè)1 eikr ，試寫成其幾率密度和幾率流密度r14.（ 2）試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。15.（ 3）簡述和解釋隧道效應(yīng)16.（ 3）說明一維方勢阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。17.（ 4）試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系18.（ 4）簡述力學(xué)量算符的性

3、質(zhì)19.（ 4）試述力學(xué)量完全集的概念20.（ 4）試討論：若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時具有確定值？21. 4?、 ?均與算符?對易，即? ? ? 、 ?、 ?是否可同時取得確定值？）若算符ABCA,CB, C 0，ABC（為什么？并舉例說明。22.（ 4）對于力學(xué)量A 與 B，寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說明物理意義。23.（ 4）微觀粒子x方向的動量?和x方向的角動量?是否為可同時有確定值的力學(xué)量？為什么？pxLx24.（ 4）試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達式25.（ 4）簡述幺正變換的性質(zhì)26.（ 4）在坐標表象中，給出坐標算符和動量算符的矩陣表示27.

4、（ 4）粒子處在V (x)12 x 2 的一維諧振子勢場中，試寫出其坐標表象和動量表象的定態(tài)2Schr?dinger 方程。28.（ 4）使用狄拉克符號導(dǎo)出不含時間的薛定諤方程在動量表象中的形式。? ? ?均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？29.（ 4）如果 A, B,C1?31? ?1? ?a)Ab)( AB BA)b)( AB iBA)22230.（ 5）試述守恒量完全集的概念31.（ 5）全同粒子有何特點？對波函數(shù)有什么要求？32.（ 5）試述守恒量的概念及其性質(zhì)33.（ 5）自由粒子的動量和能量是否為守恒量？為什么？34. 5E (0,0, )?2px , py , pz中運動，

5、哈密頓量為?pe z。試判斷各（ ）電子在均勻電場? ? ?H2m量中哪些是守恒量，并給出理由。35.（ 5）自由粒子的動量和能量是否為守恒量？為什么？36.（ 6）中心力場中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動量是否有確定值37.（ 6）寫出中心力場中的粒子的所有守恒量38.（ 6）試給出氫原子的能級簡并度并與一般中心力場中運動粒子的能級簡并度進行比較39.（ 6）二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性諧振子能級簡并度。40.（ 6） 氫原子體系處于狀態(tài)(r , , )1R3,1 (r )Y1,1 ( , )3 R3,2 (r )Y2,1 ( , ) ，給出

6、 L2 和 Lz22可能取值及取值幾率，并說明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？41（ 6）已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為?2?2，試列舉出幾種2 r 2r (r2LHr)2 r 2V (r )該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。42.（ 7）什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。43.（ 8）試給出電子具有自旋的實驗依據(jù)44.（ 8）寫出z 表象中x 、y 和z 的本征值與本征態(tài)矢45.（ 8）試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義46.（ 8）以和分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)（只寫自旋部分波函數(shù)）。47.（

7、 8）若|>和 |>是氫原子的定態(tài)矢 （電子和質(zhì)子的相互作用為庫侖作用， 并計及電子的自旋軌道耦合項），試給出 |>和 |>態(tài)的守恒量完全集?表象中，?48.（ 10）若在 H 0HH 0H， H 0與 H 的矩陣分別為10 30000.10.101?010 100?0.10.200，H 0001040, H00150001061052?是否可以將 H 看作微擾，從而利用微擾理論求解H 的本征值與本征態(tài)？為什么 ?49.（ 11）利用 Einstein 自發(fā)輻射理論說明自發(fā)輻射存在的必然性。50.（ 11）是否能用可見光產(chǎn)生1 阿秒 (1018s) 的激光短脈沖，利用能

8、量時間測不準關(guān)系說明原因。51.（11）試給出躍遷的Fermi 黃金規(guī)則（ golden rule ）公式，并說明式中各個因子的含義。52. （ 8）在質(zhì)心坐標系中，設(shè)入射粒子的散射振幅為f ( ) ，寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無極化全同費米子碰撞的微分散射截面表達式。二、判斷正誤題（請說明理由）1. （ 2）由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2. （ 2）波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3. （ 2）平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來描述真實粒子4. （ 2）因為波包隨著時間的推移要在空間擴散，故真實粒子不能用波包描述5. （ 2）正是由于微觀粒子

9、的波粒二象性才導(dǎo)致了測不準關(guān)系6. （ 2）測不準關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標準? 與時間 t 無關(guān)，則體系一定處于定態(tài)7. （ 2）設(shè)一體系的哈密頓 H8. （ 2）不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9. （ 3）對階梯型方位勢，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)（ ）?顯含時間 t，則體系不可能處于定態(tài)，?10.HH 不顯含時間 t，則體系一定處于定態(tài)311.（ 3）一維束縛態(tài)能級必定數(shù)非簡并的12.（ 3）一維粒子處于勢阱中，則至少有一條束縛態(tài)13.（ 3）粒子在一維無限深勢阱中運動，其動量一定是守恒量14.（ 3）量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15.（ 3） 勢阱不存在束縛態(tài)16.（ 4）自

10、由粒子的能量本征態(tài)可取為pxi的本征態(tài)sin kx ，它也是 ?x17.（ 4）若兩個算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對易18.（ 4）在量子力學(xué)中，一切可觀測量都是厄米算符? ? ?19.（ 4）如果 A, B 是厄米算符，其積AB 不一定是厄米算符20.（ 4）能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)A,B,21.（ 4）若? ?對易，則? ? 在任意態(tài)中可同時確定A BA,B,22.（ 4）若? ?不對易，則 ? ?在任何情況下不可同時確定A B?和 ? 不可同時確定23.（ 4） pxLx24.?4A,BA 的本征函數(shù)必是 B 的本征函數(shù)（ ）若?對易，則25.（ 4）對應(yīng)一個本征值有幾個本

11、征函數(shù)就是幾重簡并26.（ 4）若兩個三個，則它們不可能同時有確定值27.（ 4）測不準關(guān)系只適用于不對易的物理量28.（ 4）根據(jù)測不準原理，任一微觀粒子的動量都不能精確測定，只能求其平均值29.（ 4）力學(xué)量的平均值一定是實數(shù)30.（ 5）體系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱31.（ 5）在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時間變化32.（ 5）體系能級簡并必然是某種對稱性造成的33.（ 5）量子體系的守恒量無論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時間改變34.（ 5）全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對稱的35.（ 5）全同粒子體系波函數(shù)的對稱性將隨時間發(fā)生改變36.（ 5）描述全體粒子

12、體系的波函數(shù)，對內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對稱性?是守恒量，那么?就不是守恒量37.（ 6）粒子在中心力場中運動，若角動量LzLx38.（ 6）在中心力場V ( r ) 中運動的粒子，軌道角動量各分量都守恒39.（ 6）中心力場中粒子的能量一定是簡并的40.（ 6）中心力場中粒子能級的簡并度至少為41.（ 8）電子的自旋沿任何方向的投影只能取42.（ 8）兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)2l1, l0,1,2,/ 2三、證明題：?(r ,t )1. （ 2）試由 Schr?dinger 方程出發(fā)，證明，其中?j 0tj (r , t )* (r, t)(r , t )i(*c.c.)2m2. （

13、3）一維粒子波函( x) 數(shù)滿足定態(tài)Schr?dinger 方程，若1 ( x) 、2 ( x) 都是方程的解，則有1 2 ' 2 1 ' 常數(shù) （與 x無關(guān)）3. （ 3）設(shè)(x) 是定態(tài)薛定諤方程對應(yīng)于能量E 的非簡并解，則此解可取為實解4.21 (x)和2(x)是定態(tài)薛定諤方程對應(yīng)于能量E 的簡并解，試證明二者的線性組合也是該（ ）設(shè)定態(tài)方程對應(yīng)于能量E 的解。5.（ 3）對于勢壘， V ( x)( x) ，試證勢中 ' (x) 的躍變條件6.（ 3）設(shè)2d 2V (x)( x) E (x) 的一個解，對應(yīng)的能量為E ，(x) 是定態(tài)薛定諤方程2m dx2試證明*

14、 ( x) 也是方程的一個解，對應(yīng)的能量也為E7. （ 3）一維諧振子勢場 m 2 x 2 / 2 中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子的位置概率分布經(jīng)歷一個周期 2 / 后復(fù)原。V1 ,xaV1 ) 有限，則定態(tài)波函數(shù)( x) 及其8. （ 3）對于階梯形方勢場 V (x)x，若 (V2V2a導(dǎo)數(shù)( x) 必定連續(xù)。9. （ 3）證明一維規(guī)則勢場中運動的粒子，其束縛態(tài)能級必定是非簡并的10.（ 4）證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)11.（ 4）證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12.（ 4）證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時間無關(guān)13.（ 4）令 ?2

15、22，試證 ?2為厄密算符pxx2pxTp/ 2m為厄密算符14.（ 4）試證?2?dU? ?15.（ 4）設(shè) U (t) 是一個幺正算符且對t 可導(dǎo)，證明 H (t)iU是厄米算符。dt16.（ 4）已知? 2也是厄米算符A和 B 是厄米算符，證明( A+ B)和 A17.（ 4）試證明：任何一個力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對角矩陣18.（ 4）試證明x 表象中 p? 算符的矩陣元是( p)19.（ 4）試證明p 表象中 x 算符的矩陣元是( x)x'x"p' p "i (x' x" )x'i( p'

16、 p" ) p'20.（ 4）若厄米算符? ?具有共同本征函數(shù)，即?nAn?Bnn，而且構(gòu)成體系A(chǔ), BAn , B n狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明?0? A,B21.（ 4）若 n (x); n1,2, 構(gòu)成完備基組，證明：( xx )n* (x )n (x)n22.（ 4）證明兩個線性算符之和仍為線性算符?1，若?的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為，求證?23.（4）設(shè)算符 FAB，AB BA為 FA 和? ? 的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。 A 也是F24.（ 4）試證明( xyz) xyz 是角動量平方算符l?2屬于本征值2 2的本征函數(shù)。25.（ 4）試證明表象變換并不改變算

17、符的本征值26.4 px ,( x)i（ ）證明對易關(guān)系?x27.（ 4）證明在 l?z 的本征態(tài)下 l xl y 028.（ ）設(shè)粒子處于Ylm,狀態(tài)下，證明L2L21 l l1m 224xy229.（ 4）證明諧振子的零點能E01是測不準關(guān)系xp的直接結(jié)果。2230.（ 4） 一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31.（ 4）如果厄米算符A 對任何矢量 |u> ，有 <u|A|u> 0，則稱 A 為正定算符。試證明算符A=|a><a|為厄米正定算符32.（ 5）設(shè)全同二粒子的哈密頓量為?，波函數(shù)為(1,2)，試證明交換算

18、符?H (1,2)P12 是個守恒量33.（ 5）證明在定態(tài)下，任意不顯含時間t 力學(xué)量 A 取值幾率分布不隨時間改變。34.（ 5）設(shè)力學(xué)量 A 是守恒量，證明在任意態(tài)下A 的取值概率分布不隨時間改變。35.（ 5）證明：量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值不隨時間改變。36.（ 5）試證在一維勢場 V ( x) 中運動的粒子所受勢壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0（提示：利用對易關(guān)系?i） H , x?px（ ）設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為? ，厄米算符 ?與 ? 對易。試證明 d A，其中A是A的均方根偏37.HAH05dt差，即A( A A ) 2 1 / 2 ，式中尖括號表示求平均值。?

19、? ? 的本征值必有簡并。38.（ 5）如果 A, H B,H0，但 A,B0 ，試證明 H39.（ 5）粒子在對數(shù)函數(shù)型勢場中運動，V (r )C ln( r / r0 ) ，其中常數(shù) C0, r00 。試利用 Virial定理證明：各束縛態(tài)的動能平均值相等。*?40.（ 5）試根據(jù)力學(xué)量平均值表達式F(x,t )F( x, t) dx 證明力學(xué)量平均值隨時間的變化為dF?1 ? 為體系的哈密頓FdttF,H，其中 Hi41.（ 4、 5） 證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶,| x |b42.（ 5）設(shè)粒子處在對稱的雙方勢阱中V ( x)0a | x | bV0| x | a（ 1）在 V0

20、情況下求粒子能級，并證明能級是雙重簡并；（ 2）證明 V0 取有限值情況下，簡并將消失。43.（ 5、 6 ）證明在氫原子的任何定態(tài)nlm (r, , ) 中，動能的平均值等于該定態(tài)能量的負值，即?2/ 2nlmE np44.（ 6）已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為力場中運動的粒子角動量守恒45.（ 8）證明 Pauli 算符各個分量的反對易關(guān)系2?2?(r2)LV (r )，證明中心H2r2 r 22 rr46.（ ）若電子處于?的本征態(tài)。試證在此態(tài)中，? 取值/ 2 或/2的概率各為 1/2。8SzSy1cose i / 247. （ 8）設(shè)有兩個電子， 自旋態(tài)分別為2。證明兩個電子處

21、于自旋單態(tài) （ S=0）,0sinei / 22和三重態(tài)（ S=1）的幾率分別為a1 (1 cos2),b1 (1 cos 2)222248.（ 10）在一定邊界條件下利用定態(tài)薛定諤方程求解體系能量本征值與變分原理等價。49.（12）已知在分波法中 f ( )1( 2l1)ei l sinl Pl (cos )42l1ei l sin lYl 0 ( ) ，k l 0kl 0據(jù)此證明光學(xué)定理。四、計算題：1.（ 2）設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為( x,0) eik 0 x ，求(x, t) 。2.（ 3）質(zhì)量為 m 的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為V x0; x0, a; x0, x a

22、（ 1）求解能量本征值 En 和歸一化的本征函數(shù)n (x) ；（ 2）若已知 t 0 時，該粒子狀態(tài)為x,012 ( x)，求 t 時刻該粒子的波函數(shù)；1( x)2（ 3）求 t 時刻測量到粒子的能量分別為E1 和 E2 的幾率是多少？（ 4）求 t 時刻粒子的平均能量E 和平均位置 x 。3. （ 3）粒子在一維勢阱中運動V ( x)a(x)(a0), 求粒子的束縛定態(tài)能級與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4.3m的粒子（能量E0 ）從左入射，碰到勢壘V( x)(x) (常數(shù)0)，（ ）設(shè)有質(zhì)量為試推導(dǎo)出勢中' 的躍變條件。5. （ 3）質(zhì)量為m 的粒子，在位勢V ( x)( x)V(0) 中運

23、動，其中0x0VV0x0V00a. 試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；b.給出粒子處于x>0 區(qū)域中的幾率。它是大于1/2，還是小于1/2，為什么？6. （ 3）一個質(zhì)量為m 的粒子在一維勢場V ( x),| x |a( x)| x |，求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性a條件，并給出奇宇稱能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。0| x |a7. （ 3）質(zhì)量為 m 的粒子在一維勢場 V ( x)| x |中運動。求a粒子的定態(tài)能量 En 與歸一化的波函數(shù)n (x) ；粒子在態(tài)n (x) 上的位置平均值x 。8. （3）如圖所示，一電量為q 質(zhì)量為 m 的帶電粒子處在電量為Q

24、O-q固定點電荷的強電場中，并被約束在一直線AB 上運動，Q 到 ABAB 的距離為 a，由于Q 產(chǎn)生的電場很強，q 只能在平衡位a置 O 附近振動， 即 a 遠大于粒子的運動范圍，設(shè)平衡位置 O 為+ +Q能量參考點，試求體系可能的低能態(tài)能級。9.（ 3）一電量為q 質(zhì)量為 m 的帶電粒子處在強度為E 的均勻強電場中，并被約束在一半徑為R 的圓弧上運動， 電場方向如圖所示，由于電場很強，q 只能在平衡位置O 附近振動，即 R 遠大于粒子的運動范圍，設(shè)平衡位置O 為能量參考點，試求體系可能RE的低能態(tài)能級。0 (x)12 x 2O-q10. (3) 一維諧振子處于基態(tài)e 2，求諧振子的1）平均

25、值 x2； 2）平均值 p 2； 3）動量的幾率分布函數(shù)。1( n1)（提示：neKx22,K0,函數(shù)滿足遞推關(guān)系：xdx2n 10K2( z1)z( z),(1)1,( 1 )；22e22e2x 2i x dx）。11.（ 3）把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢的一種平均勢，V(x)對于下列一維模型（如圖）MetalVacuumV0, x0V ( x) x0, x0A-V0C試就（ 1） E0，（2） V0E0兩種情況計算B接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。12.（ 3、 4）設(shè) t0 時，質(zhì)量為 m 、頻率為的諧振子處于12 x2sin( x, c)Ae 2(cosH 2 ( x)

26、H 0 ( x)22m1 / 2狀態(tài)，其中 A,是實常數(shù)，, H n (x) 是厄米多項式。（ 1）求歸一化常數(shù)A ；（ 2）求 t 時刻體系的狀態(tài)( x, t) ；（ 3）求 t 時刻位置的平均值x(t) ；（ 4）求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率13.（ 3）設(shè)一維粒子由x處以平面波ineikx入射，在原點處受到勢能 V( x)V0 ( x) 的作用。（ 1）寫出波函數(shù)的一般表達式； （ 2）確定粒子在原點處滿足的邊界條件； （ 3）求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)； （ 4）分別指出 V0 0 與 V0 0 時的量子力學(xué)效應(yīng)。14. （3、 4、 5）設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài)（1）求x,p?x

27、（2）寫出本征能量E ，并說明它反映微觀粒子的什么性質(zhì)（3）利用位力定理證明：x pxxx2x2/2，其中?2?2pxpxpx15. （ 4）設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為n 。試利用遞推公式x1n1n求諧nn 1n 122振子坐標在能量表象中的矩陣表示16.（ 4、 5）一維諧振子 t0 時處于基態(tài)0 和第一激發(fā)態(tài)1 的疊加態(tài)( x,0)1(0 ( x)1 ( x)212x212x2其中 0 ( x) N 0 e 2，1 ( x)N 1e 22 x（ 1）求 t 時刻位置和動量的平均值xt ,pt ；（ 2）證明對于一維諧振子的任何狀態(tài)，t 時刻位置和動量的平均值有關(guān)系；dx t1t ；dtpm

28、（ 3）求 t 時刻能量的平均值Ht17.（ 4）設(shè)體系處于c1Y10c2Y21狀態(tài)（已歸一化，即| c1 |2| c2 |21）。求 l?z 的可能測值及平均值； l?2 的可能測值及相應(yīng)的幾率。18（ 4）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)( )1(eisincos) 所描述的量子態(tài)中。試求4（ 1）在該態(tài)下 l?z 的可能測值和各個值出現(xiàn)的幾率；（ 2） l?z 的平均值19.（ 6） t 0 時氫原子的波函數(shù)為(r ,0)1 210021022113 21 1 。忽略自旋和10躍遷。（ 1）寫出系統(tǒng)能量、角動量平方L2 及角動量 z 分量 Lz 的可能測值（表示成基本物理的函數(shù)即可）；（ 2）上

29、述物理量的可能測值出現(xiàn)的幾率和期望值；（ 3）寫出 t 時刻的波函數(shù)。20.（ ）求勢場 V (r )AB 中的粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)（A,B>0 ）6r 2r21.（ 7、8）設(shè)有一個定域電子，受到沿x 方向均勻磁場B 的作用， Hamiltonian 量（不考慮軌道運動）表為 ?eBeBt 0t 0ssxxszH。設(shè)時電子自旋“向上” （），求mc2mc時 ?的平均值。222. （ 8）假設(shè)一個定域電子（忽略電子軌道運動）在均勻磁場中運動，磁場B 沿 z 軸正向，電子磁矩在均勻磁場中的勢能為：VB ，其中g(shù)s e s，（ gs2 ）為電子的磁矩 ,自旋用2me泡利矩陣? 表示。s2（

30、1）求定域電子在磁場中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程：i?H ；t（2）假設(shè) t0 時，電子自旋指向x 軸正向，即 sx，求 t0 時，自旋 s 的平均值；2（3）求 t0時，電子自旋指向y 軸負向，即 sy的幾率是多少？223. （8）自旋 s1，并具有自旋磁矩?方向的均勻磁場B 中。已知 t=0 時，2M0 S的粒子處于沿 x粒子的 sz，求在以后任意時刻發(fā)現(xiàn)粒子具有sy的幾率。22?表象中求自旋角動量在(sincos, sinsin , cos) 方向的投影24.（ 8）在 Sz?sincos?sinsin?SnSxSySz cos的本征值和所屬的本征函數(shù)。12225（ 8）兩個

31、自旋為 1/2的粒子，在 ( s1 z , s2z ) 表象中的表示為，其中，i是第 i12個粒子自旋向上的幾率，2i 是第 i 個粒子自旋向下的幾率。?V () 的本征值和本征函數(shù)（V 0 為一常數(shù)）；a. 求哈密頓量 H1x 2 y1 y2 x0b. t=0 時，體系處于態(tài)121,210，求 t 時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài)120, 211的幾率（注：ix ,iy為第 i個粒子泡利算符的x, y 分量）?26.（ 8）考慮由兩個自旋為1 的粒子組成的體系，總自旋Ss?s? ，求總自旋的平方及z 分量12?2?的共同本征態(tài)，并表示成s?1 和 s?2 本征函數(shù)乘積的線性疊加（取?=1）。( S, Sz

32、)27.（8）一束自旋為1 的粒子進入 Stern-Gerlach 裝置 SG（ I ）后被分成兩束，去掉其中 sz1的一22束，另一束（ sz1）進入第二個 SG（II ）， SG（ I ）與 SG（ II ）的夾角為。則粒子2束穿過 SG（ II ）后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對數(shù)目之比。28.（ 8）試求?z 表象中?x 的矩陣表示29.（ 8）自旋為 1/2 的粒子，其自旋角動量算符和動量算符分別為?1/ 2S和 P 。令 | px , py , pz ,? ? ?px , py , pz 和?為 Px , Py , Pz和 Sz 的共同本征態(tài)，其本征值分別為/2，算符 ASP 。

33、試問：?| px , py , pz , 1/ 2為基的空間中，?（ 1） A 是否為厄米算符？在以A 的矩陣形式如何？? 的本征值是什么？求出? ? ? 的共同本征函數(shù)系（2） AA, Px, Py , Pz?30.（ 8）對自旋為 1/2 的粒子， Sy 和Sz 是自旋角動量算符，求AS yBSz 的本征函數(shù)和本征值H（ A與 B 是實常數(shù)）31.（ 8）電子處于沿y 軸方向的均勻恒定磁場B 中， t=0 時刻在 Sz 表象中電子的自旋態(tài)為cos(0)，不考慮電子的軌道運動。sin（ 1）求任意t>0 時刻體系的自旋波函數(shù)(t ) ；（ 2）在 t 時刻電子自旋各分量的平均值；（ 3

34、）指出哪些自旋分量是守恒量，并簡述其理由。32.（ 8）考慮兩個電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標時可以是對稱的或是反對稱的。由于電子是費米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標變量（包括空間部分和自旋部分）時必須是反對稱的。（ 1）假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：Ss1s2 。求： S2 和 S 的本征值；z（ 2）假設(shè)空間部分波函數(shù)是對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)，S2和 Sz 的本征值；（ 3）假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：H Js1 s2 ，分別針對（ 1）（ 2）兩種情形，求系統(tǒng)的能量。33.（ 8）兩個電子處在自旋單態(tài)(00)1 (1)

35、(2)(1)( 2) 中，其中、分別是自旋算符2Sz/ 2 和 Sz/ 2 的單粒子自旋態(tài)。（ 1）試證明：(00) 是算符 ?1?2 的本征態(tài)（?1 和 ?2 分別是兩個單電子的自旋算符）；（ 2）如果測量一個電子的自旋z分量，得 Sz/ 2 ，那么測量另一個電子的自旋Sz/ 2 的概率是多少？（ 3）如果測量(00) 態(tài)的一個電子的自旋S y ，測量結(jié)果表明它處在Sy/ 2 的本征態(tài)，那么再測量另一個電子自旋x 分量，得到 S x/ 2 的概率是多少？34.（8）由兩個非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為/ 2 ，不考慮軌道運動，粒子間相互作用可寫作?As1s2t 0 ）粒子1 自旋朝上（

36、 s1zH? 。設(shè)初始時刻（ s1z1/ 2）。求 t 時刻（ 1）粒子 1 自旋向上的概率；（ 2）粒子 1 和 2 自旋均向上的概率；（ 3）總自旋為 0 和 1 的概率35.（ 8）質(zhì)量為 m 的一個粒子在邊長為a 的立方盒子中運動，粒子所受勢能0, x0, a ; y0, a ; z0, aV ( x, y, z),others1/ 2 ），粒子2 自旋朝下V ( x, y, z) 由下式給出：（ i）列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；（ ii ）假設(shè)有兩個電子在立方盒子中運動，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)（提示：電子自旋為1，是費米子）；2（ iii ）假設(shè)有兩個玻色子在立方盒子中運動，不考慮玻色子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。1100 ( r )36. （ 2 、 4 、 6 、 8 ） 已 知 t0時，氫原子的波函數(shù)為2(r , sz , t0)， 其 中3211 (r )2nlm (r )Rn. (r )Ylm ( ,) 滿足歸一化條件| nlm ( r ) |2d 3 r 1。試（ 1）寫出任意 t 時刻的波函數(shù)(r , sz ,t )（ 2）求能量 E 、軌道角動量